2.4.1圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程及点与圆的位置关系，通过AI思考辨析和体验新知题目导入，衔接直线方程知识，构建从定义、方程到位置关系判断的学习支架。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过待定系数法、几何法等多种方法及例题变式，培养学生逻辑推理与运算能力。规律方法总结系统清晰，助力学生掌握解题技巧，为教师提供高效教学资源。

第二章　直线和圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 学 习 目 标 1.能根据圆的标准方程写出相关量的几何意义. 2.能根据所给条件求圆的标准方程. 3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　圆的标准方程 定长 AI·思考辨析 圆心在原点,半径为1的圆的标准方程是什么?这样的圆我们称为单位圆. 提示 x2+y2=1. 体验新知 圆(x+1)2+y2=3的圆心坐标和半径分别是(　　) C 知识点2　点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标特点 点在圆外 d>r   (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r       点在圆内 d<r   (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 AI·思考辨析 如果点的坐标满足圆的标准方程,此时点与圆的位置关系是怎样的? 提示 点在圆上. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.(　　) (2)点(a,b)一定在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内部.(　　) 2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)(　　) A.在圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 解析 因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P在圆内.故选C. 3.若点P(-1,)在圆x2+y2=m2上,则实数m=　　　　　.  × √ C ±2 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　圆的标准方程 【例1】 (北师大版教材例题)求经过A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程. 解 (方法1)设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上, ①-②,得(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④ 化简、整理,得3a-b-5=0.⑤ 代入①,得r2=5. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5(如图1). 图1 (方法2)如图2,连接AB,作AB的垂直平分线交AB于点D,则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x-y-5=0. 又该圆经过点A,则r2=(1-2)2+(3-1)2=5, 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 图2 变式训练1　根据下列条件,求圆的标准方程: (1)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上; (2)经过A(0,0),B(-2,0),C(0,2)三点的圆的方程; (3)过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2; (4)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4). 解 (1)易知直线AB的斜率kAB==-, 所以直线AB的垂线斜率k=2,且AB的中点为,即(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=2(x-3),即2x-y-4=0. 由圆的垂径定理可知,2x-y-4=0与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标, 所以圆的半径为|CB|=, 所以圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10. (2)因为AB的垂直平分线为x=-1,AC的垂直平分线为y=1, 所以圆心坐标为(-1,1), 所以半径为, 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2. (3)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4, 因为圆过点C(0,0)和点D(0,2), 所以解得 所以圆的标准方程为(x-)2+(y-1)2=4或(x+)2+(y-1)2=4. (4)由题意,设圆的方程为x2+(y-b)2=25, 因为点(3,-4)在圆上,可得9+(-4-b)2=25,解得b=0或b=-8, 所以所求圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. 能力提升点二　点与圆的位置关系 【例2—1】 点Q(m,5)与圆x2+y2=20的位置关系是(　　) A.点Q在圆内 B.点Q在圆外 C.点Q在圆上 D.不确定 B 解析 因为m2+25>20,所以点Q在圆外. 【例2—2】 已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则实数a的取值范围是　　　　　.  [0,1) 变式训练2 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部,则实数a满足的条件是 (　　) A.a<-1或a>1 B.-1<a<1 C.0<a<1 D.a=±1 A 解析 由题意可知(1-a)2+(1+a)2>4,化简得a2>1,故a<-1或a>1. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)圆的标准方程; (2)点和圆的位置关系. 2.方法归纳:直接法、几何法、代数法、待定系数法. 3.常见误区:几何法求圆的方程容易出现漏解情况. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 C 1 2 3 4 5 2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65 C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13 D 1 2 3 4 5 3.(2026北京高二期中)若圆C经过点A(2,5),B(4,3),且圆心在直线l:3x-y-3=0上,则圆C的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y-3)2=4 B.(x-2)2+(y-3)2=8 C.(x-3)2+(y-6)2=2 D.(x-3)2+(y-6)2=10 A 解析 易知直线AB的斜率kAB==-1,AB的中点坐标为(3,4),则线段AB的垂直平分线方程为y-4=x-3,即x-y+1=0,则圆心为直线l:3x-y-3=0与直线x-y+1 =0的交点,联立解得则圆心为C(2,3),半径r=|AC|==2,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4.故选A. 1 2 3 4 5 4.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是 　　　　　.  (0,10) 解析 由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10). 1 2 3 4 5 5.(人教B版教材例题)根据下列条件,求圆的标准方程: (1)圆心在点C(-2,1),且过点A(2,-2); (2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 . 1 2 3 4 5 解 (1)所求圆的半径r=|CA|==5. 又因为圆心为(-2,1),所以所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25. (2)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=5. 因为(0,1),(2,1)是圆上的点, 所以解得 因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5. 本 课 结 束 A.(-1,0),3 B.(1,0),3 C.(-1,0), D.(1,0), 解析 圆(x+1)2+y2=3的圆心坐标是(-1,0),半径是.故选C. 解析 ∵点P在圆x2+y2=m2上, ∴(-1)2+()2=4=m2,∴m=±2. 可得方程组 联立③⑤解得 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得即圆心C的坐标为(2,1). 解析 由题意知 解得0≤a<1. 1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是(　　) A.(1,) B.(-1,) C.(1,-) D.(-1,-) 解析 由圆的标准方程(x-1)2+(y+)2=1,得圆心坐标为(1,-). 解析 ∵点C(2,-3),B(5,-1), ∴|BC|=,即圆的半径r=. 又圆心为C(2,-3),∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选D. $