22.2 相似三角形的判定 教案 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦相似三角形的判定，涵盖定义及四个判定定理，通过放大镜三角尺、类比全等条件等情境导入，搭建旧知（全等、相似定义）到新知（判定定理）的学习支架，梳理判定逻辑脉络。 资料亮点在于情境贴近生活，探究题型含判定、计算、证明及动点问题，注重分类讨论与实际应用。以数学眼光抽象生活问题，用数学思维推理证明，借数学语言规范表达，提升学生抽象能力与推理意识，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

22.2 相似三角形的判定 第1课时 平行线与相似三角形 【教学目标】 1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；(重点) 2.会用“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似”进行计算和简单地证明.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 二、合作探究 探究点一：相似三角形 【类型一】 利用定义判定相似三角形 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由. 解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°. 因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°. 所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E. 又因为＝，＝，＝＝， 所以＝＝.所以△ABC∽△DFE. 方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例.另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上. 【类型二】 相似三角形的性质 如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求： (1)∠AED和∠ADE的度数； (2)DE的长. 解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°. 在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°； (2)∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝.∴DE＝＝36.25(cm). 方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段. 探究点二：平行线与相似三角形 如图，已知在ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED， ∴△BEF∽△CDF∽△AED. 故当△BEF∽△CDF时，相似比为BE∶CD＝BE∶AB＝1∶3； 当△BEF∽△AED时，相似比为BE∶AE＝1∶4； 当△CDF∽△AED时，相似比为CD∶AE＝3∶4. 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC. 解：∵AM∥BN，∴△NBC∽△MAC，∴＝，即＝，∴NC＝m. 【板书设计】 第2课时 相似三角形的判定定理1 【教学目标】 1.能正确地理解相似三角形的判定定理1；(重点) 2.能熟练地运用相似三角形的判定定理1.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？ 二、合作探究 探究点一：相似三角形的判定定理1 在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由. 解：△ABC∽△A′B′C′. 理由：由三角形的内角和是180°， 得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°， 所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′. 故△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似). 方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件. 探究点二：相似三角形的判定定理1的应用 【类型一】 由三角形相似计算对应边的长 如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长. 解：解法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC， 所以＝，即＝，所以BC＝15cm. 又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形， 即FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10(cm). 解法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B. 又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF， 所以△ADE∽△DBF，所以＝，即＝，所以BF＝10cm. 方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到. 【类型二】 由相似三角形确定对应边的比例关系 已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝. 证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AEF＝∠BDF＝90°. 又∵∠AFE＝∠BFD， ∴△AFE∽△BFD，∴＝. 方法总结：要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论. 【板书设计】 第3课时 相似三角形的判定定理2 【教学目标】 1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点) 2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等.量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？ 二、合作探究 探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE. 解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE. 证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE. 方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等. 【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似. 解析：当△ADP∽△ACB时，＝，∴＝，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，＝，∴＝，解得AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似.故答案为4或9. 方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答. 【类型三】 利用三角形相似证明等积式 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF. 解析：先证明△ADC∽△CDB可得＝，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得＝，则可证得结论. 证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E为BC的中点，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴AC·CF＝BC·DF. 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式. 【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算 如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长. 解析：因为AC＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝＝＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝，∴CD＝AD＋AC＝＋3＝. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解. 【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？ 解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长.然后设出动点运动的时间为ts，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值. 解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5xcm，则AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有＝，即＝，解得t＝；②当△ABC∽△QPC时，有＝，即＝，解得t＝.综上可知，经过或秒△ABC和△PQC相似. 方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题. 【板书设计】 1.三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2.应用判定定理解决简单的问题. 第4课时 相似三角形的判定定理3 【教学目标】 1.掌握相似三角形的判定定理3；(重点) 2.能熟练地运用相似三角形的判定定理3.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 可否用类似于判定三角形全等的方法(SSS)，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？ 二、合作探究 探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】 利用三边长来判定三角形相似 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由. 解：∠B＝∠AED. 理由：由题意得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18， AC＝AE＋CE＝6＋3＝9， ＝＝3，＝＝3，＝＝3， 所以＝＝，故△ABC∽△AED， 所以∠B＝∠AED. 方法总结：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边对应成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED. 【类型二】 网格中相似三角形的判定 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝，∴图②中的三角形与△ABC相似. 方法总结：(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似. 【板书设计】 相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似 第5课时 判定两个直角三角形相似 【教学目标】 1.使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；(重点) 2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解； 3.通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力；(难点) 4.通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点. 【教学过程】 一、情境导入 1.到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？ 答：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似. 2.判定两个直角三角形相似有几种方法？ 答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例. 还有没有其他的方法证明直角三角形相似？ 二、合作探究 探究点一：判定两个直角三角形相似 【类型一】 判定两个直角三角形相似的特殊方法 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求证：△ABC∽△B′C′A′. 解析：先求两直角三角形的斜边AC和A′B′的比，再求两直角边BC和A′C′的比. 证明：在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，∴＝＝.∵＝＝，∴＝.又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′. 【类型二】 网格图中的直角三角形相似 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( ) 解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解.设网格的边长是1，则AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴AB∶AC∶BC＝∶2∶＝1∶2∶，∴△ABC是直角三角形.∵选项A、D中的三角形不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵AB∶BC＝1∶2，B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确. 方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键. 探究点二：直角三角形相似的计算 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？ 解析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解. 解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似. 方法总结：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论. 【板书设计】 1.如何判定两个直角三角形相似呢？ 一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似. 2.直角三角形相似的判定定理的简单应用. 1 学科网（北京）股份有限公司 $