第22章 相似形（复习讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学《相似形》单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，分层呈现12个核心知识点，构建“定义-性质-判定-应用”的知识脉络，清晰展示相似三角形判定与性质、位似变换等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“模型识别+分层训练”设计，如“相似核心模型题”中射影定理模型的三级结论应用，培养推理意识，“动点存在性问题”通过分类讨论提升几何直观。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，解题要点中的参数法等技巧指导，助力教师实施精准复习教学。

第22章 相似形 复习要点 1.基本事实解决平行线分线段成比例问题，能够利用尺规作图得到线段 的黄金分割点，知道黄金三角形及黄金矩形，能够灵活运用线段的等比性质、合 比性质解决问题。 2.用相似三角形的判定定理解决相似问题，能够运用相似三角形的性质解 决简单实际问题，在解决问题过程中加深对相似三角形知识点的理解和掌握。 3.能够运用位似变换对图形进行放大或缩小，可以在平面直角坐标系下根据 位似变换得到点坐标的变化规律。 4.能够综合运用相似三角形的知识解决简单数学问题，提升学生综合运用知 识点的能力和数学应用意识。 复习重难点 重点：相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）；相似三角形性质（面积比=相似比²）；位似坐标变换。 难点：相似模型识别；动点相似存在性分类讨论；位似中心不在原点的坐标转换。 知识点1 相似图形与相似多边形 (1)相似形：数学上，把具有 的图形称为相似图形； (2)相似多边形：一般地，如果两个多边形的 相等， 相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做 或相似系数． 注意：①相似多边形的定义既是 ，也是 ； ②相似关系表示：用符号“ ”连接，顶点位置要 ． 要点速测 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 知识点2 线段比、比例线段、比例中项 (1)线段比：用 度量两条线段a，b，它们的长度的比叫做这两条线段的比，记作：a∶b或 ． (2)比例线段：在四条线段a，b，c，d中，若 ，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．其中，线段a，d叫做比例 ，线段b，c叫做比例 ． 注意：①四条成比例线段具有 ； ②四条线段“成比例”与“成比例线段”说法不同，前者 ． (3)比例中项：若比例内项是两条相等的线段，即线段a，b，c之间有 ，则线段b叫做线段a，c的比例中项． 注意：①若线段b是线段a，c的比例中项，则有 ； ②线段的比例中项有 个，常数的比例中项有 个． 要点速测 2．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 知识点3 比例的性质 (1)基本性质：如果＝，那么 (口诀：交叉相乘 )． 拓展：①如果＝，那么= (口诀：倒数处理 )； ②如果＝，那么= (口诀：交叉互换 )； (2合比性质：如果＝，那么 ． (3)等比性质：如果＝＝＝…＝，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，那么＝ ． 要点速测 3．已知，且，求，，的值． 知识点4 黄金分割 定义：如图，点C把线段AB分成两部分 AC和BC(AC＞BC)，若较长线段AC为全线 段AB与较短线段BC的 ，即满足 ，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点C叫做线段AB的 ．较长线段AC与全线段AB的线段比= ≈ ，叫做 注意：一条线段的黄金分割点有 个． 要点速测 4．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 知识点5 平行线分线段成比例定理及推论 (1)平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段 ． (2)平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的 线段 ． 注意：①平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等； ②“对应成比例”中的“对应”是 的对应； ③积累两个模型“A” 型和“X”型： 要点速测 5．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 知识点6 平行线截三角形相似定理 预备定理： 于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与 相似． 注意：如图所示，若DE∥BC，则 ∽ . 要点速测 6．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 知识点7 相似三角形的判定 （1）相似三角形的判定1 判定定理1： 分别对应相等的两个三角形相似； 注意：该定理可简记为“ ”. （2)三角形相似判定定理2： 两边 且 的两个三角形相似，该定理可简记为“ ”. 注意：利用“判定定理2”进行判定时，一定注意是“夹角”． (3)三角形相似判定定理3： 三边 的两个三角形相似，该定理可简记为“ ”. 要点速测 7．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 8．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 9．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 知识点8 直角三角形相似判定定理： 和 对应成比例的两个直角三角形相似，该定理可简记为“ ”定理. 注意：①此方法只对直角三角形成立，对其他三角形不成立． ②判定两个直角三角形相似除此定理外，还可以应用三角形相似的判定定理． 要点速测 10．如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 知识点9 相似三角形的性质定理 (1)性质定理1：相似三角形对应 的比、对应 的比和对应 的比相等且都等于 ； (2)性质定理2：相似三角形周长的比等于 ，面积的比等于 . 要点速测 11．如图，在中，，，，，则的长为______． 12．如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 知识点10 位似图形的概念 如果两个多边形满足下列两个条件： (1)关系上：两个多边形是 的； (2)位置上：两个多边形对应顶点的连线 . 这样的两个多边形叫做 图形，这样的图形变换叫做 变换，每组对应顶点的连线都经过的点叫做 . 注意：每组对应点到 的距离的比叫做 . 要点速测 13．下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形一定是轴对称图形 B．平行四边形一定是中心对称图形 C．两个相似多边形一定位似 D．两个位似多边形一定全等 知识点11 位似图形的性质 位似图形除了具有相似图形的性质外，还有以下性质： (1)两位似图形的位似比等于 ； (2)不经过位似中心的对应线段互相 ． 要点速测 14．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 知识点12 位似图形的作图与坐标 (1)作图步骤：在平面直角坐标系中画位似图形时，先确定 ，再根据 找出关键点的对应点，最后连线，得到放大或缩小的图形． (2)坐标结论：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 或 ． 要点速测 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 题型1 比例与黄金分割 ▌例1 （2025·浙江台州·二模）（2026·广东深圳·一模）数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 解题要点 1.理解定义：白银分割点的核心条件是较短线段与较长的线段的比值等于 ​。 2.找准对应：仔细阅读题目，确定哪条线段较长，哪条线段较短。本题中已知 AC>BC， 所以 BC是分子，AC是分母。 3.代入计算：将已知的线段长度代入比例式 中，解方程即可求出未知线段的长度。注意结果可能需要保留根号。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 题型2 平行线分线段成比例 ▌例1 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，，若，，，则的长为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 解题要点 1.遇到多条平行线截两条直线（即图里的斜线）的问题，首先要想到“平行线分线段成比例”的基本事实。即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.将题目给出的具体数值代入比例式，然后运用交叉相乘的方法求解未知数即可快速得出答案。 ▌迁移练1-1（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴，. ▌迁移练1-2（2026·云南昆明·模拟预测）如图，、分别是、边的中点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（2026·广东江门·三模）如图，在中，，，，，则_____． 题型3 相似三角形的判定与证明 ▌例12026·山西大同·模拟预测）如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 解题要点 1.本题的关键在于两次运用三角形中位线的性质。第一次是利用中位线得到平行关系（DE∥BC），第二次是利用中位线得到线段长度相等 2.中点问题的常见套路是“找平行、得比例”。利用“平行线分线段成比例”的性质证明 O为 AF的中点，是整个解题过程中的核心桥梁。没有这一步，就无法把 OD 和 OE 看作中位线。 ▌迁移练1-1（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． ▌迁移练1-2（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 ▌迁移练1-3（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 题型4 相似三角形性质与面积比 ▌例1（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.三角形中位线定理 这是解决本题的突破口。在三角形中，连接两边中点的线段平行于第三边，并且等于第三边的一半（即 DE∥BC且 DE=BC）。 2.做此类题时很容易把“面积比”和“边长比”混淆，或者记错公式。面积比一定是相似比的平方 ▌迁移练1-1（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． ▌迁移练1-2（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（2026·西藏林芝·二模）如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 题型5 相似核心模型题 ▌例1（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 解题要点 1.基础几何模型（射影定理模型）： 这是一个非常经典的“直角三角形斜边上的高”几何模型。在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，作 CD⊥AB于 D，共有三个基本结论（射影定理） 2.在由直角和斜边上的高构成的图形中，寻找相似三角形有规律可循。“同角或余角相等”是突破口。例如本题证 △ACD∼△ABC，∠A 就是它们共同的角，∠ADC和 ∠ACB 都是直角，由这两组等角即可判定相似 3.在根据相似比例关系列出方程求解时，得到了一个一元二次方程。由于几何图形中线段的长度永远是正数，如果解出负数解，必须毫不含糊地将其舍去，这是这类题型中极易失分的一个易错点。 ▌迁移练1-1（2026·广西南宁·模拟预测）如图，正方形边长为4，M，N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)当M点运动到什么位置时，求x的值． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边交于点O，连接．求证： (1)； (2)． ▌迁移练1-3（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与，重合），，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 题型6 相似中的“动点存在性”问题 ▌例1（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解题要点 1.在解答（1）时，题目明确指出两个三角形可能有两种对应关系。这类双解问题千万不能漏解，需根据顶点字母的对应顺序准确写出比例式。 2.求不规则四边形的面积时，“化整为零”是个好思路。如（2）问，将其分割为两个三角形。利用相似三角形对应线段成比例求出三角形的高，是初中阶段常规且严谨的几何解法。 3.求出 t的值后，务必验证它是否满足题目给定的参数范围（本题中为 0<t<4）。不满足的负值或超出范围的解必须果断舍去。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． ▌迁移练1-2（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，于点，点从点出发，沿着射线运动，速度为，点从同时出发，沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)用含的代数式表示的长； (2)求为何值时，和相似； (3)设的面积为，求与的函数关系式． ▌迁移练1-3（2026·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，为的中点，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)______； (2)当时，求的值； (3)过点作 于点，以、为邻边作矩形，设矩形与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 题型7 位似图形与坐标变换 ▌例1（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 解题要点 1.位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心作位似图形，若相似比为 k： 当位似图形在原点同侧时，对应点坐标乘 k；当位似图形在原点异侧时，对应点坐标乘 −k。 2. 2.在解决第(3)问时，不要直接代入 A1,B1,C1 的大坐标去死算。掌握 “位似图形的面积比等于相似比的平方” 这一性质，先求出原图形面积（数值通常较小易算），再乘以 22=4，效率极高且不易算错。 ▌迁移练1-1（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 题型8 相似形的实际应用 ▌例1（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 解题要点 1.观察图形可知，线段 BD与 AC相交于点 O，根据对顶角相等的性质，可得 ∠BOC=∠DOA。 2.根据相似三角形的性质，对应边成比例。由上述比例可知，相似比 k=2，即 =2。 ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． ▌迁移练1-3（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 难点一 比例与相似性质 难点1比例式的“双轨转换 深度规律：比例式本质是一个方程，但形式上可以有无数种写法。若题目要求 ＝​，则四个量中知三求一。而合比性质 ＝是整体与部分的协同变化。 方法透析：遇到“＝求​”，不要硬算，直接令 a=3x,b=2x设参数，代入即得。参数法能破解所有比例变形题。 难点2 相似的性质 深度规律：边长比k=周长比=对应高/中线比k=面积比k2。 逆向秒杀技：若题目给出面积比 1:4求相似比，必须做“降维”操作——开平方得1:2。若给出面积和底边，求对应高，则高之比 = 面积比÷底边比（这其实是“同底不同高”的非相似情境）。 透析结论：面积比只有两条路——要么走“相似公式（平方）”，要么走“共边/同高定理（直接比底边）”。两条路绝不能混用。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 难点二 相似综合问题 难点1：隐藏几何模型 规律一（双垂直-射影定理）：在 Rt△ABC 中，CD⊥AB 于 D，则三组相似天然成立（△ACD∼△CBD∼△ABC）。 必记三级结论：AC2=AD⋅AB；BC2=BD⋅AB；CD2=AD⋅BD。 透析：看到“直角三角形 + 斜边高”，不要犹豫，直接在草稿纸上写出这三个乘积式，通常不需要再证明，直接代入即可秒杀计算题。 规律二（一线三等角- K字型）：若一条直线上出现三个相等的角（如 90∘,60∘），则直线两端的两个三角形必然相似。 透析：实际题目中往往只给你两个角，需要你主动补画第三个角（作垂线）。这是“添加辅助线”的定式——当图中出现“直角多”或“等腰多”时，必考一线三等角，立刻构造。 难点2：判定中的“隐藏条件”与“伪判定” 规律：相似判定中，SAS（两边成比例且夹角相等） 的“夹角”必须是两已知边的公共夹角。而全等中的 SSA（边边角）在相似中完全无效。 透析：若题目给出“，且∠B=∠E”，很多人误以为符合 SAS，其实 ∠B 是 AB 与 BC 的夹角，不是 AB 与 AC 的夹角，条件不足。 应对法：用相似判定前，先自问三个问题： 这是不是 AA（两角）？若角度易得，直接用 AA 最稳。 若是 SAS，用红笔画出已知角，看它是不是夹在已知两边之间。 若都不是，考虑用 SSS（三边比），但这在代数上计算量较大。 难点精练 1．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 2．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 3．（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 基础达标 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（    ） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 3．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，，若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 12．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 三、解答题 13．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 14．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，点E是的中点，点F、G分别在边上，连接，若，求证：． 16．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是的平分线，交于点． (1)在斜边上求作点，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 17．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 18．（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·湖北·期末）如图，在正方形中，点为边上一点，点为边延长线上一点且，连，点为的中点，连，，，．有下列结论： ①； ②； ③直线垂直平分； ④若，则．其中正确的有几个（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 10．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 11．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，已知，垂直平分． （1）若，则的度数为________； （2）下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①若D为的中点，则F为的中点； ②若连接，则四边形为菱形； ③若，，则的长为． 12．（2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 三、解答题 13．（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 14．（2026·广西玉林·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 15．（2026·安徽蚌埠·一模）新考法无刻度直尺作图，如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)借助网格，用无刻度直尺画出线段，使点E在线段上，点F在线段上，且． 16．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 17．（2026·安徽淮南·三模）如图，在Rt中，，，点是边中点，，． (1)当点在线段上，点在线段上，时，的值是_______； (2)当点在射线上，点在射线上，点，不与点，重合，请探究，，之间的数量关系． 18．（2026·重庆·模拟预测）为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图，若，点是中点，，求的面积； (2)如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 相似形 复习要点 1.基本事实解决平行线分线段成比例问题，能够利用尺规作图得到线段 的黄金分割点，知道黄金三角形及黄金矩形，能够灵活运用线段的等比性质、合 比性质解决问题。 2.用相似三角形的判定定理解决相似问题，能够运用相似三角形的性质解 决简单实际问题，在解决问题过程中加深对相似三角形知识点的理解和掌握。 3.能够运用位似变换对图形进行放大或缩小，可以在平面直角坐标系下根据 位似变换得到点坐标的变化规律。 4.能够综合运用相似三角形的知识解决简单数学问题，提升学生综合运用知 识点的能力和数学应用意识。 复习重难点 重点：相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）；相似三角形性质（面积比=相似比²）；位似坐标变换。 难点：相似模型识别；动点相似存在性分类讨论；位似中心不在原点的坐标转换。 知识点1 相似图形与相似多边形 (1)相似形：数学上，把具有相同形状 的图形称为相似图形； (2)相似多边形：一般地，如果两个多边形的对应角 相等，对应边长度的比 相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 或相似系数． 注意：①相似多边形的定义既是判定 ，也是性质 ； ②相似关系表示：用符号“∽ ”连接，顶点位置要对应 ． 要点速测 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 知识点2 线段比、比例线段、比例中项 (1)线段比：用同一个长度单位去度量两条线段a，b，它们的长度的比叫做这两条线段的比，记作：a∶b或 ． (2)比例线段：在四条线段a，b，c，d中，若a∶b＝c∶d ，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．其中，线段a，d叫做比例外项 ，线段b，c叫做比例内项 ． 注意：①四条成比例线段具有顺序性 ； ②四条线段“成比例”与“成比例线段”说法不同，前者无序． (3)比例中项：若比例内项是两条相等的线段，即线段a，b，c之间有a∶b＝b∶c ，则线段b叫做线段a，c的比例中项． 注意：①若线段b是线段a，c的比例中项，则有 b2=a· c ； ②线段的比例中项有 1 个，常数的比例中项有 2 个． 要点速测 2．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 知识点3 比例的性质 (1)基本性质：如果＝，那么 ad＝bc (口诀：交叉相乘 )． 拓展：①如果＝，那么= (口诀：倒数处理 )； ②如果＝，那么= (口诀：交叉互换 )； (2合比性质：如果＝，那么 ＝ ． (3)等比性质：如果＝＝＝…＝，且b1＋b2＋b3＋…＋bn≠0，那么＝ ． 要点速测 3．已知，且，求，，的值． 【答案】， ， 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程等知识点．设，先用分别表示出、、，代入，求得，再将的值代入可得答案． 【详解】解：设， 则，，， 又， ∴， 解得：， ∴， ， ． 知识点4 黄金分割 定义：如图，点C把线段AB分成两部分 AC和BC(AC＞BC)，若较长线段AC为全线 段AB与较短线段BC的比例中项 ，即满足 AC2＝AB·CB ，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点C叫做线段AB的黄金分割点 ．较长线段AC与全线段AB的线段比= ≈ 0.618 ，叫做 黄金比 ． 注意：一条线段的黄金分割点有 2 个． 要点速测 4．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 知识点5 平行线分线段成比例定理及推论 (1)平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例 ． (2)平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应 线段成比例 ． 注意：①平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等； ②“对应成比例”中的“对应”是相对位置 的对应； ③积累两个模型“A” 型和“X”型： 要点速测 5．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：， ， ， ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是得出． 知识点6 平行线截三角形相似定理 预备定理：平行 于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形 相似． 注意：如图所示，若DE∥BC，则△ADE ∽△ABC . 要点速测 6．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点7 相似三角形的判定 （1）相似三角形的判定1 判定定理1：两角 分别对应相等的两个三角形相似； 注意：该定理可简记为“ 角角 ”. （2)三角形相似判定定理2： 两边对应成比例 且夹角相等 的两个三角形相似，该定理可简记为“ 边角边 ”. 注意：利用“判定定理2”进行判定时，一定注意是“夹角”． (3)三角形相似判定定理3： 三边对应成比例 的两个三角形相似，该定理可简记为“ 边边边 ”. 要点速测 7．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 8．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则． 【详解】解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选：D． 9．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 知识点8 直角三角形相似判定定理： 直角边 和 斜边 对应成比例的两个直角三角形相似，该定理可简记为“斜边直角边 ”定理. 注意：①此方法只对直角三角形成立，对其他三角形不成立． ②判定两个直角三角形相似除此定理外，还可以应用三角形相似的判定定理． 要点速测 10．如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)当时，求的比值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， 直角三角形的性质和勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理并添加正确的辅助线是解题关键． （1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作，垂足为G，容易证出，用相似三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出，进一步求出； （3）作，垂足为H，容易证出，得到的三边关系．根据可以证明，从而得到，利用相似的性质计算出，最后求得答案． 【详解】（1）证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，解得，， ∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点9 相似三角形的性质定理 (1)性质定理1：相似三角形对应高 的比、对应中线 的比和对应角平分线 的比相等且都等于相似比 ； (2)性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比 ，面积的比等于相似比的平方 . 要点速测 11．如图，在中，，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出，由可得，推出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ，即， ， 故答案为：8． 12．如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 知识点10 位似图形的概念 如果两个多边形满足下列两个条件： (1)关系上：两个多边形是相似 的； (2)位置上：两个多边形对应顶点的连线交于一点 . 这样的两个多边形叫做位似 图形，这样的图形变换叫做位似 变换，每组对应顶点的连线都经过的点叫做位似中心 . 注意：每组对应点到位似中心 的距离的比叫做位似比 . 要点速测 13．下列命题是真命题的是（   ） A．平行四边形一定是轴对称图形 B．平行四边形一定是中心对称图形 C．两个相似多边形一定位似 D．两个位似多边形一定全等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的对称性、相似多边形与位似多边形的关系，解题的关键是准确掌握轴对称图形、中心对称图形的定义，以及相似与位似、位似与全等的区别和联系． 依据轴对称图形、中心对称图形定义，判断平行四边形的对称性；依据相似、位似、全等的定义与关系，判断相似多边形与位似、位似多边形与全等的关系，确定正确答案． 【详解】A． 普通平行四边形没有对称轴，只有菱形和矩形等特殊类型才有，因此一定是轴对称图形错误，故该选项不符合题意； B．平行四边形的对角线互相平分，绕对角线交点旋转后与原图重合，一定是中心对称图形，故该选项符合题意； C．两个相似多边形对应边不一定平行或对应点连线不一定交于一点，不一定位似，故该选项不符合题意； D．位似多边形是相似多边形，但位似比不一定为1，不一定全等，，故该选项不符合题意； 故选：B 知识点11 位似图形的性质 位似图形除了具有相似图形的性质外，还有以下性质： (1)两位似图形的位似比等于相似比 ； (2)不经过位似中心的对应线段互相平行 ． 要点速测 14．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 知识点12 位似图形的作图与坐标 (1)作图步骤：在平面直角坐标系中画位似图形时，先确定 位似中心 ，再根据 相似比 找出关键点的对应点，最后连线，得到放大或缩小的图形． (2)坐标结论：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 (kx，ky) 或 (－kx，－ky) ． 要点速测 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 题型1 比例与黄金分割 ▌例1 （2025·浙江台州·二模）（2026·广东深圳·一模）数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 解题要点 1.理解定义：白银分割点的核心条件是较短线段与较长的线段的比值等于 ​。 2.找准对应：仔细阅读题目，确定哪条线段较长，哪条线段较短。本题中已知 AC>BC， 所以 BC是分子，AC是分母。 3.代入计算：将已知的线段长度代入比例式 中，解方程即可求出未知线段的长度。注意结果可能需要保留根号。 【答案】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． ▌迁移练1-1（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． ▌迁移练1-2（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 题型2 平行线分线段成比例 ▌例1 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，，若，，，则的长为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 解题要点 1.遇到多条平行线截两条直线（即图里的斜线）的问题，首先要想到“平行线分线段成比例”的基本事实。即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.将题目给出的具体数值代入比例式，然后运用交叉相乘的方法求解未知数即可快速得出答案。 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． ▌迁移练1-1（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴，. ▌迁移练1-2（2026·云南昆明·模拟预测）如图，、分别是、边的中点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由中点推出为的中位线，利用中位线性质判定A、B选项，再由中点分得两段相等，比值均为1，判定C选项，最后利用中位线性质及相似三角形面积比等于相似比的平方判定D选项． 【详解】解：∵、分别是、边的中点， ∴是的中位线， ∴且， 故选项A、B不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， 故选项C不符合题意， ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D符合题意． ▌迁移练1-3（2026·广东江门·三模）如图，在中，，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 题型3 相似三角形的判定与证明 ▌例12026·山西大同·模拟预测）如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 解题要点 1.本题的关键在于两次运用三角形中位线的性质。第一次是利用中位线得到平行关系（DE∥BC），第二次是利用中位线得到线段长度相等 2.中点问题的常见套路是“找平行、得比例”。利用“平行线分线段成比例”的性质证明 O为 AF的中点，是整个解题过程中的核心桥梁。没有这一步，就无法把 OD 和 OE 看作中位线。 【答案】证明：，E分别是，边的中点， 为的中位线，   ． 为的中点，   为的中位线，为的中位线．   ，．   是边的中点，       为的中点 【分析】由中位线的性质可知为的中点，进而可得为的中位线，为的中位线，再利用中位线的性质即可证明． 【详解】略 ▌迁移练1-1（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌迁移练1-2（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． ▌迁移练1-3（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【答案】2，，3 【分析】分类讨论，，，，由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：①若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ②若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ③若， ∴， ∴， ∴ ∴． 题型4 相似三角形性质与面积比 ▌例1（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.三角形中位线定理 这是解决本题的突破口。在三角形中，连接两边中点的线段平行于第三边，并且等于第三边的一半（即 DE∥BC且 DE=BC）。 2.做此类题时很容易把“面积比”和“边长比”混淆，或者记错公式。面积比一定是相似比的平方 【答案】C 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． ▌迁移练1-1（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． ▌迁移练1-2（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ▌迁移练1-3（2026·西藏林芝·二模）如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，进而即可求出与的相似比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与的相似比为． 题型5 相似核心模型题 ▌例1（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 解题要点 1.基础几何模型（射影定理模型）： 这是一个非常经典的“直角三角形斜边上的高”几何模型。在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，作 CD⊥AB于 D，共有三个基本结论（射影定理） 2.在由直角和斜边上的高构成的图形中，寻找相似三角形有规律可循。“同角或余角相等”是突破口。例如本题证 △ACD∼△ABC，∠A 就是它们共同的角，∠ADC和 ∠ACB 都是直角，由这两组等角即可判定相似 3.在根据相似比例关系列出方程求解时，得到了一个一元二次方程。由于几何图形中线段的长度永远是正数，如果解出负数解，必须毫不含糊地将其舍去，这是这类题型中极易失分的一个易错点。 【答案】(1) 证明：，， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据两组角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质得到，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， 解得：（舍去）或， ． ▌迁移练1-1（2026·广西南宁·模拟预测）如图，正方形边长为4，M，N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)当M点运动到什么位置时，求x的值． 【答案】(1) 证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． (2) (3)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，以及求函数解析式等知识． (1)由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； (2)根据三角形相似得出与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式； (3)根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，即 ∴ ∴ （3）∵， ∴要使，必须有 由（1）知 ∴ ∴当点M运动到的中点时，，此时 ▌迁移练1-2（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边交于点O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵旋转， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵旋转， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，进而得到，即可得证； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练1-3（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与，重合），，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】(1) 证明：是边上的高， ， ， ， 在和中， ，， ， ； (2) 解：与垂直， 证明：， 四边形为矩形， ， 由（1）知， ， 中， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质． 根据垂直的定义可知，又因为，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； 根据，可证四边形为矩形，可得：，根据同角或等角的余角相等，可证：，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形对应角相等，可证：，从而可证，即可证明与垂直． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 相似中的“动点存在性”问题 ▌例1（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解题要点 1.在解答（1）时，题目明确指出两个三角形可能有两种对应关系。这类双解问题千万不能漏解，需根据顶点字母的对应顺序准确写出比例式。 2.求不规则四边形的面积时，“化整为零”是个好思路。如（2）问，将其分割为两个三角形。利用相似三角形对应线段成比例求出三角形的高，是初中阶段常规且严谨的几何解法。 3.求出 t的值后，务必验证它是否满足题目给定的参数范围（本题中为 0<t<4）。不满足的负值或超出范围的解必须果断舍去。 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． ▌迁移练1-1（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． ▌迁移练1-2（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，于点，点从点出发，沿着射线运动，速度为，点从同时出发，沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)用含的代数式表示的长； (2)求为何值时，和相似； (3)设的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) 【分析】（1）分当时，当时，根据题意分别解答即可． （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，由题意知，当时，在线段上，，在上，．当时，在延长线上，，在上，．再分①若，②若，分别求解即可． （3）过点作于点，如图③，分当时，，如图④，当时，，求解即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，． （2）解：，，于点， ，． 由题意知， 当时，在线段上，，在上，． 当时，在延长线上，，在上，． ①若，如图①， 则， ， 解得． ②若，如图②， 则， ， 解得． 综上所述，或时，和相似． （3）解：过点作于点，如图③， 当时，，即点与点重合，不存在； 当时，， ， ， ； 如图④，当时，， ， ， ． 综上所述，． ▌迁移练1-3（2026·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，为的中点，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)______； (2)当时，求的值； (3)过点作 于点，以、为邻边作矩形，设矩形与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据勾股定理算出， （2）根据点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度运动，得出，又因为，故，则，即可作答． （3）要结合题意，进行逐个情况作图，运用数形结合思想以及面积计算方式进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：∵点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度， ∴， ， 当时， 则 ∴ ， ∴， ， ∴ （3）解：由（2）得，当时，， ∴①当时，如图1，重叠部分是四边形 ． ∵在中，，，， ∴， 则， ∴， 则． ∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止运动时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． ∴， ②当时，如图2， ， 则 ∴ ； 当时， 则， 则； ③当时，如图3，重叠部分是五边形． 则， 则 ∴ ∴ 则 ∴ ∵点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动， ∴ ④当时，如图4， 则 题型7 位似图形与坐标变换 ▌例1（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 解题要点 1.位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心作位似图形，若相似比为 k： 当位似图形在原点同侧时，对应点坐标乘 k；当位似图形在原点异侧时，对应点坐标乘 −k。 2. 2.在解决第(3)问时，不要直接代入 A1,B1,C1 的大坐标去死算。掌握 “位似图形的面积比等于相似比的平方” 这一性质，先求出原图形面积（数值通常较小易算），再乘以 22=4，效率极高且不易算错。 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． ▌迁移练1-1（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． ▌迁移练1-2（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． ▌迁移练1-3（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 题型8 相似形的实际应用 ▌例1（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 解题要点 1.观察图形可知，线段 BD与 AC相交于点 O，根据对顶角相等的性质，可得 ∠BOC=∠DOA。 2.根据相似三角形的性质，对应边成比例。由上述比例可知，相似比 k=2，即 =2。 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． ▌迁移练1-1（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． ▌迁移练1-2（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． ▌迁移练1-3（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 难点一 比例与相似性质 难点1比例式的“双轨转换 深度规律：比例式本质是一个方程，但形式上可以有无数种写法。若题目要求 ＝​，则四个量中知三求一。而合比性质 ＝是整体与部分的协同变化。 方法透析：遇到“＝求​”，不要硬算，直接令 a=3x,b=2x设参数，代入即得。参数法能破解所有比例变形题。 难点2 相似的性质 深度规律：边长比k=周长比=对应高/中线比k=面积比k2。 逆向秒杀技：若题目给出面积比 1:4求相似比，必须做“降维”操作——开平方得1:2。若给出面积和底边，求对应高，则高之比 = 面积比÷底边比（这其实是“同底不同高”的非相似情境）。 透析结论：面积比只有两条路——要么走“相似公式（平方）”，要么走“共边/同高定理（直接比底边）”。两条路绝不能混用。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 2．（2026·浙江台州·二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 3．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 难点二 相似综合问题 难点1：隐藏几何模型 规律一（双垂直-射影定理）：在 Rt△ABC 中，CD⊥AB 于 D，则三组相似天然成立（△ACD∼△CBD∼△ABC）。 必记三级结论：AC2=AD⋅AB；BC2=BD⋅AB；CD2=AD⋅BD。 透析：看到“直角三角形 + 斜边高”，不要犹豫，直接在草稿纸上写出这三个乘积式，通常不需要再证明，直接代入即可秒杀计算题。 规律二（一线三等角- K字型）：若一条直线上出现三个相等的角（如 90∘,60∘），则直线两端的两个三角形必然相似。 透析：实际题目中往往只给你两个角，需要你主动补画第三个角（作垂线）。这是“添加辅助线”的定式——当图中出现“直角多”或“等腰多”时，必考一线三等角，立刻构造。 难点2：判定中的“隐藏条件”与“伪判定” 规律：相似判定中，SAS（两边成比例且夹角相等） 的“夹角”必须是两已知边的公共夹角。而全等中的 SSA（边边角）在相似中完全无效。 透析：若题目给出“，且∠B=∠E”，很多人误以为符合 SAS，其实 ∠B 是 AB 与 BC 的夹角，不是 AB 与 AC 的夹角，条件不足。 应对法：用相似判定前，先自问三个问题： 这是不是 AA（两角）？若角度易得，直接用 AA 最稳。 若是 SAS，用红笔画出已知角，看它是不是夹在已知两边之间。 若都不是，考虑用 SSS（三边比），但这在代数上计算量较大。 难点精练 1．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 2．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，于，求证：． 【答案】 证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】略 3．（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 基础达标 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，方格纸中有与，其中的一边与的一边和方格线重合．下列判断正确的是（    ） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理计算出各边长度，再验证三边是否成比例． 设方格边长为1，用勾股定理算出和三边的长度．计算两组三角形对应边的比值，发现三组对应边比例相等．根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理，得出两三角形一定相似的结论．对照选项，选出正确答案． 【详解】解：设每个小方格的边长为1， 在中： ，， 在中： ，， ，， ∴三组对应边的比例相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可以判定与一定相似． A．仅为直角三角形不能判定相似，还需要对应边成比例或对应角相等，故本选项不符合题意； B．因为两个三角形的对应边成比例，满足相似三角形的判定条件，故本选项符合题意； C．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； D．对应边成比例必然导致对应角相等，所以一定相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得出，，再证明，然后证明，即可作答． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∵ 为 的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）如图，，若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 6．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，准确计算是解题的关键． 根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：，且， ； 故选：． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是关键．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴． 故选：B． 8．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 二、填空题 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 12．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 三、解答题 13．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． 14．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在正方形中，点E是的中点，点F、G分别在边上，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 由正方形的性质可得，再结合已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：四边形是正方形， ，               点E是的中点， ，              ，     ． 16．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，是的平分线，交于点． (1)在斜边上求作点，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，相似三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）由可得，即过点作交于点即可，然后按照过直线上一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 17．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 6．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 7．（25-26八年级下·湖北·期末）如图，在正方形中，点为边上一点，点为边延长线上一点且，连，点为的中点，连，，，．有下列结论： ①； ②； ③直线垂直平分； ④若，则．其中正确的有几个（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于结论①，因为正方形的边，且，又已知，所以可依据判定定理判断两个三角形是否全等； 对于结论②，先由①的全等可得、，可推出是等腰直角三角形，再结合正方形对角线分角为、是直角三角形的角度关系，推导角的和是否为； 对于结论③，因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以可得，再结合正方形顶点到两端距离相等，判断是否在的垂直平分线上； 对于结论④，过点作交于点，可得中位线与的关系，用③的结论可证的形状，从而得到与的关系，因此结合的长度求解的长度． 【详解】①：正方形中，，，已知，根据全等判定，可得，故①正确 ②：由①得：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵正方形对角线平分， ∴， 即， 又∵是直角三角形， ∴， 而， ∴， ∴，故②正确； ③：连接、， 在直角中，是中点，故； 在直角中，是中点，故， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分，③正确； ④：过点作交于点， 由③得，直线垂直平分，且为正方形的对角线， ∴平分， ∴， ∴， ∵， 则， ∵点为的中点，且， ∴点为的中点， ∴为的中位线， ∴，故④正确， 四个结论全部正确，正确的个数为． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 二、填空题 9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 10．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【分析】连接交于点O，由三线合一得，． 由折叠的性质可知，，，，，可得，由平行线分线段成比例求出，再根据三角形中位线的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 11．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，已知，垂直平分． （1）若，则的度数为________； （2）下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①若D为的中点，则F为的中点； ②若连接，则四边形为菱形； ③若，，则的长为． 【答案】 ①②③ 【分析】（1）先根据三角形的外角性质求出，再结合线段垂直平分线的性质以及三线合一求解即可； （2）①利用平行线分线段成比例定理求解；②根据线段垂直平分线的性质以及四边相等的四边形是菱形证明即可；③先由勾股定理求解，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴； （2）①∵D为的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴F为的中点，故①正确 ②如图， ∵垂直平分 ∴， ∵ ∴ 由（1）可得， ∴ ∴， ∴ ∴四边形为菱形，故②正确； ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确， ∴正确的有①②③． 12．（2026·浙江杭州·三模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则___________． 【答案】/ 【分析】连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 三、解答题 13．（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·广西玉林·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图，求解即可； （2）连接，根据平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： 则直线即为所求； （2）解：如图，连接， 由（1）知，且平分， ，且是的中点， 故， 是的中点， ， ， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得； 15．（2026·安徽蚌埠·一模）新考法无刻度直尺作图，如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形； (3)借助网格，用无刻度直尺画出线段，使点E在线段上，点F在线段上，且． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，即为所求． 【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （3）利用“平行线分线段成比例”可找到的中点E，再利用“矩形的对角线互相平分”可找到的中点F，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)；，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质易证得，进而得到、，结合中点M的性质，从而得到，； （2）过点E作，交于点H，结合（1）中的结论易证得，进而得到，再证得，最后利用平行线分线段成比例的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）证明：；，证明过程如下： ， ， 由旋转的性质得、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 点是中点， ， ； （2）证明：，证明过程如下： 过点E作，交于点H， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 、， ， ， ． 17．（2026·安徽淮南·三模）如图，在Rt中，，，点是边中点，，． (1)当点在线段上，点在线段上，时，的值是_______； (2)当点在射线上，点在射线上，点，不与点，重合，请探究，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，根据平行线分线段成比例定理可以求出，可以证明四边形是正方形，根据正方形的性质可以求出； （2）当点在射线上，点在射线上时，当点在线段上，点在线段上时，可以求出；当点在线段外，点在线段外时，可以求出． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， 点是边中点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ； （2）解：如下图所示，当时，连接， ，点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 在与中，， ， ， ； 如图2所示，当时，连接， 点，不与点，重合，则不成立， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点是边中点， ， ， ， 在与中，， ， ， ， 综上所述，或． 18．（2026·重庆·模拟预测）为等边三角形，点为线段上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图，若，点是中点，，求的面积； (2)如图，若，连接，若点为中点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点为中点，连接，点从移动到的过程中，将绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，作交直线于点，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明如下： 以为边作等边三角形，延长至，使，连接，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）作的延长线于点，在特殊三角形和中分别求解，，即可求解的面积； （2）以为边作等边三角形，延长至，使，连接，，由等边三角形的性质，可证得，从而进一步证得，则，通过线段的等量代换即可得到； （3）当时，取最小值，为等边三角形，由特殊角的三角函数计算出各个边的长度，当在的延长线上时，最大，又，可得，，可得，，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的延长线于点， ∵为等边三角形，点为线段的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图， 由（2）可知， ∴， 在中，，，点在射线上运动，且， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短， ∴当时，取最小值， 将绕点逆时针旋转，则为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，于点， 而，即点落在上， ∵点为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得， ∴， 在中，由于两边之和大于第三边，， ∴当在的延长线上时，最大， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $