专题21.2 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的联系这一核心知识点，系统梳理一元二次方程根的情况与二次函数图像交点的关系，利用函数值估计方程近似根，以及通过图像对称性确定方程解或不等式解集，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料设计亮点在于“即学即练”即时巩固，典例与变式梯度训练，覆盖不同难度题型。通过图像分析培养几何直观（数学眼光），根的情况推理提升推理意识（数学思维），实际问题解决强化应用意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后便于学生自主练习查漏补缺。

专题21.2 二次函数与一元二次方程 教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。 2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解或不等式的解集。 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根。 教学重难点 1.重点 能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解或不等式的解集。 2.难点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系。 知识点01 一元二次方程根的情况与二次函数图象的关系 1.一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况. 图象与x轴的交点情况如下： 一元二次方程根的情况 二次函数图象与x轴交点情况 △>0 △=0 △<0 2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x=x1，x=x2，则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0) 反之，若二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x=x1，x=x2， 【即学即练】 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-2,0),(5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解是(　　) A.x1=-2,x2=5　　　 B.x1=2,x2=-5 C.x1=-2,x2=-5　　　 D.x1=2,x2=5 2.二次函数y=2(x-1)(x+5)的图象与x轴的两个交点之间的距离是　　　　. 知识点02 利用二次函数值估计一元二次方程的解 利用二次函数y=ax2+bx+c的函数值估计ax2+bx+c=0的解，因为二次函数具有增减性，可以通过函数值为0附近的x的值，可以确定一元二次方程的解的范围。 【即学即练】 1. 下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：那么下列选项中可能是方程 的近似根的是（     ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 2.如图,点A(2.18,-0.51)和B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似解可能是(　　) A.2.18　 　B.2.68　　 C.-0.51　 　D.2.45 题型01 一元二次方程根的情况与二次函数图象的关系 【典例1】1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【变式1】二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5 【变式2】已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________． 【变式3】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1)、B(0,2)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是　　　　　.  题型02 利用二次函数值估计一元二次方程的解 【典例1】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【变式1】根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A． B． C． D． 【变式2】已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为_______． 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（　　） A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 题型03 利用二次函数图象的对称性解决问题 【典例1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分别为x1,x2,则x1+x2的值为(　　) A.2　 　B.1　　 C.-1　 　D.-2 【变式1】如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是( ) A．或 B．或 C． D． 【变式2】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（　　） A．或 B． C． D．无法确定 【变式3】若二次函数的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是________. 1．若二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 2．若抛物线y=x2-2x+k-1与x轴有交点，则k的取值范围是　 　． 3．已知函数y=x2+mx-2（m为常数），该函数的图象与x轴交点的个数是 ． 4．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，图象与x轴的一个交点坐标为，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是___________． x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）一个解x的取值范围是（　　） x 1.23 1.24 1.25 1.26 ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.01 0.04 0.08 A．1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25 C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.23 6．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点坐标是（-3，0），对称轴为直线x=-1，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是　 　． 8．已知二次函数的图象与轴交于点，，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 9．已知抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为 ． 10．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（ ） A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2 B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0) C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2 D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝ 11．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（   ） A．1     B．－1   C．2    D．－2 12．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4）， （1）求证：抛物线与x轴必有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式． 13．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0）， （1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值； （2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值； （3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论： ①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点； 请判断以上结论是否正确，并说明理由． 14.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”． (1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值； (2)若是“友好方程”，求代数式的值； (3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根． 15．已知：二次函数，当时，函数有最大值. (1)求此二次函数图象与坐标轴的交点； (2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2 二次函数与一元二次方程 教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。 2.能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解或不等式的解集。 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根。 教学重难点 1.重点 能运用二次函数及其图像、性质确定方程的解或不等式的解集。 2.难点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系。 知识点01 一元二次方程根的情况与二次函数图象的关系 1.一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况. 图象与x轴的交点情况如下： 一元二次方程根的情况 二次函数图象与x轴交点情况 △>0 两个不相等的实数根 两个不同的交点 △=0 两个相等的实数根 一个公共点（顶点） △<0 没有实数根 没有公共点 2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x=x1，x=x2，则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0) 反之，若二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x=x1，x=x2， 【即学即练】 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-2,0),(5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解是(　　) A.x1=-2,x2=5　　　 B.x1=2,x2=-5 C.x1=-2,x2=-5　　　 D.x1=2,x2=5 【答案】A　 【分析】根据一元二次方程的解与二次函数与x轴交点坐标的关系可以解决问题。 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为(-2,0),(5,0),即自变量取-2和5时函数值为0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2,x2=5. 2.二次函数y=2(x-1)(x+5)的图象与x轴的两个交点之间的距离是　　　　. 【答案】6 【分析】通过求解方程，得到两个交点坐标，即可求出距离。 【解析】当y=0时,2(x-1)(x+5)=0,解得x1=1,x2=-5,∴二次函数y=2(x-1)(x+5)的图象与x轴的交点坐标是(1,0),(-5,0),∴两个交点之间的距离是1-(-5)=6. 知识点02 利用二次函数值估计一元二次方程的解 利用二次函数y=ax2+bx+c的函数值估计ax2+bx+c=0的解，因为二次函数具有增减性，可以通过函数值为0附近的x的值，可以确定一元二次方程的解的范围。 【即学即练】 1. 下表是一组二次函数 的自变量x与函数值y的对应值：那么下列选项中可能是方程 的近似根的是（     ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可． 【详解】观察图表的，得与零的距离最小， 方程 的近似根的是： 故选B． 2.如图,点A(2.18,-0.51)和B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似解可能是(　　) A.2.18　 　B.2.68　　 C.-0.51　 　D.2.45 【答案】D　 【分析】通过分析图象，找到函数值为0附近的x的值，可以确定一元二次方程的解的范围。 【详解】∵图象上有两点,分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴当x=2.18时,y=-0.51<0;当x=2.68时,y=0.54>0,∴在2.18与2.68之间,必存在一个x值使y=0,又∵2.18<2.45<2.68,故选项D符合.由图象可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点在0与1之间,无选项符合.故选D. 题型01 一元二次方程根的情况与二次函数图象的关系 【典例1】1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意，求出△的值，即可得到结论． 【详解】△=（-1）2-4=-3<0，所以图象与x轴没有交点，选A。 【变式1】二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5 【答案】D 【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：根据题意，得 x2+2x﹣7＝8， 即x2+2x﹣15＝0， 解得x＝3或﹣5， 故选D． 【变式2】已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案. 【详解】∵方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1， ∴抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标分别为，﹣1， ∴两个交点间距离为. 故答案为. 【变式3】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(-3,-1)、B(0,2)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是　　　　　.  【答案】-3<x<0 【分析】根据两个函数图象的交点坐标，可以得到二者相等的x的值，再根据图象可以判断不等式的解集 【详解】由图象可知,当-3<x<0时,抛物线位于直线上方,∴不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是-3<x<0. 题型02 利用二次函数值估计一元二次方程的解 【典例1】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 【变式1】根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围． 【详解】解：时，； 时，， ∴当时，的值可以等于0， ∴方程的一个解的范围是． 故选：B． 【变式2】已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】先把不等式转化为两个函数解析式的表示形式，然后结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值范围就是不等式的解集． 【详解】可整理为 ∵二次函数与一次函数图像交于，两点，如图， ∴关于的不等式的解集为：， 故答案为：． 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（　　） A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 【答案】C 【分析】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【详解】由表格数据可知，当x=1.4时，y<0，当x=1.5时，y>0，因此x的范围是1.4＜x＜1.5，故选C 题型03 利用二次函数图象的对称性解决问题 【典例1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分别为x1,x2,则x1+x2的值为(　　) A.2　 　B.1　　 C.-1　 　D.-2 【答案】D　 【分析】根据二次函数图象的轴对称性，可以得到两个根的关系，进而求得结果 【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解分别为x1,x2,∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),∵抛物线的对称轴为x=-1,∴=-1,∴x1+x2=-2. 【变式1】如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是( ) A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，． 故选：C． 【变式2】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（　　） A．或 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax2+bx+c＜0． 【详解】由图象可知二次函数的对称轴是x=2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞5或x＜﹣1． 故选A． 【变式3】若二次函数的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是________. 【答案】 【分析】直接利用二次函数对称性得出图象与x轴的另一个交点，再画出图象，得出y＞0成立的x的取值范围． 【详解】如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1， ∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0）， 则使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2． 故答案为﹣4＜x＜2． 1．若二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】D 【分析】二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴没有交点，则△<0，可以求出c的值 【详解】△=（-2）2-4c<0，所以c>1，故选D 2．若抛物线y=x2-2x+k-1与x轴有交点，则k的取值范围是　 　． 【答案】k≤2 【分析】二次函数y=x2-2x+k-1的图象与x轴有交点，则△≧0，可以求出k的值 【详解】△=（-2）2-4(k-1)≧0，所以k≤2 3．已知函数y=x2+mx-2（m为常数），该函数的图象与x轴交点的个数是 ． 【答案】2个 【分析】通过求△的值，可以判断图象与x轴交点个数 【详解】△=m2-4×(-2)=m2+8>0，图象与x轴交点个数为2个 4．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，图象与x轴的一个交点坐标为，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是___________． x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【答案】 【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，可以得到该函数与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， ∵二次函数与x轴的一个交点为（-1，0）， ∴它与x的轴的另一个交点为（3，0）， 故答案为：（3，0）． 5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）一个解x的取值范围是（　　） x 1.23 1.24 1.25 1.26 ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.01 0.04 0.08 A．1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25 C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.23 【答案】B 【分析】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【详解】由表格数据可知，当x=1.24时，y<0，当x=1.25时，y>0，因此x的范围是1.24＜x＜1.25，故选B 6．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8 【答案】D 【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可； 【详解】∵A（﹣2，4），B（8，2）， ∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8． 故答案选D． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点坐标是（-3，0），对称轴为直线x=-1，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是　 　． 【答案】（1，0） 【分析】由二次函数的对称性，可以得到对称点的坐标 【详解】对称轴为直线x=-1，图象与x轴的一个交点坐标是（-3，0），所以与x轴另一个交点的坐标是（1，0） 8．已知二次函数的图象与轴交于点，，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】二次函数的开口方向和增减性，可以得到结果 【详解】二次函数开口向上，所以在A、B两点之间y<0，所以范围为，故选D 9．已知抛物线的顶点在坐标轴上，则b的值为 ． 【答案】0或2或-2 【分析】分类讨论，顶点在x轴和y轴时，分别计算即可 【详解】当顶点在y轴时，b=0，当顶点在x轴时，，所以b=±2，故答案为0或2或-2 10．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（ ） A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2 B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0) C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2 D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝ 【答案】D 【解析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y =a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断. 【解答】解：由已知可得，c＝2，b＝2a， ∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2， A.当x＝﹣2时，y＝2， ∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意； B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意； C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0， ∴a＝0或a＝﹣2， ∴a＝﹣2，正确，不符合题意； D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3； 在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2； ∴3＝2﹣a， ∴a＝﹣1， 故D.错误，符合题意； 故选：D． 11．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（   ） A．1     B．－1   C．2    D．－2 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和增减性可以得到结果 【详解】根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1. 故选A 12．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4）， （1）求证：抛物线与x轴必有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式． 【答案】（1）见详解；（2）y＝x2﹣9 【分析】（1）求出的值，通过变形得到结果；（2）由条件求出k的值，即可求得解析式 【详解】（1）证明：△＝（k﹣5）2+4（k+4） ＝k2﹣6k+41 ＝（k﹣3）2+32， ∵（k﹣3）2≥0， ∴△＞0， ∴抛物线与x轴必有两个交点； （2）解：根据题意得x1、x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣（k﹣5）， x1•x2＝﹣（k+4）， ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣8， ∴x1•x2+x1+x2+1＝﹣8， 即﹣（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，解得k＝5， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9． 13．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0）， （1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值； （2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值； （3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论： ①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点； 请判断以上结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）（2）1（3）①②③ 【分析】（1）由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0； （2）由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值； （3）通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断． 【详解】（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点， ∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0， 解得：k1＝0，k2＝，∵k≠0， ∴k＝； （2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2， ∴A、B点坐标为（1，0），（3，0）， 将（1，0）代入解析式，可得k＝1， （3）①∵当x＝0时，y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确； ②∵抛物线的对称轴为x＝2， ∴抛物线的对称轴不变，②正确； ③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数， 令k的系数为0，即x2﹣4x＝0， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确． 综上可知：正确的结论有①②③． 14.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大3，那么称这样的方程为“友好方程”．例如:一元二次方程的两个根是2和5，则方程就是“友好方程”． (1)若一元二次方程是“友好方程”，求的值； (2)若是“友好方程”，求代数式的值； (3)若方程抛是“友好方程”，且相异两点M，N都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，新定义，抛物线与轴的交点问题； （1）将一元二次方程的根转化为抛物线与轴交点问题，由一个根比另一个根大可得抛物线与轴交点距离对称轴个单位，从而求解． （2）由方程的一个解为可得另一根为或，然后根据根与对称轴的关系分类求解． （3）由抛物线上点，坐标求得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 的解或， 把代入得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵的解为或 ∴或 （3）解：∵相异两点M，N都在抛物线上， ∴的对称轴为直线， ∵是“友好方程”， ∴一元二次方程的根为或 15．已知：二次函数，当时，函数有最大值. (1)求此二次函数图象与坐标轴的交点； (2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值. 【答案】(1)抛物线与轴交于(0，-3)，与轴交于(-1，0)，(3，0)；(2)实数的最大值为3 【分析】(1)求出对称轴，结合，可知当时，随增大而增大，所以时，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可； (2)折叠部分对应的解析式：，根据求出的取值范围，即，再结合，即可求得实数的最大值. 【详解】(1)抛物线的对称轴为：. ∴，抛物线开口向上，大致图象如图所示. 当时，随增大而增大； ∵当时，函数有最大值， ∴当时，， ∴， 解得：. ∴ 当，， ，x2-2x-3=0， 解得：或， ∴抛物线与轴交于，抛物线与轴交于，. (2)∵关于的一元二次方程恒有实数根， ∴，即恒成立， ∴恒成立. ∵（1）中的抛物线解析式为y=x2-2x-3， ∴函数的最小值为=-4， ∵点是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线弧部分上任意一点， ∴， ∴（k取值的下限）， ∴实数的最大值为3. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $