22.2 相似三角形的判定 教案 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

22.2 相似三角形的判定

第1课时 平行线与相似三角形

【教学目标】

1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；(重点)

2.会用“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似”进行计算和简单地证明.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

二、合作探究

探究点一：相似三角形

【类型一】 利用定义判定相似三角形

△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由.

解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.

因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.

所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.

又因为＝，＝，＝＝，

所以＝＝.所以△ABC∽△DFE.

方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例.另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上.

【类型二】 相似三角形的性质

如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：

(1)∠AED和∠ADE的度数；

(2)DE的长.

解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°.

在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°；

(2)∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝.∴DE＝＝36.25(cm).

方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段.

探究点二：平行线与相似三角形

如图，已知在ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

故当△BEF∽△CDF时，相似比为BE∶CD＝BE∶AB＝1∶3；

当△BEF∽△AED时，相似比为BE∶AE＝1∶4；

当△CDF∽△AED时，相似比为CD∶AE＝3∶4.

已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.

解：∵AM∥BN，∴△NBC∽△MAC，∴＝，即＝，∴NC＝m.

【板书设计】

第2课时 相似三角形的判定定理1

【教学目标】

1.能正确地理解相似三角形的判定定理1；(重点)

2.能熟练地运用相似三角形的判定定理1.(难点)

【教学过程】

一、情境导入

根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理1

在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角

形相似吗？请说明理由.

解：△ABC∽△A′B′C′.

理由：由三角形的内角和是180°，

得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，

所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.

故△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似).

方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件.

探究点二：相似三角形的判定定理1的应用

【类型一】 由三角形相似计算对应边的长

如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长.

解：解法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，

所以＝，即＝，所以BC＝15cm.

又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，

即FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10(cm).

解法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.

又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，

所以△ADE∽△DBF，所以＝，即＝，所以BF＝10cm.

方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.

【类型二】 由相似三角形确定对应边的比例关系

已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝.

证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠AEF＝∠BDF＝90°.

又∵∠AFE＝∠BFD，

∴△AFE∽△BFD，∴＝.

方法总结：要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.

【板书设计】