第22章 相似形（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学相似形复习讲义通过分点梳理与表格归纳构建知识体系，涵盖相似多边形、比例线段、相似三角形判定与性质等9大知识点，用对比表格呈现比例性质，分条列出相似三角形4种判定定理，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“模型化题型”设计，如“一线三等角模型”典例结合动点问题，引导学生通过推理意识构建相似关系，实际应用题型（如利用光的反射测教学楼高度）培养应用意识。每个题型配变式题，基础生掌握方法，优秀生深入探究，助力教师精准分层教学与学生自主复习。

第二十二章 相似形复习讲义 教学目标 1. 认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. 2. 能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. 3. 能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. 4. 了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学重难点 1. 重点 利用二次函数的图象复习二次函数的性质，并会解决相关问题。 2. 难点 会根据二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。 知识点01 相似多边形 1．相似图形的概念 形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。 2.相似多边形与相似比 （1）相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 （2）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 （3）相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比。 3.相似多边形的判定和性质 （1）判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形． （2）性质：①相似多边形的对应角相等； ②相似多边形的对应边的比相等． 注意： 1.判断两个图形的形状是否相同的方法 应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同． 2.多边形相似判定与性质问题的方法 （1）判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可． （2）若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上． 知识点02 成比例线段 1.比例线段 判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 注意：（1）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． （2）求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值． （3）比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换． 2.比例的相关概念及性质 （1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． （2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项． （3）比例的性质 性质 内容 性质1 =⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）． 性质2 如果=，那么． 性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）． 知识点03 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言：若a∥b∥c ， 2.平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 知识点04 黄金分割 如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． 知识点05 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理 判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定2：三边成比例的两个三角形相似。 符号语言： ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言： 判定4：两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 知识点06 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等； （2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点07 图形的位似 1.位似图形的概念 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 2.位似图形的性质 （1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） （3）对应线段平行或者在一条直线上． 3.画位似图形的一般步骤 ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． 位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 4.基本模型 注：找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 知识点08 平面直角坐标系中的位似图形 1.平面直角坐标系中的位似变换 （1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． （2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－k． （3）当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 注意： 1.利用位似求点的坐标 关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)． 2.在坐标系中画位似图形 画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求． 3.在坐标系中确定位似比 以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 4.确定图形的面积 位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 知识点09 相似三角形的应用 1.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决，解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解． 2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识． 3.利用标杆测量物体的高度，可以利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型01 相似多边形 【典例1】下列说法正确的有（　　）个 任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似 任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】下列说法中不正确的是（　　） A．相似多边形对应边的比等于相似比 B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比 C．相似多边形周长的比等于相似比 D．相似多边形面积的比等于相似比 【变式2】如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形AB CD相似，AB=4，则AD的长度为　 　． 【变式3】阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽. （2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由. 题型02 成比例线段 【典例2】下列四条线段中，不能成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】下列线段、、、是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2】四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则d等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm. 题型03 比例的性质 【典例3】若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式2】已知，若，则＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．1 【变式3】（1）已知线段，求线段a，b的比例中项线段c的长． （2）已知，求的值． 题型04 平行线分线段成比例 【典例4】如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（    ）    A．4 B．8 C．12 D．9 【变式3】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 题型05 黄金分割 【典例5】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如图，为339米，P为塔的黄金分割点，设，则x满足的方程是（　　） A． B． B． C． D．以上都不对 【变式1】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【变式2】是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（    ） A． B． B． C． D． 【变式3】如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 题型06 相似三角形的判定 【典例6】如图，在平行四边形中，点E为边上一点，点F为线段上一点，且．求证：． 【变式1】底角相等的两个等腰三角形　 　相似.(填“一定”或“不一定”) 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. （1）求证：； （2）当时，求的长. 【变式3】如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为　 　时，△PBQ与△ABC相似． 题型07 相似三角形的性质 【典例7】如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【变式2】如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 题型08 相似三角形的基本模型——A字型、8字型、子母型 【典例8】如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G． （1）证明：∽ （2）求证：； 【变式2】如图，点是边上一点，且满足．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F． (1)求证：△ABF∽△ECF； (2)若AB＝8，，求CE的长． 题型09 相似模型——手拉手模型 【典例9】综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【变式1】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证： （1）∠DAE=∠BAC；     （2）△DAE∽△BAC．     【变式2】（2022秋·广西桂林·九年级桂林市第一中学统考期中）如图，，．求证：．    【变式3】如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)在图①中，求的值： (2)如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型10 相似模型——一线三等角模型 【典例10】如图，点D是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长 【变式1】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足． (1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC． (2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值． (3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式． 【变式2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求AB的长． 【变式3】△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ； （3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC的长为_______． 题型11 相似三角形中的动点问题 【典例11】如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？ （2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？ 【变式2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动， 设它们的运动时间为 t. （1）根据题意知：CQ=　 　，CP=　 　；（用含 t 的代数式表示） （2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 ？ （3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？ 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 题型12 相似三角形的实际应用 【典例12】小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【变式1】阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC． 【变式2】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB． 【变式3】如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，点B、D、F、M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离善导塔的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．    请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度．我选择方案_______． 题型13 位似的性质 【典例13】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【变式2】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【变式3】如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型14 位似变换作图 【典例14】实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． (1)画出绕点B顺时针旋转后的； (2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． (3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出向左平移6个单位长度后得到的； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出，直接写出的值． 【变式2】如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．    （1）把绕坐标原点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，相似比为2，把放大为原来的2倍，得到，画出，使它与在位似中心的同侧，并写出点的坐标； （3）请在轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点的坐标． 【变式3】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 1.如图， 平行 平行 ，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点 ， 的对应点分别为点 ， .若 ，则 的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 4.如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 5.鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 6.如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（　　） A．5.5 B．5 C．4 D．3 7.已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为　 　. 8.如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为　 　. 9.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）． （1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2． （3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标． 10.如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O． （1）图中有　 　 对相似三角形； （2）连接DE，试判断△ODE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 11.如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？ 12.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝100cm，高AD＝50cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　 　 cm； （2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：3，求这个矩形的面积． 13.如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为　 ． 14.黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AB＝4，则BC的长为　　　 ．（结果保留根号） 15.如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12，高AD＝10．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为　　 ． 16.如图， 的顶点 ， ，点 在 轴的正半轴上，延长 交 轴于点 .将 绕点 顺时针旋转得到 ，当点 的对应点 落在 上时， 的延长线恰好经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 17.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ，你认为其中正确是　 　（填写序号） 18.如图，在直角三角形 中， ，作 的内接矩形 ．设 ，求x取何值时矩形的面积最大？ 19.请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 　45　 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 相似形复习讲义 教学目标 1. 认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. 2. 能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. 3. 能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. 4. 了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教学重难点 1. 重点 利用二次函数的图象复习二次函数的性质，并会解决相关问题。 2. 难点 会根据二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。 知识点01 相似多边形 1．相似图形的概念 形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。 2.相似多边形与相似比 （1）相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 （2）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 （3）相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比。 3.相似多边形的判定和性质 （1）判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形． （2）性质：①相似多边形的对应角相等； ②相似多边形的对应边的比相等． 注意： 1.判断两个图形的形状是否相同的方法 应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同． 2.多边形相似判定与性质问题的方法 （1）判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可． （2）若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上． 知识点02 成比例线段 1.比例线段 判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 注意：（1）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． （2）求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值． （3）比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换． 2.比例的相关概念及性质 （1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． （2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项． （3）比例的性质 性质 内容 性质1 =⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）． 性质2 如果=，那么． 性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）． 知识点03 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言：若a∥b∥c ， 2.平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 知识点04 黄金分割 如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． 知识点05 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理 判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 判定2：三边成比例的两个三角形相似。 符号语言： ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言： 判定4：两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 知识点06 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等； （2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点07 图形的位似 1.位似图形的概念 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心． 2.位似图形的性质 （1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） （3）对应线段平行或者在一条直线上． 3.画位似图形的一般步骤 ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． 位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 4.基本模型 注：找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 知识点08 平面直角坐标系中的位似图形 1.平面直角坐标系中的位似变换 （1）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． （2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－k． （3）当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 注意： 1.利用位似求点的坐标 关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)． 2.在坐标系中画位似图形 画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求． 3.在坐标系中确定位似比 以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 4.确定图形的面积 位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 知识点09 相似三角形的应用 1.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决，解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解． 2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识． 3.利用标杆测量物体的高度，可以利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型01 相似多边形 【典例1】下列说法正确的有（　　）个 任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似 任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形． 【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误； （2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确； （3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确； （4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误． 综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个， 故答案为：C． 【变式1】下列说法中不正确的是（　　） A．相似多边形对应边的比等于相似比 B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比 C．相似多边形周长的比等于相似比 D．相似多边形面积的比等于相似比 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质和相似三角形的性质类似，即相似多边形的周长比，对应三线比都等于相似比，对应边之比是相似比，面积比是相似比的平方. 【详解】解：相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此D错误， 故答案为：D. 【变式2】如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形AB CD相似，AB=4，则AD的长度为　 　． 【答案】 【分析】由题意可设设AE=x，则AD=2x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得AE：AB=AB：AD，代入可求得x的值，则AD的值可求解。 【详解】解：设AE=x，则AD=2x， ∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的， ∴AE：AB=AB：AD， ∴AB2=2x2， ∴AB=x=4， ∴x=2 ， ∴AD=4 ， 故答案为：4 . 【变式3】阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽. （2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）“减半”矩形的长为 ，宽为 ；（2）不存在. 【分析】（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可； （2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形. 【详解】（1）解：存在“减半”矩形； 设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x， 由题意得：x(5-x)= ， 解得：x1= ，x2= ； ∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ； （2）解：不存在. 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ， 所以正方形不存在“减半”正方形. 题型02 成比例线段 【典例2】下列四条线段中，不能成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意； B、，能成比例，故此选项不符合题意； C、，不能成比例，故此选项不符合题意； D、，能成比例，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列线段、、、是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据成比例线段的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，，，则：，线段、、、成比例线段，符合题意； B、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意； C、，，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意； D、，，，，，线段、、、不成比例线段，不符合题意； 故选A． 【变式2】四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则d等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义即可进行解答． 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴，即，解得：． 故选：C． 【变式3】已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm. 【答案】4 【分析】根据比例中项的概念可得c2＝ab，代入求解即可. 【解析】【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm， ∴ ＝ ， ∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去）， ∴线段c＝4cm. 故答案为：4. 题型03 比例的性质 【典例3】若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故选 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据合比性质进行计算． 【详解】解： ， ． 故选：A． 【变式2】已知，若，则＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．1 【答案】A 【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：A. 【变式3】（1）已知线段，求线段a，b的比例中项线段c的长． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据比例中项的定义，c2=ab，将a 、b的值代入得，因为c是线段值为正，故c=23； （2）由x：y=3：2，可用设k法，设x=3k，y=2k(k≠0) ，将x，y代入得2x−y：x=6k−2k：3k=4：3，设k法是比例式求值中常用的方法. 【详解】（1）解：∵线段，线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：∵， ∴可设， ∴． 题型04 平行线分线段成比例 【典例4】如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．∵， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，，从而即可一一判断得出答案. 【详解】解：如图： ， 只有B选项符合，A、C、D都错误. 故答案为：B. 【变式2】如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（    ）    A．4 B．8 C．12 D．9 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选A． 【变式3】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则，即， 解得：， 故选：A． 题型05 黄金分割 【典例5】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如图，为339米，P为塔的黄金分割点，设，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据黄金分割点的定义列式判断即可． 【详解】解：因为满足，则称点P是的黄金分割点，． 所以． 故选C． 【变式1】在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B． 【变式2】是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的特点即可求解． 【详解】∵AB=10，BP=x， ∴AP=10-x， ∵P点是黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据得出，根据，，得出． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，即， ∴， ∵，， ∴，故C正确． 故选：C． 题型06 相似三角形的判定 【典例6】如图，在平行四边形中，点E为边上一点，点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，再证明，即可判定． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． 【变式1】底角相等的两个等腰三角形　 　相似.(填“一定”或“不一定”) 【答案】一定 【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案. 【详解】解：由题意可得： 底角相等的两个等腰三角形一定相似 故答案为：一定 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. （1）求证：； （2）当时，求的长. 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据相似三角形的判定即可求解； （2）根据直角三角形的面积公式结合已知条件即可求解。 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形，∴， ∴，，∴； （2）解：∵；∴， ∵在中，，，∴ ∴，即，∴ 【变式3】如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为　 　时，△PBQ与△ABC相似． 【答案】0.8s或2s 【分析】分两种情况：当△PBQ∽△ABC时和当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的性质分别解答即可. 【详解】解： 设经过x秒后△PBQ与△ABC相似 ，则AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=(8-2x)cm， 当△PBQ∽△ABC时， ∴，即， 解得x=2， 当△PBQ∽△CBA时， ∴，即， 解得：x=0.8， ∴经过0.8s或2s时， △PBQ与△ABC相似． 故答案为：0.8s或2s. 题型07 相似三角形的性质 【典例7】如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交点，则的周长与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可证明，再由相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ∴， 与的相似比为， ∵， ∴， ∴， 根据的周长与的周长之比等于与的相似比可得， 故选：B． 【变式1】若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【答案】C 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答. 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：2. 故选C 【变式2】如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，，结合面积比等于相似比平方即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】∵在中，E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 题型08 相似三角形的基本模型——A字型、8字型、子母型 【典例8】如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得，得，根据，，即可求出； （2）由（1）得，根据，得，得，即可求出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴ ∴，即 又∵且 ∴ ∴． （2）∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故． 【变式1】已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G． （1）证明：∽ （2）求证：； 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明∽； （2）由相似三角形的性质可知，由AD∥BC可知，通过等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∥ ∽ （2）证明：∵∽ ∵AD∥BC， ∴      又∵CM＝BM， 【变式2】如图，点是边上一点，且满足．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可； （2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出． 【详解】（1）证明：在与中 ，， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 解得：， ∴， ． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，DCAB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F． (1)求证：△ABF∽△ECF； (2)若AB＝8，，求CE的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）根据，可得∠E=∠FAB，∠ECF=∠FBA，即可证明； （2）根据，CF+FB=CB，可得，再根据△ABF∽△ECF，可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴∠E=∠FAB，∠ECF=∠FBA， ∴△ABF∽△ECF， 结论得证； （2）∵，CF+FB=CB， ∴， ∵在（1）中已得△ABF∽△ECF， ∴，即， ∵AB=8， ∴， 即CE长度为． 题型09 相似模型——手拉手模型 【典例9】综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质可证，由此即可求解； （3）根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：成立，理由如下： 由旋转的性质得， ∴，即， 由（1）得， ∴， ∴， ∴（1）中的结论仍成立． （3）解：由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证： （1）∠DAE=∠BAC；     （2）△DAE∽△BAC．     【答案】见详解 【分析】(1) 先利用相似三角形的性质得∠BAD=∠CAE, 则∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE, 从而得到结论; (2)先利用ΔABD∽ΔACE得到,再利用比例性质得, 加上∠DAE=∠BAC, 然后根据相似三角形的判定方法可得到结论. 【详解】（1）解：∵△ABD∽△ACE． ∴∠BAD=∠CAE， ∵∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC （2）解：∵△ABD∽△ACE， ∴ = ， ∴ = ， 而∠DAE=∠BAC， ∴△DAE∽△BAC 【变式2】（2022秋·广西桂林·九年级桂林市第一中学统考期中）如图，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】可证，，即可求证． 【详解】证明：， ， 即：， ， ， ． 【变式3】如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)在图①中，求的值： (2)如图②将正方形绕点C顺时针方向旋转角，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)；(2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似的判定与性质等，解题的关键是利用特殊角作辅助线构造特殊三角形． （1）由正方形的性质可得，，可证，，可得，由平行线分线段成比例可得； （2）由正方形的性质可得，即可证，可得，则． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ； （2） 理由如下： 如图②，四边形，四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ，且， ， ，   即 题型10 相似模型——一线三等角模型 【典例10】如图，点D是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得角度之间的相等关系，再根据有两个角相等的两个三角形相似，即可求证； （2）由 得出，计算即可得出 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； 又； ∴； ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 【变式1】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足． (1)已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC． (2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值． (3)已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)见详解； (2)PB＝1，或PB＝6，或PB＝； (3)①当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，；②△ABP∽△CDP，；③当点P在BD的延长线上时，或和 【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC． （2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值． （3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可； 【详解】（1）解：证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°①， ∴∠A+∠APB＝90°， 又∵∠APB+∠CPD＝90°， ∴∠A＝∠CPD②， ∴由①②，△ABP∽△PDC． （2）设PB＝x，则PD为（7﹣x）， ①△ABP∽△PDC时，， 即， 解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0， x＝1或x＝6， ②△ABP∽△CDP．， 即， 解得x＝． 综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝． （3）当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，， 即， 整理得，y＝x+； ②△ABP∽△CDP．， 即 整理得，y＝x． 当点P在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时， ， ∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y， ， y＝x﹣． 当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP，＝， ∴， ∴y＝﹣x． ⑤△PAB∽△PCD时，， ∴＝， ∴y＝x． 【变式2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】（1）∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD． ∵∠ADE=∠B， ∴△ADB∽△AED． （2）∵△ADB∽△AED， ∴， ∵AE=3，AD=5， ∴， ∴． 【变式3】△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ； （3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC的长为_______． 【答案】（1）（2）见详解；（3） 【分析】（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE； （2）如下图，连接PQ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CEQ； （3）根据相似三角形的性质可得，把BP=2，CQ=代入上式可求得BE=CE，进而求得BC的长． 【详解】（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BPE和△CQE中， ∵， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）如下图，连接PQ， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ； （3）∵△BPE∽△CEQ ∴ ∵BP=2，CQ=9，BE=CE ∴ ∴BE=CE= ∴BC=． 题型11 相似三角形中的动点问题 【典例11】如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 【详解】．理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ？ （2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？ 【答案】（1）经过2秒或4秒；（2）经过 秒或 秒 【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ= S△ABC列出方程求解；（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，则有 或 ，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值. 【详解】（1）解：设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的 ， 由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m， 则 ×2x（6﹣x）= × ×8×6， 解得：x=2或x=4． 故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的 ； （2）解：设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似． 当△PCQ与△ACB相似时，则有 或 ， 所以 ，或 ， 解得t= ，或t= ． 因此，经过 秒或 秒，△OCQ与△ACB相似； 【变式2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动， 设它们的运动时间为 t. （1）根据题意知：CQ=　 　，CP=　 　；（用含 t 的代数式表示） （2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 ？ （3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？ 【答案】（1）t；4﹣2t；（2）经过 或 秒后；（3）运动的时间为 1.2 或 秒 【分析】（1）由动点P从点B出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q从C出发以 1cm/s 的速度向点A移动， 设它们的运动时间为 t，可得PC为4﹣2t，CQ为t； （2）根据三角形的面积计算方法，由△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 列出方程求出t的值即可； (3)分Rt△ABC∽Rt△QPC与Rt△ABC∽Rt△PQC两种情况讨论，由对应边成比例，可求得t的值. 【详解】（1）由题意可知CQ=t，CP=BC-BP=4﹣2t； 故答案为：t，4-2t； （2）解：当△CPQ 的面积等于△ABC面积的 时， 即 (4-2t) t= × ×3×4， 解得；t= 或 t= ； 答：经过 或 秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积是 ； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若 Rt△ABC∽Rt△QPC 则 = ，即 = ，解得 t=1.2； ②若 Rt△ABC∽Rt△PQC 则 = ，即 = ，解得 t= ； 由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为 0＜t＜2， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件. 答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或 秒. 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm．现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为ts． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t＝2s时，P、Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）Rt△CPQ的面积为S＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）；（2）PQ＝10cm；（3）t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP.CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP CQ求解 (2)在Rt△CPQ中,当t=2秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出 (3)应分两种情况:当R△CPQ∽R△CAB时・根据 ,可将时间t求出;当Rt△ CPQ∽Rt△CBA时,根据 ,可求出时间t. 【详解】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， 因此Rt△CPQ的面积为S＝ CP×CQ＝ （16﹣4t）×3t＝﹣6t2+24t（0＜t＜4）； （2）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， 当t＝2秒时，CP＝16﹣4t＝8cm，CQ＝3t＝6cm， 在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝ ； （3）由题意得AP＝4t，CQ＝3t，则CP＝16﹣4t， ∵AC＝16cm，BC＝12cm． ∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝2秒； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即，解得t＝ 秒． 因此t＝2秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 题型12 相似三角形的实际应用 【典例12】小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【变式1】阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC． 【答案】窗口底边离地面的高为． 【分析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即窗口底边离地面的高为． 【变式2】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB． 【答案】塔高AB为24m. 【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可． 【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G. 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：塔高AB为24m. 【变式3】如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，点B、D、F、M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离善导塔的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．    请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度．我选择方案_______． 【答案】一（答案不唯一），善导塔的高度为． 【分析】若选择方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，根据题意可得：，从而可得，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； 若选择方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】若选择方案一： 如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴善导塔的高度为； 若选择方案二： 如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，    ∵， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴善导塔的高度为； 故答案为：一（答案不唯一）． 题型13 位似的性质 【典例13】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比， 与的相似比，即， ， 故选：B． 【变式1】如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】； 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【变式2】如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【变式3】如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据周长之比得到相似比，继而求解即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∵， ∴， 故选C． 题型14 位似变换作图 【典例14】实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． (1)画出绕点B顺时针旋转后的； (2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． (3)以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析 【分析】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转的对应点，然后再顺次连接即可； （2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可． （3）根据位似的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵点是的中点， 点是的中点， 根据作图可知：，， 点的坐标为； （3）解：如图，即为所求． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出向左平移6个单位长度后得到的； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出，直接写出的值． 【答案】(1)见解析；(2)见解析，4 【分析】（1）按要求作图即可求解； （2）求出缩小为原来的后顶点的坐标，描点，即可画出图形，再由位似的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， 是所求作的图形； （2）解：以点为位似中心，将缩小为原来的， ，，， ， 如图，描点即可作出， 为所求作的图形； 由（1）得：， ． 【变式2】如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．    （1）把绕坐标原点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）以点为位似中心，相似比为2，把放大为原来的2倍，得到，画出，使它与在位似中心的同侧，并写出点的坐标； （3）请在轴上求作一点P，使的周长最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析，；（2）见解析；；（3）见解析； 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用相似的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）作关于轴的对称点，再与相连，与轴的交点即为所求． 【详解】（1）如图，为所求作的三角形；； （2）如图，为所求作的三角形；； （3）如图，作点关于轴的对称点；连接，交轴于点，则点即为所求． ．    【变式3】在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 1.如图， 平行 平行 ，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"并结合各选项即可判断求解. 【详解】 ，由平行线分线段成比例得： ① ，② ，③ ， 由①知：选项A错误， ，故答案为：C错误； 由②知：选项B错误； 由③知：选项D正确， 综上所述，正确答案为D. 故答案为：D. 2．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例可得结果. 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：B. 3.如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点 ， 的对应点分别为点 ， .若 ，则 的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，结合位似比为 ，AB=6，列比例式计算即可解答. 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为：B. 4.如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】根据题意可得：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，从而可得∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，然后证明△FBC∽△GBA，利用相似三角形的性质求出BC的长，最后证明△FBC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：由题意得：∠FBC＝∠GBA，：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC， ∴∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°， ∴△FBC∽△GBA， ∴， ∴， 解得BC＝3， ∵∠FBC＝∠EBD， ∴△FBC∽△EBD， ∴， ∴， 解得DE＝4米． 故选：C． 5.鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 所以． 因为AB的长为8， 所以AP． 故选：D． 6.如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（　　） A．5.5 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE=CE，即点E为BC的中点，由于O点为AC的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得OE//AB，且，利用OE//AB可得，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得， 和 同高不同底，得出 ， 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ，AE=EF， ， ∵平行四边形 的面积为48， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 和 同高不同底， ∴ ， 故答案为：C． 7.已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为　 　. 【答案】（4，2）或（－4，－2） 【分析】根据位似变换的性质先作出图形，利用点A位置写出坐标即可. 【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）. 故答案为：（4，2）或（-4，-2）. 8.如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为　 　. 【答案】 【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论. 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∵∠B=∠B， ∴ ， ∴ ∴ 与四边形 的面积的比= . 故答案是： . 9.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）． （1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2． （3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】见详解 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案； （3）利用三角形面积求得出答案。 【详解】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求 （2）解：如图所示：△A2B2C2，即为所求 （3）解：如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4）， （0，﹣4）． 10.如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O． （1）图中有　 　 对相似三角形； （2）连接DE，试判断△ODE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）见详解 【分析】（1）通过分析三角形的角的关系，找出满足相似三角形判定条件的组合，共得到6对相似三角形； （2）先由高的性质和对顶角相等证明△BOE∽△COD，推出比例关系，再结合角相等，证明△ODE∽△OCB． 【解答】解：（1）题图中相似三角形有△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△COD∽△CAE，△COD∽△BAD，△BEO∽△BDA，△BOE∽△CAE， 共6对． 故答案为6； （2）相似； 证明：∵BD、CE分别为△ABC的两条高， ∴∠OEB＝∠ODC＝90°， ∵∠BOE＝∠COD， ∴△BOE∽△COD， ∴， ∴ ∵∠BOC＝∠EOD， ∴△ODE∽△OCB． 11.如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？ 【答案】9米 【分析】由 ， ，可得 ∥ ，可证△ADE∽△ABC，可得，代入相应数据，即可求出BC. 【详解】解：∵ ， ， ∴ m， ∵ ， ， ∴ ∥ ， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴楼高 是9米. 12.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝100cm，高AD＝50cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　 　 cm； （2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：3，求这个矩形的面积． 【答案】（1）50；（2）1200cm2． 【分析】（1）由矩形的性质得PQ∥BC，再证明△APQ∽△ABC，得，即可得出结论； （2）设PN＝xcm，则PQ＝3xcm，由矩形的性质得PQ∥BC，再证明△APQ∽△ABC，得，进而求出x＝20，则3x＝60，然后由矩形面积公式列式计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQMN为矩形， ∴PQ∥BC， ∵点P恰好为AB中点， ∴AP＝BPAB， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴PQBC100＝50（cm）， 故答案为：50； （2）如图，设AD交PQ于点H， 设PN＝xcm，则PQ＝3xcm， ∵四边形PQMN为矩形， ∴PQ∥BC， ∵AD⊥BC， ∴PQ⊥AD， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 即， 解得：x＝20， ∴3x＝60， 即PN＝20cm，PQ＝60cm， ∴矩形PQMN的面积＝PQ•PN＝60×20＝1200（cm2）． 13.如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为　 ． 【答案】4m． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，推出△ASG∽△PQM，据此求解即可． 【详解】解：作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形， ∴BS＝GR＝0.2×2＝0.4（m），PQ＝0.2×3＝0.6， ∴RC＝2×0.4＝0.8（m）， ∴SG＝BR＝BC+RC＝1.9+0.8＝2.7（m）， 由题意得△ASG∽△PQM， ∴，即， ∴AS＝3.6（m）， ∴AB＝AS+BS＝3.6+0.4＝4（m）， 故答案为：4m． 14.黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AB＝4，则BC的长为　　　 ．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】设BC＝x，则AC＝BD＝4﹣x，利用黄金分割点可以得到成比例线段，即有x2＝4（4﹣x），然后解方程即可求解． 【详解】解：设BC＝x，则AC＝BD＝4﹣x， ∵C、D两点都是线段AB的黄金分割点， ∴， ∴BC2＝AB•BD， ∴x2＝4（4﹣x），整理得x2+4x﹣16＝0， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15.如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12，高AD＝10．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为　　 ． 【答案】． 【分析】设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到∠APM＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：设正方形边长MN为a， ∵AD为△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵MN∥BC， ∴∠APM＝∠ADB＝90°， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∴， ∴a， 即正方体的棱长为． 故答案为：． 16.如图， 的顶点 ， ，点 在 轴的正半轴上，延长 交 轴于点 .将 绕点 顺时针旋转得到 ，当点 的对应点 落在 上时， 的延长线恰好经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接A′C ，由旋转的性质可得∠CDO=90°，OD′=OD，然后证明△ADO∽△OD′C，接下来根据相似三角形的性质以及勾股定理求解即可. 【详解】如图，连接 ，因为 轴， 绕点 顺时针旋转得到 ， 所以 ， ， 故答案为B. 17.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ，你认为其中正确是　 　（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】利用正方形的性质可证得∠ABD＝∠FBE＝45°，由此可知的∠ABF=∠DBE，可对①作出判断；再证明BD，AB，BE，BF对应成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得△ABF∽△DBE，可对②作出判断；利用正方形的性质可对AF⊥BD，可对③作出判断；利用正方形的性质可证得∠BEH＝∠BDE＝45°，可推出△EBH∽△DBE，利用相似三角形的对应边成比例，可对④作出判断；设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，利用勾股定理表示出BE，BD的长；再求出BH，DH的长，然后可求出BH，DH的比值，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的序号. 【详解】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠ABD＝∠FBE＝45°， 又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF， ∴ ， ∴选项①正确； ②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形， ∴AD＝AB，BF＝BE， ∴BD＝ AB，BE= BF， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴选项②正确； ④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠BEH＝∠BDE＝45°， 又∵∠EBH＝∠DBE， ∴△EBH∽△DBE， ∴ ，即BE2＝BH•BD， 又∵BE＝ BG， ∴ ， ∴选项④确； ③由②知： ， 又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠BAF＝∠BDE＝45°， ∴AF在正方形另外一条对角线上， ∴AF⊥BD， ∴③正确， ⑤∵ ， ∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x， ∴BE= ， ∵BE2＝BH•BD， ∴ ， ∴DH=BD-BH= ， ∴ ， 故⑤错误， 综上所述：①②③④正确， 故答案是：①②③④. 18.如图，在直角三角形 中， ，作 的内接矩形 ．设 ，求x取何值时矩形的面积最大？ 【答案】x取15时矩形的面积最大 【分析】设矩形 为S，证明 ，利用相似比得到 ，则用x表示出 ，再利用矩形的面积公式得到 ，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：设矩形 为S， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 当 时，S有最大值，最大值为300． 即x取15时矩形的面积最大． 19.请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 　45　 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①根据题意得到△FCD∽△FAB，，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，由此列式得到，即可求解； ②过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC，，得MN0.57m，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE＝2m，DE＝0.5m， ∴BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5m， ∴△FCD∽△FAB， ∴，且FB＝FD+BD＝FD+1.5， ∴， ∴FD＝3m， 检验，当FD＝3时，原方程的分母不为零， ∴FD＝3m， ∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5m； ②过点M作MN⊥FB交AF于点N， ∴FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7m，FD＝3m，MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3m， ∴△FMN∽△FDC， ∴， ∴MN0.57m， ∵0.57＞0.5， ∴不能观察到物体； （2）摩托车的速度为90km/h＝25m/s， ∴摩托车在1.2秒的反应时间里的路程为25×1.2＝30（m）， 由题意可得：30+32﹣22+5＝45m， ∴摩托车应与小汽车至少保持45米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区， 故答案为：45． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $