专题 27.6 反比例函数与几何综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数与几何综合核心知识点，系统梳理k的几何意义、坐标表示几何量的通用思想，以及平行坐标轴矩形、双曲线上两点面积等几何模型，搭建从基础性质到综合应用的学习支架。 资料特色在于模型化梳理与分层训练结合，通过题型精析中的一题多变式（如面积问题变式题）培养推理意识，同步检测分层练习提升应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，发展几何直观与创新意识。

专题 27.6 反比例函数与几何综合（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 1 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 2 【知识点3】常见几何模型结论 2 模型1 平行坐标轴矩形模型 2 模型2 双曲线上两点面积模型 2 模型3 对称模型 2 【知识点4】几何综合常用公式 2 二.题型精析 2 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 2 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 7 【题型 3】反比例函数与割补法求三角形面积（高频解答题） 11 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 17 【题型 5】反比例函数与平移综合 21 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 27 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 33 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 40 三.同步检测 47 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 47 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 58 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 67 一.知识梳理与解读 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 设点 在双曲线 上： 1. 过点P作x轴、y轴垂线，围成矩形面积： 2. 连接原点，围成直角三角形面积： 核心定值思想：同一双曲线上任意一点，对应的面积恒定，与点位置无关。 符号规则： 可正可负，面积永远为正，计算必须带绝对值。 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 所有反比例几何综合题，只有一个核心：用坐标表示几何量 1. 设双曲线上点：常设 2. 几何条件转化：平行、垂直、等长、面积、直角、等腰 → 转化为坐标方程 3. 反比例独有结论：，整体代换，无需单独求x、y 【知识点3】常见几何模型结论 模型1 平行坐标轴矩形模型 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，是本章最基础、最高频模型。 模型2 双曲线上两点面积模型 若 在同一双曲线 上，则 可通过割补法、铅垂高法快速求解。 模型3 对称模型 双曲线关于原点对称：若 在双曲线上，则对称点 也在双曲线上。 【知识点4】几何综合常用公式 1. 两点距离公式： 2. 铅垂高面积公式（万能）： 3. 垂直判定：直线垂直 （一次函数与双曲线综合垂直必考） 二.题型精析 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 【例题1】（2025·江西·二模）如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）过点A作轴于点E，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上，求出k的值即可； （2）过点A作轴，连接，根据，得出，根据求出结果即可． 解：（1）解：过点A作轴于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图，过点A作轴，连接， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 【例题2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． （1）求值； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 解：（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 【变式1】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函的图象分别交于第二、四象限内的点，，过点A作轴，垂足为点C，的面积为3． （1）求a，b的值； （2）结合图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）在y轴上取一点P，使的值最大，求出点P的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）根据的面积为3，求出反比例函数的关系式为，把点，代入反比例函数解析式求出结果即可； （2）根据函数图象，求出不等式的解集即可； （3）取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，根据轴对称，三角形三边关系和轴对称的性质得出此时的值最大，求出直线的关系式为，再求出结果即可． 解：（1）解：∵的面积为3， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点，代入， 解得：，； （2）解：根据图象，可知不等式的解集为：或； （3）解：取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，如图所示： ∵点， ∴点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵， ∴， 设直线的关系式为， 则， 解得， ∴直线的关系式为， ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 【点拨】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，求出反比例函数解析式． 【题型 3】反比例函数与割补法求三角形面积（高频解答题） 【例题3】（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． （1）点的坐标为______，反比例函数解析式为______； （2）连接，求的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 解：（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，点为函数（）图象上一点，连结，交函数（）的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为_________.    【答案】12 【分析】设点A的坐标为，点B的坐标为，由可得点C的坐标为，根据点B在直线上，可得A、B的横坐标之间的关系， 最后根据三角形面积公式即可求解． 解：设点A的坐标为，点B的坐标为， 点是轴上一点，且， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， ， ， （负值不合题意，舍去）， ， 故答案为：12． 【点拨】本题考查反比例函数，正比例函数，三角形面积等，解题的关键是求出A、B的横坐标之间的关系． 【变式3】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数 的图象相交于点C 与点． （1）求反比例函数的表达式及 C 点坐标． （2）求三角形的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为；C点坐标为；（2）16 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把A点坐标代入一次函数可求得a的值，再代入反比例函数解析式可求得k的值，联立两函数解析式可求得C点的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 解：（1）∵A点在一次函数图象上， ∴， ∴A点坐标为， 又∵A点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 联立两函数解析式可得， 解得，或， ∴C点坐标为； （2）设直线与x轴的交点为B， 对于，令，则， ∴点B的坐标为， ∴ ． 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 【例题4】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，，． （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）将矩形向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数的图象上，得到矩形．求矩形平移的距离m和反比例函数的解析式． 【答案】（1），，；（2）， 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、平移的性质以及反比例函数解析式的求法，理解平移的定义是解题的关键． （1）由四边形是矩形，得到，根据，轴，即可得到，，； （2）根据平移的性质将矩形向右平移个单位，得到，，由点，在反比例函数的图象上，得到方程，即可求得结果． 解：（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，轴， ∴，，； （2）∵将矩形向右平移m个单位， ∴，， ∴点，在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴，将代入，得到， ∴， ∴矩形的平移距离， 反比例函数的解析式为：． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出点坐标，设，根据两个图形的面积相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式，求出的值即可． 解：∵正方形，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵正方形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解； ∴． 故选C． 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）如图，已知矩形的顶点，都在直线上，边轴，反比例函数（，且）的图象经过点和点，若点的横坐标为1，且矩形的面积为，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据矩形的性质可得轴，轴，再由点的横坐标为1，可得点的纵坐标为，点D的纵坐标为，点B的横坐标为，从而得到，然后根据矩形的面积为，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴，轴， ∵点的横坐标为1， ∴点D的横坐标为1， ∵点在直线上， ∴点的纵坐标为， ∴点B的纵坐标为， ∵反比例函数（，且）的图象经过点和点， ∴点D的纵坐标为，点B的横坐标为， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或4， ∵， ∴的值为4． 故答案为：4 【变式3】（2025·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． （1）当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； （2）如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． 解：（1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 【题型 5】反比例函数与平移综合 【例题5】（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（，）的图象上，点的坐标为． （1）求的值； （2）若将菱形沿轴正方向平移，当菱形的顶点落在函数（，）的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据点D的坐标，计算的长度，因为菱形四条边相等，所以可得的长度相等．结合点C与原点重合、点B在y轴正半轴的位置特征，推出点A的横坐标与点D相同，再用的长度求出点A的纵坐标，得到点A坐标后，代入反比例函数​即可求k． （2）沿x轴正方向平移时，点D的纵坐标不变，将纵坐标代入反比例函数求出平移后点D的横坐标，即可算出平移距离． 解：（1）解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上， ∴轴， ∴轴， ∴A、D、F三点共线， 点的坐标为， ，， ， ， ∴， 点坐标为， ∵，点在反比例函数（，）的图象上， ， ； （2）解：将菱形沿轴正方向平移，使得点落在函数（）的图象点处，过点作轴的垂线，垂足为． ， ， 点的纵坐标为3， 点在的图象上， ， 解得：， ， 菱形平移的距离为． 【变式1】（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点坐标求出反比例函数的解析式为，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据平移规律得出平移后的直线解析式为，把代入，求出的值即可． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上，点纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线与反比例函数交于点，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质以及反比例函数的性质，过作垂直于轴，过作垂直于轴，由与垂直，得到一对角互余，再由与垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由，且一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由与的坐标得出与的长，由求出的长，确定出的坐标，由平移的性质得到和的纵坐标不变，且横坐标相差，设出和的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去求出的值，即可得到的值． 解：过作垂直于轴，过作垂直于轴， ， ，， ， 在和中， ， ， 、， ， ， 设反比例函数为，点和在该比例函数图象上， 由平移的性质，可设，则， 把点和的坐标分别代入， 得，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点． （1）线段长为______，B点坐标为（____，____）； （2）求m，k的值； （3）若将沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值． 【答案】（1）6；4；5；（2）；；（3）2或5 【分析】（1）先由，得到轴，即可求解，再根据中，，，即可求解点坐标； （2）先求出直线的表达式，再求解点，即可由待定系数法求解反比例函数表达式； （3）平移后点的对应点坐标为，点的对应点坐标为，再分类讨论求解即可． 解：（1）解：∵， ∴轴， ∴， ∵， ∴ ∴，即； （2）解：设直线，则代入， 得 解得 ∴直线 把代入，则 解得 ∴ 把点代入得，； （3）解：由（2）可得反比例函数表达式为， 平移后点的对应点坐标为，点的对应点坐标为， 当点的对应点落在反比例函数图象上时，则，解得； 当点的对应点落在反比例函数图象上时，则，解得， 综上：当平移后的与双曲线恰有一个交点时，n的值为2或5． 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 【例题6】（2026·山西·模拟预测）如图，已知点在轴上，点在轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点，． （1）直接写出点的坐标和反比例函数的表达式； （2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，当点的对应点落在轴上时，判断点的对应点D′是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，；（2）点的对应点没有落在反比例函数的图象上，理由见解析． 【分析】（1）过点D作DE⊥y轴于点E，证明△DAE≌△ABO得出DE=AE=1，从而确定D点坐标，进一步得出反比例函数解析式； （2）求出点D′的坐标，代入反比例函数关系式进行验证即可得到结果． 解：（1）过点D作DE⊥y轴于占E， ∴ ∵四边形ABCD是正方形 ∴,DA=BA ∴∠DAE+∠BAO=90° 又∠BAO+∠ABO=90° ∴∠DAE=∠ABO， ∴ ∴DE=BO，AE=AO ∵， ∴AO=1，BO=1 ∴DE=1，AE=1 ∴OE=OA+AE=1+1=2 ∴D（1，2） ∵点D在反比例函数的图象上 ∴k=2×1=2 ∴反比例函数的表达式为； （2）点的对应点没有落在反比例函数的图象上， 理由如下：如图所示， ∵，，， ∴， 当点的对应点落在轴上时，， 由题可知轴，， ∴点与点横坐标相同， ∴， ∵， ∴点的对应点没有落在反比例函数的图象上． 【点拨】此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定与性质以及待定系数法求反比例函数解析式等知识，得出D，点坐标是解题关键． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）将抛物线绕着点旋转后得到如图所示的图象．若点在该图像上，则m的值有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的旋转，二次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用中心对称的性质得到点关于中心对称的点的坐标为，由抛物线绕着点旋转后抛物线形状不变，只是开口方向相反，可得出新的抛物线解析式为：，再把把点看成是函数的上一点，然后画出图形利用数形结合的方式求解即可． 解：的顶点坐标为：， 点关于成中心对称的点的坐标为：， 则得到新的抛物线解析式为：． 把点看成是函数的上一点， 如图， 故有4个交点， 故选：D 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，以为斜边作等腰，交轴于点，连接．沿着折叠得到，若点的对应点落在边上． （1）_____；（2）过点作轴于点，若，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，特殊角的三角函数值． （1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）证明，求得，证明，列式计算即可求解． 解：（1）由折叠的性质知，， 在等腰直角三角形中，， ； 故答案为：； （2）如图，过点作轴于点，连接，则， 直线与反比例函数的图象交于点和点， 为的中点， ，， ，， ，轴于点， ，， ， ，， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的结合综合，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）根据折叠得出，根据勾股定理得出，设，根据勾股定理得出，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点纵坐标为8，求出，得出，即可求出结果． 解：（1）解：沿折叠，， ， 四边形是矩形，， ， ， 设， 根据勾股定理得：， ∴， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， 即， ． 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 【例题7】（25-26八年级下·四川眉山·阶段检测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． （1）求两函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求； （4）若，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）；；（2）P点的坐标为或或或；（3）；（4）或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）利用三角形面积公式求解即可； （4）利用函数图象求解即可． 解：（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入得， ∴， 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设P点的坐标为， ∵， ∴， 当时，即， ∴， 解得（舍去）或， ∴P点的坐标为； 当时，即， ∴， 解得， ∴P点的坐标为； 当时，P点的坐标为或； 综上，P点的坐标为或或或； （3）解：记直线交轴于点，当时，， ∴， ∴， ∴； （4）解：若，x的取值范围为或． 【变式1】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，点A是反比例函数图象上的一动点，连接并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点，使得，，则m，n满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，求得点A的坐标是解答的关键．先根据反比例函数图象的对称性和等腰直角三角形得到由题意，点A、B关于原点对称，则， ，，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，得到，，根据坐标与图形性质得到，，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 解：由题意，点A、B关于原点对称，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴，， 过A作轴于E，过C作轴于F， 则，    ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A是反比例函数图象上的一动点， ∴，即， 故选：B． 【变式2】（2024·陕西渭南·二模）如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点．又在反比例函数的第三象限图象上存在一上点，连接，和，已知轴，且的面积等于3，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义（在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变），以及反比例函数图象和性质，化简绝对值．根据题意得到，利用反比例函数图象和性质，得到，，化简绝对值进行求解，即可解题． 解：轴，且的面积等于3， ， 即， 的图象在第二象限， ， 的图象在第三象限， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； （3）在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）将代入直线解析式求出，得出，再将代入反比例函数解析式即可求解； （2）首先求直线与轴交点，设点，则，表示出，根据，列方程求出，再求出，即可解答； （3）先求出直线向下平移4个单位后解析式为，求出，设点，分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点相同解答即可； 解：（1）解：∵点在直线上， 将在代入直线解析式得：，即； 又∵在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：令，则， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（，舍去负根）， ∴， ∴为直线， 令，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线向下平移4个单位后解析式为：， 令，则，解得， ∴， ∵，设点，分三种情况讨论平行四边形： 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； ∴存在点，坐标为或或． 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 【例题8】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为，；（2） 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 解：（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，得到点的坐标为，设，，根据列方程求出或（不合题意，舍去），得到反比例函数，则，，作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，则为最小值，利用勾股定理求出答案即可． 解：四边形是正方形， ， 则点的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴反比例函数， ∴，， 作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 则为最小值， ∴， 即的最小值是． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． （1）反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； （2）点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】（1），；（2）①，②或 【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标； ①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可． 解：（1）解：∵，， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 则点M的坐标为； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 【点拨】本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 2．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若点的横坐标为3，则的值是（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，过点作轴，交轴于点，过点作，过点作，证明，设，求出点坐标，根据正方形的性质结合平移思想，求出点坐标，根据均在反比例函数图象上，列出方程进行求解即可． 解：过点作轴，交轴于点，过点作，过点作， 则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在的图象上，且点的横坐标为3， ∴，设， 则：，， ∴，， ∴， ∵将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴，即：， ∵均在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）或， 经检验是原方程的解， ∴， ∴． 故选C． 3．（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据反比例函数的对称性可得，则由中点坐标计算公式得到，再求出C的坐标即可得到答案． 解：∵反比例函数的图象经过点A和边的中点P，且边经过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知， ∴， ∵轴且， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，若，，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，可得，即可求解． 解：如图所示，过点作轴于点， ∵，轴 ∴ ∴ ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，图形的平移，设，结合平移的性质可得的纵坐标为，的横坐标为，再利用面积公式计算即可. 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴设， ∵将线段沿轴向右平移至线段， ∴的纵坐标为， ∵点落在反比例函数的图像上． ∴的横坐标为， ∴线段扫过的面积为， 故选：C 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，矩形的性质和用待定系数法求反比例函数的解析式． 先求得对角线的交点坐标，再求得反比例函数的解析式，求出点的坐标，即可得出的值． 解：四边形为矩形， 对角线的交点坐标， 反比例函数的解析式为， 点是与的交点， ， ． 故选：B． 7．（24-25九年级下·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】根据图形的平移，设平移距离为，分别表示点的坐标，由中点坐标的计算得到，把点C，F代入计算即可求解． 解：点，， ∴， ∵将向右平移到位置，设平移距离为， ∴， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴点F的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点C，F在反比例函数的图象上， ∴，即， 解得， ． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，则点的纵坐标为，点的横坐标为，代入反比例函数中得，，结合三角形面积的计算列式求解即可． 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点落在函数的图象上， ∴设， ∵函数的图象分别交边和边于点、， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， 在反比例函数中，当时，， 解得，，则， 当时，，则， ∴，， ∴ ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，菱形的面积为_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了反比例函数和菱形的结合，菱形的性质，反比例函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和反比例函数的性质． 过点作轴，交轴于点，的交点为，得出四边形为矩形，利用反比例函数的性质得出，再根据菱形的性质即可求出面积． 解：如图所示，过点作轴，交轴于点，的交点为， 根据菱形的性质可得，， 又∵， ∴四边形为矩形， 由反比例函数得，， ， ， 故答案为：20． 12．（2025·浙江杭州·二模）如图，点在双曲线上，连接，分别以点O、A为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，若，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，连接，由作图方法可得垂直平分，，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，设，则，，再利用待定系数法求解即可． 解：如图所示，连接， 由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 13．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定，证明，得到，根据的面积是16，求出，根据图象的分布确定k值即可； 解：过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为______． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，根据等边三角形的性质和菱形的性质，得到，，再利用锐角三角函数求出，进而得到，即可求出k的值． 解：过点C作轴于点E， ∵等边和菱形的边、都在x轴上，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，三角函数的应用，平行线的性质，求反比例函数解析式，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 15．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系的特点，待定系数法反比例函数解析式，勾股定理等知识的综合运用，掌握菱形的性质，勾股定理得到，待定系数法的运用是解题的关键． 根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，可得，，即，则，运用待定系数法即可求解． 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为： ． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 17．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质以及反比例函数的性质，过作垂直于轴，过作垂直于轴，由与垂直，得到一对角互余，再由与垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由，且一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由与的坐标得出与的长，由求出的长，确定出的坐标，由平移的性质得到和的纵坐标不变，且横坐标相差，设出和的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去求出的值，即可得到的值． 解：过作垂直于轴，过作垂直于轴， ， ，， ， 在和中， ， ， 、， ， ， 设反比例函数为，点和在该比例函数图象上， 由平移的性质，可设，则， 把点和的坐标分别代入， 得，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，正方形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，的中点在轴上，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．作轴，轴，设，证得即可求解． 解：作轴，轴，如图所示： 设， ∵的中点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，， 解得：， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的图像与性质． （1）先将点，代入，求出，，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设一次函数的图像与轴交于点，求出，得到，再用分割法求出的面积即可． 解：（1）解：将点，代入得：，， ，， ，， 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：连接，如图所示： 设一次函数的图像与轴交于点， 在中，令，则， ， ， 由（1）知，，， ． 20．（本小题满分8分）（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． （1）当时，请比较与的大小关系，并说明理由； （2）若，，求该函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答． （2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答． 解：（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且 ∴，， 则 则， ∵ ∴ （2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上 ∴ ∵，， ∴ 整理得， ∴ 解得，（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴． ∴ 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）面积为 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （1）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （2）分别求出、的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算，即可求解． 解：（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）把 代入 中，得，            ， 轴， ∴点的横坐标为 把代入，， ∴ ∴面积为． 22．（本小题满分10分）（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． （1）求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1），，；（2）17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 解：（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（26-27九年级·全国·暑假作业）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】（1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入计算即可；②根据函数图象即可写出不等式的解集． 解：（1）解：直线过点， ， 将代入函数中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ，， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； ②，， 结合图象，可得不等式的解集为或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；（2）；（3）4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 解：（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 27.6 反比例函数与几何综合（知识梳理+题型精析+同步检测） s目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 1 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 2 【知识点3】常见几何模型结论 2 模型1 平行坐标轴矩形模型 2 模型2 双曲线上两点面积模型 2 模型3 对称模型 2 【知识点4】几何综合常用公式 2 二.题型精析 2 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 2 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 4 【题型 3】反比例函数与割补法求三角形面积（高频解答题） 5 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 6 【题型 5】反比例函数与平移综合 8 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 9 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 11 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 12 三.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识梳理与解读 【知识点1】 k的几何意义（压轴必考） 设点 在双曲线 上： 1. 过点P作x轴、y轴垂线，围成矩形面积： 2. 连接原点，围成直角三角形面积： 核心定值思想：同一双曲线上任意一点，对应的面积恒定，与点位置无关。 符号规则： 可正可负，面积永远为正，计算必须带绝对值。 【知识点2】反比例函数几何解题通用思想 所有反比例几何综合题，只有一个核心：用坐标表示几何量 1. 设双曲线上点：常设 2. 几何条件转化：平行、垂直、等长、面积、直角、等腰 → 转化为坐标方程 3. 反比例独有结论：，整体代换，无需单独求x、y 【知识点3】常见几何模型结论 模型1 平行坐标轴矩形模型 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，是本章最基础、最高频模型。 模型2 双曲线上两点面积模型 若 在同一双曲线 上，则 可通过割补法、铅垂高法快速求解。 模型3 对称模型 双曲线关于原点对称：若 在双曲线上，则对称点 也在双曲线上。 【知识点4】几何综合常用公式 1. 两点距离公式： 2. 铅垂高面积公式（万能）： 3. 垂直判定：直线垂直 （一次函数与双曲线综合垂直必考） 二.题型精析 【题型 1】基础面积定值问题（k几何意义直接用） 【例题1】（2025·江西·二模）如图，是边长为2的等边三角形，反比例函数的图象经过点A，过点B作交反比例函数的图象于点C，轴于点D，连接． （1）点A的坐标为_____，k的值为___； （2）求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【题型 2】基础定值求K值问题（k几何意义直接用） 【例题2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． （1）求值； （2）求的面积． 【变式1】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【变式3】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函的图象分别交于第二、四象限内的点，，过点A作轴，垂足为点C，的面积为3． （1）求a，b的值； （2）结合图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）在y轴上取一点P，使的值最大，求出点P的坐标． 【题型 3】反比例函数与割补法求三角形面积（高频解答题） 【例题3】（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． （1）点的坐标为______，反比例函数解析式为______； （2）连接，求的面积． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，点为函数（）图象上一点，连结，交函数（）的图象于点，点是轴上一点，且，则三角形的面积为_________.    【变式3】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数 的图象相交于点C 与点． （1）求反比例函数的表达式及 C 点坐标． （2）求三角形的面积． 【题型 4】反比例函数与矩形、正方形综合 【例题4】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，，． （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）将矩形向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数的图象上，得到矩形．求矩形平移的距离m和反比例函数的解析式． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形和矩形的面积相等，反比例函数在第一象限的图象经过B、E两点，则的长为（   ） A．16 B．8 C． D． 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）如图，已知矩形的顶点，都在直线上，边轴，反比例函数（，且）的图象经过点和点，若点的横坐标为1，且矩形的面积为，则的值为______． 【变式3】（2025·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． （1）当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； （2）如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 【题型 5】反比例函数与平移综合 【例题5】（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（，）的图象上，点的坐标为． （1）求的值； （2）若将菱形沿轴正方向平移，当菱形的顶点落在函数（，）的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离． 【变式1】（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 【变式3】（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点． （1）线段长为______，B点坐标为（____，____）； （2）求m，k的值； （3）若将沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值． 【题型 6】反比例函数与折叠、对称、旋转综合 【例题6】（2026·山西·模拟预测）如图，已知点在轴上，点在轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点，． （1）直接写出点的坐标和反比例函数的表达式； （2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，当点的对应点落在轴上时，判断点的对应点D′是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）将抛物线绕着点旋转后得到如图所示的图象．若点在该图像上，则m的值有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，以为斜边作等腰，交轴于点，连接．沿着折叠得到，若点的对应点落在边上． （1）_____；（2）过点作轴于点，若，则的值是_____． 【变式3】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，矩形的顶点，点在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出线段的长． 【题型 7】反比例函数与图形存在性问题（压轴难点） 【例题7】（25-26八年级下·四川眉山·阶段检测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． （1）求两函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求； （4）若，直接写出x的取值范围． 【变式1】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，点A是反比例函数图象上的一动点，连接并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点，使得，，则m，n满足（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西渭南·二模）如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点．又在反比例函数的第三象限图象上存在一上点，连接，和，已知轴，且的面积等于3，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； （3）在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 8】反比例函数与最值问题综合 【例题8】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 【变式3】（24-25九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． （1）反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； （2）点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·重庆长寿·期中）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若点的横坐标为3，则的值是（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 3．（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，边经过原点O，轴，若反比例函数的图象经过点A和边的中点P，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．2 4．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，若，，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知矩形，，，函数的图象经过矩形对角线交点，交于，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·山西·阶段检测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形的顶点、分别落在轴正半轴和轴正半轴上，顶点落在函数的图象上．函数的图象分别交边和边于点、，则的面积为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，菱形的面积为_________． 12．（2025·浙江杭州·二模）如图，点在双曲线上，连接，分别以点O、A为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，若，则点的坐标为_________． 13．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 14．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的长度为2，则k的值为______． 15．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为__________． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 17．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 18．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，正方形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，的中点在轴上，则的值为_____________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积． 20．（本小题满分8分）（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． （1）当时，请比较与的大小关系，并说明理由； （2）若，，求该函数的表达式． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 22．（本小题满分10分）（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． （1）求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）连接，，求四边形的面积． 23．（本小题满分10分）（26-27九年级·全国·暑假作业）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $