专题22.1 相似多边形及成比例线段（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦相似多边形及成比例线段核心知识点，系统梳理相似多边形的概念性质、比例线段及性质、黄金分割、平行线分线段成比例定理，构建从多边形相似到比例应用的递进学习支架。 资料以知识点+即学即练+题型分类设计，通过具体图形判断培养几何直观（数学眼光），比例计算发展推理能力（数学思维），黄金分割结合实际情境强化应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题22.1 相似多边形及成比例线段 教学目标 1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义.掌握相似多边形 的性质和判断； 2.掌握比例线段的概念及其性质，会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例； 3.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用； 4.知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线 段的黄金分割点。 教学重难点 1.重点 相似多边形的有关概念及性质，比例线段的基本性质，平行线分线段成比例定理和推论及其应用 2.难点 黄金分割的意义及运用 知识点01 相似多边形 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 如图，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，则可以得到： 对应角相等：∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, ∠D=∠D1, ∠E=∠E1, ∠F=∠F1 对应边等比例：AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比相等 【即学即练】 1.下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 2.如图，矩形被分割成个全等的矩形，若这个矩形都和矩形相似，则（    ） A．3 B． C． D． 3.如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ． 知识点02 比例的性质 1.比例的性质 ①基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：⇔＝；（b、d≠0） ③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔＝k．（b、d、…、n≠0） 2.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【即学即练】 1.已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 2.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 知识点03 黄金分割 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. 注意： 1.一条线段有2个黄金分割点； 2.黄金比的值为，近似值为0.618，它是一个比值，没有单位； 3.在形式上，黄金比可以理解为 【即学即练】 1.一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 3.已知是线段AB的黄金分割点)，则下列结论中，正确的有（　　）. ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点04 平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. 2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则. 3.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 【即学即练】 1.如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 2.如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 3.如图，已知，，求：（1） ；（2） ． 题型01 相似多边形 【典例1】下列图形中不一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 【变式1】下列图形都相似吗？为什么？ （1）所有的正方形都相似吗？ （2）所有的矩形都相似吗？ （3）所有的菱形都相似吗？ （4）所有的等边三角形都相似吗？ （5）所有的等腰三角形都相似吗？ （6）所有的等腰梯形都相似吗？ （7）所有的等腰直角三角形都相似吗？ （8）所有的正五边形都相似吗？ 相似， 不一定相似． 【变式2】如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ． 题型02 比例的性质 【典例2】若，则 ． 【变式1】已知，若，则＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．1 【变式2】已知，则： ． 【变式3】设，则k的值为 ． 题型03 成比例线段 【典例3】已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【变式2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 【变式3】已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝_____cm． 题型04 黄金分割 【典例4】已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是　 　. 【变式1】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【变式2】2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 【变式3】20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 题型05 平行线分线段成比例定理 【典例5】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．10 【变式1】在中，，，，则等于（　　）    A．10 B．8 C．9 D．6 【变式2】如图，直线 ，已知，，， ． 【变式3】如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= · 1.下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 2.若，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 3.下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4.已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 5.如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（　　）． A． B． C．50 D．30 6.如图，已知AB、CD、EF互相平行，且AB=1，CD=4，那么EF的长是（　　） A． B． C． D． 7．有下列几个命题： ①四条边相等的四边形都相似； ②四个角都相等的四边形都相似； ③三条边相等的三角形都相似； ④所有的正十二边形都相似． 其中正确命题的个数是（　　）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图，已知，AD=6cm，DB=4.5cm，EC=3cm，则AC=　 　cm． 9.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm. 10.已知，且，则　 　． 11.如图，一张矩形纸片ABCD的长AB =a(cm)，宽BC=b(cm)，E，F分别为AB，CD的中点．将这张纸片沿直线EF对折后，矩形EFDA与矩形ABCD相似，则a：b=　 　 12.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小． 13.人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？ 14.如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：5 15．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.1 相似多边形及成比例线段 教学目标 1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义.掌握相似多边形 的性质和判断； 2.掌握比例线段的概念及其性质，会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例； 3.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用； 4.知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线 段的黄金分割点。 教学重难点 1.重点 相似多边形的有关概念及性质，比例线段的基本性质，平行线分线段成比例定理和推论及其应用 2.难点 黄金分割的意义及运用 知识点01 相似多边形 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。 如图，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，则可以得到： 对应角相等：∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, ∠D=∠D1, ∠E=∠E1, ∠F=∠F1 对应边等比例：AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比相等 【即学即练】 1.下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 【答案】A 【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可． 【详解】A.两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意； B. 邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； D. 四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意； 故选A． 2.如图，矩形被分割成个全等的矩形，若这个矩形都和矩形相似，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据全等图形的性质得到，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设， 个小矩形全等， ， 每个小矩形都与矩形相似 ， ， ， ：： ． 故选：B． 3.如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似图形的相似比、勾股定理，设方格的边长为1，由勾股定理可得，，从而即可 求解，掌握相似比的定义是解题的关键． 【详解】解：设方格的边长为1， 则，， 五边形五边形， ∴五边形与五边形的相似比是为， 故答案为：． 知识点02 比例的性质 1.比例的性质 ①基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：⇔＝；（b、d≠0） ③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔＝k．（b、d、…、n≠0） 2.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【即学即练】 1.已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出，代入所求式子中，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选：D． 3.若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：∵，，，成比例线段， ∴可得：， 又∵，，， ∴， 解得：， ∴线段的长为． 故选：B 知识点03 黄金分割 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. 注意： 1.一条线段有2个黄金分割点； 2.黄金比的值为，近似值为0.618，它是一个比值，没有单位； 3.在形式上，黄金比可以理解为 【即学即练】 1.一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义即可求解. 【详解】根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个. 2.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴的长度为 ． 故答案为：． 3.已知是线段AB的黄金分割点)，则下列结论中，正确的有（　　）. ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用黄金分割点可知PA2=PB·AB，可对①②作出判断；由此可推出PA2=PB·（PA+PB），解方程可得到PB与PA的比值，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数. 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB）， ∴PA2=PB·AB，故①正确； ∴，故②错误 ∴PA2=PB·（PA+PB） 解之：即，故③正确； ∴正确结论有2个. 故答案为：C. 知识点04 平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. 2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则. 3.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 【即学即练】 1.如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 2.如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 【答案】10 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， ． 故答案为：10． 3.如图，已知，，求：（1） ；（2） ． 【答案】 1 1 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解； （2）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ； 故答案为：1； （2）∵， ， ∵，， ， ； 故答案为：1． 题型01 相似多边形 【典例1】下列图形中不一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】C 【分析】根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【变式1】下列图形都相似吗？为什么？ （1）所有的正方形都相似吗？ （2）所有的矩形都相似吗？ （3）所有的菱形都相似吗？ （4）所有的等边三角形都相似吗？ （5）所有的等腰三角形都相似吗？ （6）所有的等腰梯形都相似吗？ （7）所有的等腰直角三角形都相似吗？ （8）所有的正五边形都相似吗？ 相似， 不一定相似． 【答案】 （1）（4）（7）（8） （2）（3）（5）（6） 【分析】根据正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形及正五边形的性质进行判断即可． 【详解】解：（1）正方形的四条边相等，四个角都等于90°，所以对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正方形都相似； （2）矩形的四个角都等于90°，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似； （3）菱形的四条边相等，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定相似； （4）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°，所以所有的等边三角形的对应边都成比例，对应角都相等，所以所有的等边三角形都相似； （5）等腰三角形的两条边相等，两个底角相等，但所有等腰三角形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似； （6）等腰梯形的两条腰相等，两对底角相等，但所有等腰梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰梯形不一定相似； （7）所有的等腰直角三角形都有两个45°角和一个90°角，所以所有等腰直角三角形的对应角都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似； （8）正五边形的五条边相等，五个角相等，所以所有对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正五边形都相似． 所以（1）（4）（7）（8）一定相似； （2）（3）（5）（6）不一定相似． 故答案为：（1）（4）（7）（8）；（2）（3）（5）（6）． 【变式2】如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 【详解】解：设矩形的长，宽， 则， 矩形与矩形相似， ，即， 即． ． 故选：A． 【变式3】如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 题型02 比例的性质 【典例2】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【变式1】已知，若，则＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．1 【答案】A 【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：A. 【变式2】已知，则： ． 【答案】 【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值． 【详解】∵， ∴， ∴设，， ∴ 【变式3】设，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】解：当时， ， 由等比性质可得，， 即； 当时，， ； 综上所述，的值为或． 故答案为：或 题型03 成比例线段 【典例3】已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据线段a，b，c，d成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴ ∴； 故选D． 【变式1】下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为，所以不能组成比例，不符合题意； C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 【变式2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段，，，成比例，则，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，，， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 【变式3】已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝_____cm． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即b2＝3×6， 解得b＝±3（线段是正数，负值舍去）， ∴a和c的比例中项b＝3cm． 故答案为：3． 题型04 黄金分割 【典例4】已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是　 　. 【答案】 【分析】由D是线段AB的黄金分割点且BD最短，得出，从而求出BD的长. 【详解】解：∵D是线段AB的黄金分割点且BD最短， ∴ 又AD的长为12厘米 ∴ ㎝. 故答案为： . 【变式1】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论． 【详解】点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点， ， ， 支撑点之间的距离为． 故选：A． 【变式2】2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故选：A 【变式3】20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 题型05 平行线分线段成比例定理 【典例5】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长． 【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、， 由题意可知，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】在中，，，，则等于（　　）    A．10 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴＝， 解得：， 故选：D． 【变式2】如图，直线 ，已知，，， ． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= · 【答案】// 【分析】先根据平行线的判定方法得到，然后根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质计算DF． 【详解】解：∵DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC， ∴， ∴，即， ∴DF＝7.5． 故答案为7.5． 1.下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果两个多边形的边数相同，对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似. 【详解】解：A、不相似，不符合题意； B、不相似，不符合题意； C、相似，符合题意； D、不相似，不符合题意. 故答案为：C. 2.若，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】比例的内项积等于外项积，据此求解。 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：B． 3.下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】根据比例线段的性质（最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，它们的积相等），结合题意即可求解 【详解】解：A、，A不符合题意； B、，B符合题意； C、，C不符合题意； D、，D不符合题意； 故答案为：B 4.已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个矩形长、宽对应成比例即可相似进行分析解答即可. 【详解】解：AB：BC=4：3， A、长：宽=2：1.5=4：3，A符合题意； B、长：宽=2：1.2=5：8，B不符合题意； C、长：宽=3：2，C不符合题意； D、长：宽=2.5：1.5=5：3，D不符合题意. 故答案为：A. 5.如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（　　）． A． B． C．50 D．30 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例”可得比例式，从而代值计算可求解. 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵DE=24，EF=40，BC=50， ∴， 解得；AB=30cm. 故答案为：D. 6.如图，已知AB、CD、EF互相平行，且AB=1，CD=4，那么EF的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例。根据平行线分线段成比例，得到对应线段的比即可得出结论。 【详解】∵ AB∥CD，AB=1，CD=4 ∴ ∴ ∵ EF∥CD ∴ ∴ EF= 故答案为D 7．有下列几个命题： ①四条边相等的四边形都相似； ②四个角都相等的四边形都相似； ③三条边相等的三角形都相似； ④所有的正十二边形都相似． 其中正确命题的个数是（　　）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，可判断①②说法错误；根据如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，可判断③④说法正确；即可得出答案. 【详解】解：①四条边相等的四边形不一定都相似，例如边长相等的菱形和正方形，故原说法错误； ②四个角都相等的四边形都相似，例如边长不相等的两个矩形，故原说法错误； ③三条边相等的三角形都相似，此说法正确； ④所有的正十二边形都相似，此说法正确． 则正确的有2个． 故答案为：B． 8.如图，已知，AD=6cm，DB=4.5cm，EC=3cm，则AC=　 　cm． 【答案】7 【分析】先根据比例求出AE，进而根据AC=AE+CE即可求解。 【详解】解：∵，AD=6cm，DB=4.5cm，EC=3cm， ∴ ∴AE=4cm， ∴AC=AE+CE=7cm， 故答案为：7 9.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　 　cm. 【答案】4 【分析】根据比例中项的概念可得c2＝ab，代入求解即可. 【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm， ∴ ＝ ， ∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去）， ∴线段c＝4cm. 故答案为：4. 10.已知，且，则　 　． 【答案】8 【分析】设，则，再将其代入可得，再将代入计算即可。 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 11.如图，一张矩形纸片ABCD的长AB =a(cm)，宽BC=b(cm)，E，F分别为AB，CD的中点．将这张纸片沿直线EF对折后，矩形EFDA与矩形ABCD相似，则a：b=　 　 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应边之比相等可得，整理求解得即可． 【详解】解：根据题意可得AB=DG=a，BC=DA=EF=b，， ∵矩形EFDA与矩形ABCD相似， ∴， 整理得： 解得：， 则. 故答案为：． 12.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小． 【答案】解：BC＝27，∠H＝83° 【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可. 【详解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H， ∵AB＝18，EF＝4，FG＝6， ∴， 解得：BC=27， 在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°， ∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°， ∴∠H=∠D=83°， 故答案为：27；83°. 13.人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？ 【答案】偏高 【分析】设这双高跟鞋的高度为合适，利用黄金分割比例出方程求出x的值，再比较大小即可. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为合适， 由题意得：，解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 14.如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：5 【答案】C 【分析】作 交 于 ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，得到答案. 【详解】解：作 交 于 ， ， 是 的中线， ， ， 是 中点， ， ， ， 故答案为： . 15．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由． 【答案】 【分析】根据题意可得，化简整理即可求出答案. 【详解】解：当 矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似，有，即， ∴20(30+2x)=30(20+2y)， 解得 答：时矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $