专题21.3 二次函数的应用（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，衔接二次函数性质（顶点式、一般式），构建从最值求法（顶点式、公式法）到建立坐标系转化实际问题，再到解决几何、利润、抛物线型实际问题的学习支架。 资料通过“即学即练”夯实基础，“典例+变式”深化理解，结合铅球飞行、拱桥设计等生活实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理建模的能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化应用意识。

专题21.3 二次函数的应用 教学目标 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际总问题。 2.进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数的最值关系。 3.经历问题探究的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 教学重难点 1.重点 将简单的实际问题转化为数学问题，分析和表示变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。 2.难点 正确理解题意，从实际问题中抽象出二次函数模型。 知识点01 二次函数的增减性和最值 1.求二次函数最值的两种方法：___________________ 2.用顶点式y=a(x-h)2+k求最值 当a<0时，有最____值，当________时取到最大值________ 当a>0时，有最____值，当________时取到最小值________ 3.用公式求y=ax2+bx+c的最值 当a<0时，有最____值，当________时取到最大值____________ 当a>0时，有最____值，当________时取到最小值____________ 【即学即练】 1.函数y=-3(x+2)2的图象开口　　　　　,对称轴是　　　　　,顶点坐标为　　　　　　　.  2.二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标是 (　　) A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,-2) D.(3,2) 3.当2.5≤x≤5时，二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为__. 知识点02 建立坐标系求解二次函数实际问题 对于实际问题，有些轨迹或物体的形状为抛物线，此时可以建立坐标系，将实际数据转化为点的坐标，求出函数表达式，进而解决实际问题。 对于不同类型的图形和问题，建立坐标系，对应不同的表达式，如下表 表达式 图象 【即学即练】 1.如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关是．则他将铅球推出的距离是（    ） A． B． C． D． 题型01 利用二次函数解决几何问题 【典例1】一边靠墙（墙有足够长），其他三边用米长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（    ）平方米． A．56 B．66 C．72 D．144 【变式1】如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ） A．B．C． D． 【变式2】如图1，在中，，，，动点从点开始沿边AB向点匀速移动（点的速度小于），同时动点从点开始沿边BC向点匀速移动，点到达时，点恰好到达C．的面积关于出发时间的函数图象如图2所示，则点的运动速度为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 利用二次函数解决利润问题 【典例1】将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式1】某市的一种特产由于运输问题,长期只能在当地销售,该市政府对该特产的销售投资与收益的关系:每年投资x万元,可获利P=-(x-60)2+46(单位:万元),每年最多投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值为　　　　　.   【变式2】某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ． 【变式3】2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，让四川成为了全世界年轻人关注的焦点，其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝．若该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． (1)设蓉宝每套售价定为元时，求该商品销售量（套）与之间的函数关系式； (2)求每套售价定为多少元时，每天销售所获利润最大，最大利润是多少元？ 题型03 利用二次函数解决抛物线型实际问题 【典例1】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【变式1】跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，其中小冬拿绳子的手的坐标是．身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴的距离为1米，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，则m的取值范围为 ． 【变式2】在抛掷实心球时，实心球运动的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，下列结论正确的是（） A．当时，实心球离地面的高度最小 B．实心球在空中飞行的最大高度是 C．投掷实心球的距离是 D．如果实心球在空中飞行速度是，则实心球从飞出到落地的时间为 【变式3】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（ ） A． B． C． D． 1.由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（　　） A．5m/s B．10m/s C．20m/s D．40m/s 3．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 4.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 5.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：(1)柱子OA的高度为m；(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为 A．60元 B．70元 C．80元 D．90元 7.小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 m． 8．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是___千米． 9.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为为拱桥底部的两点，且若的长为则点到直线的距离为____ 10.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/t,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(t)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/t)与原料的质量x(t)之间的关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式; (3)原料的质量为多少吨时,所获销售利润最大?最大销售利润是多少万元?(销售利润=销售收入-总支出). 11．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件． （1）当销售单价为58元时，每天销售量是 件． （2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 12．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m． （1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； （2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？ 13．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同． （1）求该型号自行车的进价是多少元？ （2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？ 14.某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价(元 3.5 5.5 销售量(袋 280 120 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 15.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3 二次函数的应用 教学目标 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际总问题。 2.进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数的最值关系。 3.经历问题探究的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 教学重难点 1.重点 将简单的实际问题转化为数学问题，分析和表示变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。 2.难点 正确理解题意，从实际问题中抽象出二次函数模型。 知识点01 二次函数的增减性和最值 1.求二次函数最值的两种方法：配方法、公式法。 2.用顶点式y=a(x-h)2+k求最值 当a<0时，有最大值，当x=h时取到最大值y=k 当a>0时，有最小值，当x=h时取到最小值y=k 3.用公式求y=ax2+bx+c的最值 当a<0时，有最大值，当x=时取到最大值y= 当a>0时，有最小值，当x=时取到最小值y= 【即学即练】 1.函数y=-3(x+2)2的图象开口　　　　　,对称轴是　　　　　,顶点坐标为　　　　　　　.  【答案】向下；直线x=-2；(-2,0)　 【分析】根据二次函数图象的性质可以得到结果 【详解】函数y=-3(x+2)2的图象开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0). 2.二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标是 (　　) A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,-2) D.(3,2) 【答案】A 【分析】将二次函数变为顶点式，即可求出顶点坐标 【详解】∵y=-4x2+16x-19=-4(x-2)2-3, ∴二次函数y=-4x2+16x-19的图象的顶点坐标为(2,-3), 故选A. 3.当2.5≤x≤5时，二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为__. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可 【详解】解：函数y=-(x-1)2+2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1， 当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小， 所以当x＝2.5时，y最大＝－（2.5－1）2＋2＝-． 故答案为-. 知识点02 建立坐标系求解二次函数实际问题 对于实际问题，有些轨迹或物体的形状为抛物线，此时可以建立坐标系，将实际数据转化为点的坐标，求出函数表达式，进而解决实际问题。 对于不同类型的图形和问题，建立坐标系，对应不同的表达式，如下表 表达式 y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 图象 【即学即练】 1.如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得． 本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键． 【详解】∵抛物线关于y轴对称， ∴设解析式为， 由题知，， 得， 解得， ∴． 故选：A． 2.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关是．则他将铅球推出的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：C． 题型01 利用二次函数解决几何问题 【典例1】一边靠墙（墙有足够长），其他三边用米长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（    ）平方米． A．56 B．66 C．72 D．144 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形垂直于墙的边长为米，面积为平方米，根据矩形的面积公式即可求出函数解析式，再利用配方法即可求出函数最值，解题的关键在于找出等量关系列出函数解析式． 【详解】解：设矩形垂直于墙的边长为米，面积为平方米， 根据题意得：， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故选：． 【变式1】如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∴与的函数图象是A． 故选：A． 【变式2】如图1，在中，，，，动点从点开始沿边AB向点匀速移动（点的速度小于），同时动点从点开始沿边BC向点匀速移动，点到达时，点恰好到达C．的面积关于出发时间的函数图象如图2所示，则点的运动速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化； 根据题意可以分别得到和的长，从而可表示出三角形的面积，结合函数图象，从而可以确定点的运动速度． 【详解】解：∵． 且点P到达点B时，点Q到达点C． 设点P的速为，则点Q的速度， ∴， ∵ ， 因为函数图象过点， ∴， ， ， 解得：， 点P的速度小于， ∴点P的运动速度为， 故选：C． 【变式3】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值． 【解答】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有： S=S△ABC-S△PBQ = ×12×6- （6-t）×2t =t2-6t+36 =（t-3）2+27． ∴当t=3s时，S取得最小值． 故选C． 题型02 利用二次函数解决利润问题 【典例1】将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义． 根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C 【变式1】某市的一种特产由于运输问题,长期只能在当地销售,该市政府对该特产的销售投资与收益的关系:每年投资x万元,可获利P=-(x-60)2+46(单位:万元),每年最多投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值为　　　　　.   【答案】230万元 【分析】根据表达式得到顶点坐标，进而得到结论 【详解】∵P=-(x-60)2+46,0<x≤100,∴当x=60时,P取最大值46,∴5年所获利润的最大值为46×5=230万元. 【变式2】某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ． 【答案】11元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据“总利润每瓶利润日均销售量”列方程求解可得． 【详解】解：设每瓶该饮料售价为元， 由题意可知，， 整理得，解得，， 当时，日均销售量为（瓶）， 当时，日均销售量为（瓶）， ，为尽快减少库存，每瓶该饮料售价为11元． 故答案为：11元． 【变式3】2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，让四川成为了全世界年轻人关注的焦点，其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝．若该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． (1)设蓉宝每套售价定为元时，求该商品销售量（套）与之间的函数关系式； (2)求每套售价定为多少元时，每天销售所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每套售价定为元时，每天销售所获利润最大，最大利润是元． 【分析】（1）本题主要考查了一次函数的应用，根据“该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出解析式，即可求解． （2）本题主要考查了二次函数的实际应用，根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，即． （2）解：由题知， ，二次函数开口向下，有最大值， 即当时，最大，最大利润为元， 故每套售价定为元时，每天销售所获利润最大，最大利润是元． 题型03 利用二次函数解决抛物线型实际问题 【典例1】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 【解析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【解答】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 【变式1】跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，其中小冬拿绳子的手的坐标是．身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴的距离为1米，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用， 依据题意，设解析式为，再由小丽的坐标，且过，求出，，最后令时，求出，进而表示出的范围．解题的关键掌握待定系数法求二次函数解析式． 【详解】解：由题意，可知对称轴是：直线， 设解析式为， 又∵小丽头顶的坐标，且过， ∴ 解得：， 解析式为． 当时， 或． ． 故答案为：． 【变式2】在抛掷实心球时，实心球运动的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，下列结论正确的是（） A．当时，实心球离地面的高度最小 B．实心球在空中飞行的最大高度是 C．投掷实心球的距离是 D．如果实心球在空中飞行速度是，则实心球从飞出到落地的时间为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数的性质以及题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值，此时，故选项A、B错误， 当时，， 解得(舍去)，故选项C正确， 当时，，如果实心球在空中飞行速度是，则实心球从飞出到落地的时间为，故选项D错误， 故选：C． 【变式3】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】如图所示： 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0）， 到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出： -1=-0.5x2+2， 解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2-4． 故选C． 1.由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 2．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（　　） A．5m/s B．10m/s C．20m/s D．40m/s 【答案】C 【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v0． 【详解】解：h=-5t2+v0•t，其对称轴为t=， 当t=时，h最大=-5×（）2+v0•=20， 解得：v0=20，v0=-20（不合题意舍去）， 故选C． 3．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 【答案】C 【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案． 【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误； 故选C． 4.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 【答案】C 【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案. 【详解】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误； 设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得：， 所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确； 由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确， 故选C. 本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的． 5.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：(1)柱子OA的高度为m；(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确； ∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误； 解方程﹣x2+2x+=0， 得x1=﹣，x2=， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确． 故选C． 6.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为 A．60元 B．70元 C．80元 D．90元 【答案】C 【分析】根据等量关系：单价×数量=总价，可以得到表达式，再求二次函数最值即可 【详解】 设销售该商品每月所获总利润为w， 则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600， ∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600， 即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C． 7.小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 m． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质，即顶点的纵坐标是函数的最值； 开口方向向下，最大值为顶点坐标纵坐标，由公式可得答案． 【详解】 ，，， 足球距离地面的最大高度为抛物线的顶点坐标的纵坐标， 函数的对称轴为：， 当时，h最大， 将代入中得， 故答案为：9 8．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是___千米． 【答案】4 【分析】最大高度即为二次函数的最大值 【解答】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标． ∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4）． ∴喷水的最大高度为4千米． 9.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为为拱桥底部的两点，且若的长为则点到直线的距离为____ 【答案】 【分析】首先建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，设与轴交于，然后设该抛物线的解析式为：，，代入A和C的坐标，得到关于和m的二元一次方程，求解即可． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点． 设与轴交于点， ， ∴设该抛物线的解析式为：， ， ， 设，则，， 代入可得：， 解得，， 故答案为：5． 10.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/t,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(t)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/t)与原料的质量x(t)之间的关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式; (3)原料的质量为多少吨时,所获销售利润最大?最大销售利润是多少万元?(销售利润=销售收入-总支出). 【答案】　(1)y=-0.25x+20；(2)P=-0.2x2+16x；(3)原料的质量为24吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是65.2万元. 【分析】见详解 【详解】　(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(20,15),(30,12.5)代入,得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-0.25x+20. (2)P=(1-20%)xy=0.8(-0.25x+20)x=-0.2x2+16x, ∴P与x之间的函数关系式为P=-0.2x2+16x. (3)设销售利润为W万元, ∴W=P-6.2x-m=-0.2x2+16x-6.2x-(50+0.2x), 化简,得W=-0.2x2+9.6x-50, 整理,得W=-0.2(x-24)2+65.2, ∵-0.2<0,∴当x=24时,W有最大值,为65.2, ∴原料的质量为24吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是65.2万元. 11．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件． （1）当销售单价为58元时，每天销售量是 件． （2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）240；（2）y＝－20x2＋2200x－56000；（3）4420元 【分析】（1）根据题意求出销售单价降的钱数，再除以0.5，求出有几个0.5就多卖多少个10件，再加上原来的销售数量，即可得到答案； （2）根据销售利润=一件的利润×销售量，即可列出函数解析式，化成一般形式即可； （3）把（2）中的解析式化成顶点式，再根据自变量的取值范围确定取值范围内函数的增减性，根据减函数的特点找到x取值范围内的最小值，此时的y值即为函数最大值； 【详解】（1）∵销售单价每降低0.5元，就可多售出10件， ∴每天的销售量为200+10×=240（件） 故答案为：240； （2）设该品牌童装获得的利润为y（元） 根据题意， y＝（x-40）（200+) =（x－40）（－20x＋1400） ＝－20x2＋2200x－56000， ∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x2＋2200x－56000； （3）根据题意得57≤x≤60 y＝－20（x－55）2＋4500 ∵a＝－20＜0 ∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小， ∴当x＝57时，y有最大值为4420元 ∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元． 12．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m． （1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式； （2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1）以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， ；（2）货运卡车能通过． 【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可； （2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可． 【详解】解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得： 64a+8＝6， 解得：a＝﹣． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8． （2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8， 得y＝7.5m． ∵7.5m＞7m， ∴货运卡车能通过． 13．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同． （1）求该型号自行车的进价是多少元？ （2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）1000元；（2）降价100元时每月利润最大，最大为32000元 【分析】（1）设出自行车的进价为元，根据按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同列出方程式进行计算即可； （2）设自行车降价元，获利为元，根据题意列出利润表达式，按照二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：（1）设进价为元 则： 解得： ∴改型号自行车进价1000元 （2）设自行车降价元，获利为元 则： ∴对称轴：，∵ ∴当时， 答：降价100元时每月利润最大，最大为32000元． 14.某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元． 销售单价(元 3.5 5.5 销售量(袋 280 120 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为； （2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【分析】（1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设． 将，；，代入， 得，解得． 则与之间的函数关系式为． （2）由题意得： ． ∵3.5≤x≤5.5， 当时，有最大值为240． 故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 15.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 【答案】（1）y= (x－6)2+2.6 （2）球能越过网；球会过界 （3）h≥ 【解答】试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可； （2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可； （3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案． 试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出， ∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2）， ∴2=a（0﹣6）2+2.6， 解得：a=﹣， 故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6， （2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43， 所以球能过球网； 当y=0时，， 解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去） 故会出界； （3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得： ， 解得：， 此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+， 此时球若不出边界h≥， 当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得： 解得：， 此时球要过网h≥ 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $