23.1 锐角的三角函数 教案 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦锐角三角函数核心知识，涵盖正切、正弦、余弦的概念，特殊角（30°、45°、60°）三角函数值，互余角关系及计算器应用。课堂导入结合测量物体高度、水站建设等现实情境，从实际问题引出直角三角形边角关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以现实情境驱动探究，如用坡度问题引入正切概念，体现用数学眼光观察现实世界。合作探究中通过方程思想求边长、构造直角三角形求余弦值，培养数学思维中的推理能力。实际问题解决（如斜坡植树距离计算）强化数学语言表达与模型意识，助力学生发展抽象能力和应用意识，为教师提供结构化探究活动设计。

23.1 锐角的三角函数 23.1.1.锐角的三角函数 第1课时 正 切 【教学目标】 1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；(重点) 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.(重点) 【教学过程】 一、情境导入 如图，这种方法可以用来测量物体的高度. 由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题. 二、合作探究 探究点一：正切的定义 【类型一】 根据已知条件求锐角的正切值 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，求tanB的值. 解析：要求tanB的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边AC和邻边BC的长.已知斜边AB＝5，且AC＋BC＝7，所以可以根据勾股定理进行计算. 解：设AC＝x，则BC＝7－x. 根据勾股定理，得x2＋(7－x)2＝52，解得x＝3或4. ∵AC>BC，∴AC＝4，BC＝3.∴tanB＝＝. 方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用.实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决.因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3. 【类型二】 已知锐角的正切值求解其他问题 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积. 解析：因为△ABC为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长.又tanA＝＝，AC＋BC＋AB＝24，且AB2＝AC2＋BC2，故可求AC和BC的长，从而可求面积. 解：∵∠C＝90°，tanA＝0.75，∴tanA＝＝. 设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k. ∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2. ∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24. 方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度.这里采用了设参数(k)的方法. 探究点二：坡度、坡角 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( ) A.2米 B.2米 C.4米 D.6米 解析：先由i＝＝，BC＝2米，求出AC，再利用勾股定理求出AB的长.∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，∴i＝＝.∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米).∴AB＝＝＝2(米).故选B. 方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键. 【板书设计】 正切 第2课时 正弦和余弦 【教学目标】 1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点) 2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.(重点) 【教学过程】 一、情境导入 牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB).斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得. 你能求出它的高度（AB）吗？ 二、合作探究 探究点一：正弦的定义 【类型一】 求正弦值 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值. 解析：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解. 解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，∴b＝＝＝4， ∴sinA＝＝，tanA＝＝. 方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值. 【类型二】 已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( ) A. B. C. D. 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝，tanB＝，a2＋b2＝c2；由sinA＝知，若设a＝3x，则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝＝＝.故选A. 方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值. 探究点二：余弦的定义 【类型一】 求余弦值 如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________. 解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝＝2，OB＝AB＝＝，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝＝＝. 方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题. 【类型二】 构造直角三角形求余弦值 如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于( ) A. B. C. D. 解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解.过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图.在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝＝，∴cosα＝＝.故选C. 方法总结：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意字母的符号. 【板书设计】 正弦和余弦 23.1.2.30°，45°，60°角的三角函数值 第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值 【教学目标】 1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60°角的三角函数值；(重点) 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 我们天天与三角板打交道，知道三角板有两大类型.如图，有30°角的三角板和45°角的三角板，但你是否留意，每副三角板中两直角边的比值是多少？ 二、合作探究 探究点一：30°、45°、60°角的三角函数值 计算： (1)sin60°×cos45°； (2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°. 解析：把30°，45°，60°角的三角函数值代入上式进行计算，注意tan230°表示tan30°·tan30°. 解：(1)sin60°×cos45°＝×××＝； (2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°＝()2＋()2－()2×1＝＋－＝. 方法总结：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算. 探究点二：由特殊三角函数值确定锐角的度数 在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝________. 解析：由sinA＝，得∠A＝60°，所以cos＝cos30°＝. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝，则∠A＝________. 解析：因为sin45°＝，所以90°－∠A＝45°，所以∠A＝45°. 方法总结：熟练掌握特殊角的三角函数值，并能够由特殊的三角函数值来确定特殊角的度数. 【板书设计】 第2课时 互余两角的三角函数值 【教学目标】 1.理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；(重点) 2.会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 1.在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________；若∠B＝53°28′，则∠A＝________. 2.sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________. 完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值.这个规律，是否适合任意一个锐角呢？ 二、合作探究 探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系 【类型一】 互余两角的正弦、余弦值的关系 在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA的值为( ) A. B. C.1 D. 解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立.故选A. 已知cosα＝，α＋β＝90°，则cosβ＝( ) A. B. C. D. 解析：∵cosα＝，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝＝，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝＝＝.故选C. 方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系.将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边. 【类型二】 互余两个锐角的正切值的关系 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________. 解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角.∴tanA·tanB＝＝1，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. 方法总结：利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小. 【板书设计】 23.1.3一般锐角的三角函数 【教学目标】 1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值；(重点) 2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；(重点) 3.熟练掌握计算器的按键顺序.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？ 二、合作探究 探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值 求sin63°52′41″的值.(精确到0.0001) 解析：按照计算器的说明操作. 解：按下列顺序依次按键：.显示结果为0.897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979. 计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)( ) A.－0.5976 B.0.5976 C.－0.5977 D.0.5977 解析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是－0.5977.故选C. 方法总结：利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据. 探究点二：用计算器完成已知三角函数值求锐角 已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________.(精确到1′) 解析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按，然后选择有关三角函数的键，输入sin－1或cos－1后，再输入数字，得到这个锐角的度数.此题应填48°24′. 探究点三：三角函数大小的比较 (1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化.试探索：随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系； (3)比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)； (4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°. 解：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小； (2)sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°， cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°； (3)当α＝45°时，sinα＝cosα；当α<45°时，sinα<cosα；当α>45°时，sinα>cosα； (4)∵cos70°＝sin20°，cos30°＝sin60°，∴sin10°<cos70°<sin50°<cos30°. 【板书设计】 1 学科网（北京）股份有限公司 $