第14讲一元一次不等式的应用与一元一次不等式组（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第14讲 一元一次不等式的应用与一元一次不等式组 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 一元一次不等式的实际应用 2. 一元一次不等式组的概念 3. 不等式组的解 4. 一元一次不等式组的解法 题型巩固 一、列一元一次不等式 二、用一元一次不等式解决实际问题 三、一元一次不等式组的定义 四、求不等式组的解集 五、解特殊不等式组 六、求一元一次不等式组的整数解 七、由一元一次不等式组的解集求参数 八、由不等式组解集的情况求参数 九、不等式组和方程组结合的问题 十、列一元一次不等式组 十一、一元一次不等式组的应用 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（7） 三、解答题（5） 知识梳理 知识点1. 一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式解决实际问题. 列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤如下表： 步骤 具体做法 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一. 解 解不等式，求出其解集. 不等号的方向不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 知识点2. 一元一次不等式组的概念 1.一元一次不等式组：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.例如 2.一元一次不等式组的辨识关键点： （1）不等式的个数不少于2个. （2）每个不等式都是一元一次不等式. （3）含有同一个未知数. 知识点3. 不等式组的解 1.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解. 注意 不等式组的解必须满足每一个不等式. 2.一元一次不等式组的解在数轴上的表示： 不等式组 (a>b) 不等式①②的解集在数轴上的表示 不等式组的解 > < 无解 <<a 巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 知识点4. 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤： （1）依次解各个一元一次不等式； （2）把各个一元一次不等式的解分别表示在同一条数轴上； （3）根据解在数轴上表示的公共部分确定不等式组的解. 题型巩固 题型一、列一元一次不等式 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）用不等式表示“a大于b”，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）“a与2的和是正数”用不等式表示为 ． 3．根据题意列不等式． (1)代数式的值不小于； (2)的倍减的差不大于； (3)的与的倍的和是非正数． 题型二、用一元一次不等式解决实际问题 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打 折出售． 6．（24-25八年级上·浙江杭州）某市自来水公司按下列标准收取水费：若某用户某月用水量不超过，则每立方米收费元；若超过，则超过部分每立方米收费元．如果某用户月份的水费不少于元，那么该用户月份用水量至少是多少立方米？ 题型三、一元一次不等式组的定义 7．下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 8．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 题型四、求不等式组的解集 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是 ． 11．（25-26八年级上·浙江·期中）解不等式组：． 题型五、解特殊不等式组 12．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知实数满足，且，设，则的取值范围是 ． 14．阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 题型六、求一元一次不等式组的整数解 15．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 16．（24-25八年级上·浙江·期末）关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 题型七、由一元一次不等式组的解集求参数 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 20．解下列方程或不等式（组）： （1）                    （2） 题型八、由不等式组解集的情况求参数 21．（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 22．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 23．（22-23八年级上·浙江·单元测试）如果某一元一次方程的解是另一个一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程． (1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，求这个关联方程（写出一个即可）； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 题型九、不等式组和方程组结合的问题 24．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 26．已知关于的二元一次方程组（为常数）． (1)若该方程组的解满足，求的取值范围； (2)若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解． 题型十、列一元一次不等式组 27．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 28．有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ． 29．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. (1)求c的取值范围． (2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值． 题型十一、一元一次不等式组的应用 30．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 分层强化 一、单选题 1．“x的2倍大于3”用不等式表示是 A．2x＞3 B．2x＜3 C．2x≥3 D．2x≤3 2．语句“x的与x的和不超过4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．若ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解为（　　） A．y=﹣1 B．y=1 C．y=﹣2 D．y=2 4．小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为，面积不小于，则宽的长度应满足的不等式组为（    ） A． B． C． D． 5．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．张师傅再就业，做起了小商品生意．第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品以每件元的价格全部售出，则在这次买卖中，张师傅赚了（　　）元 A．5a﹣5b B．10a﹣10b C．20a﹣5b D．30a﹣20b 7．若不等式恰有3个整数解，那么a取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（      ） A．n≥4 B． C．n≤4 D． 9．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 二、填空题 10．不等式组的解集为 ． 11．某商品进价200元，标价300元，商场规定可以打折销售，但其利润不能低于5%，则该商品最低售价是标价的 折． 12．如果 m是实数，且不等式的解是，那么实数m的值为 . 13．一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长是不等式组的正整数解．则第三边的长为： ． 14．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元．经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折，若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘 个． 15．我国已研制出新型新冠疫苗一一重组亚单位疫苗（细胞），预计4月初开始接种．3月底我市部分小区率先开始了新型新冠疫苗接种预约，这部分小区平均每个小区有144名业主申报，其中申报人数低于120名的小区平均每个小区有112名业主申报，申报人数不低于120名的小区平均每个小区有168名业主申报．根据统计结果发现，若每个小区同时新增20名业主申报，则此时申报人数低于120名的小区平均每个小区有116名，申报人数不低于120名的小区平均每个小区有180名业主申报，且该市这部分小区个数高于100，且低于130，则这部分小区有 个． 16．甲乙两队进行篮球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，甲队至少胜了 场． 三、解答题 17．解不等式组：． 18．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 19．第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日-2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物10套、B型号吉祥物4套共需1000元，且B型号吉祥物每套价格是A型号吉祥物每套价格的倍． (1)分别求A、B型号吉祥物每套的价格； (2)经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8500元，求A型号吉祥物最多购进多少套． 20．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 21．阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 例如，，，． 那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，求x的值； (4)如果，其中，且，直接写出x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一元一次不等式的应用与一元一次不等式组 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 一元一次不等式的实际应用 2. 一元一次不等式组的概念 3. 不等式组的解 4. 一元一次不等式组的解法 题型巩固 一、列一元一次不等式 二、用一元一次不等式解决实际问题 三、一元一次不等式组的定义 四、求不等式组的解集 五、解特殊不等式组 六、求一元一次不等式组的整数解 七、由一元一次不等式组的解集求参数 八、由不等式组解集的情况求参数 九、不等式组和方程组结合的问题 十、列一元一次不等式组 十一、一元一次不等式组的应用 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（7） 三、解答题（5） 知识梳理 知识点1. 一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式解决实际问题. 列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤如下表： 步骤 具体做法 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一. 解 解不等式，求出其解集. 不等号的方向不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 知识点2. 一元一次不等式组的概念 1.一元一次不等式组：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.例如 2.一元一次不等式组的辨识关键点： （1）不等式的个数不少于2个. （2）每个不等式都是一元一次不等式. （3）含有同一个未知数. 知识点3. 不等式组的解 1.不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解. 注意 不等式组的解必须满足每一个不等式. 2.一元一次不等式组的解在数轴上的表示： 不等式组 (a>b) 不等式①②的解集在数轴上的表示 不等式组的解 > < 无解 <<a 巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 知识点4. 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的步骤： （1）依次解各个一元一次不等式； （2）把各个一元一次不等式的解分别表示在同一条数轴上； （3）根据解在数轴上表示的公共部分确定不等式组的解. 题型巩固 题型一、列一元一次不等式 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）用不等式表示“a大于b”，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据“a大于b”，即可得出． 【详解】解：根据题意得，， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）“a与2的和是正数”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用“a与2的和”即，再利用正数即大于0，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 3．根据题意列不等式． (1)代数式的值不小于； (2)的倍减的差不大于； (3)的与的倍的和是非正数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式； （1）根据不小于，即大于等于列出不等式； （2）根据不大于，即小于等于，列出不等式； （3）根据非正数即小于等于，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型二、用一元一次不等式解决实际问题 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（   ） A．17道 B．16道 C．15道 D．14道 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于70分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解. 【详解】解：设小明答对的题数是x道， ， ， ∵x为整数， ∴x的最小整数为16， 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打 折出售． 【答案】8/八 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设打折出售，根据单件利润不低于24元，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折出售，由题意，得：， 解得：， 答：最低可打8折出售． 故答案为：8． 6．（24-25八年级上·浙江杭州）某市自来水公司按下列标准收取水费：若某用户某月用水量不超过，则每立方米收费元；若超过，则超过部分每立方米收费元．如果某用户月份的水费不少于元，那么该用户月份用水量至少是多少立方米？ 【答案】立方米 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该用户月份用水量为立方米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该用户月份用水量为立方米， 由题意得，， 解得， 答：该用户月份用水量至少是立方米． 题型三、一元一次不等式组的定义 7．下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 8．判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】见解析 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式； （2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义； （4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义. 【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； (2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； (3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； (4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； (5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 题型四、求不等式组的解集 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，先分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上： 故选：A． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·浙江·期中）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键，分别解不等式，再取两个不等式的解的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 解得：； 由②得：， ， ， 解得：； 不等式组的解集为． 题型五、解特殊不等式组 12．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解特殊不等式组 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 13．已知实数满足，且，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据得到，通过解不等式得出x的取值范围，表达出即可求出k的取值范围． 【详解】解：由得：， ∵ ∴ 解得 又∵ ∴ ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围，求代数式的取值范围，解题的关键是对已知条件进行变形． 14．阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【知识点】解特殊不等式组 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 题型六、求一元一次不等式组的整数解 15．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解．解题的关键是正确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后再求出其范围内的整数解，即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴整数有：0、1、2，共3个． 故选：B． 16．（24-25八年级上·浙江·期末）关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后求整数解即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为 故答案为： 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解是，，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解得， 解得， 则不等式组的解集是， 则不等式组的整数解是，，，，． 题型七、由一元一次不等式组的解集求参数 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键．根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 20．解下列方程或不等式（组）： （1）                    （2） 【答案】（1）；（2） 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项即可； （2）先根据解一元一次不等式的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解得各自的解集，再求得不等式组的解集即可. 【详解】（1）原不等式去括号得： 移项得： 合并同类项 ∴原不等式的解集为：； （2）先解不等式： 移项得： 合并同类项得： 系数化成1得： 再解不等式： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化成1得： ∴原不等式组的解集为： 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 题型八、由不等式组解集的情况求参数 21．（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据已知条件求出a，b的值成为解题的关键． 先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值，进而确定的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解， ∴ ， ∵不等式组的整数解，有且仅有4个：， ∴必须满足，解得， ∵a、b为整数， ∴或或，或6， ∴整数对有、、、、、，共6个． 故选：D． 22．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查解不等式组，可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于的不等式组，可求得的取值范围．求得不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解， 整数解为1，2，3， ． 故答案为：． 23．（22-23八年级上·浙江·单元测试）如果某一元一次方程的解是另一个一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程． (1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，求这个关联方程（写出一个即可）； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得； （2）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】（1）解：解不等式组得：， 所以不等式组的整数解为， 则该不等式组的关联方程为； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为． 方程的解为， 方程的解为， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 题型九、不等式组和方程组结合的问题 24．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 26．已知关于的二元一次方程组（为常数）． (1)若该方程组的解满足，求的取值范围； (2)若该方程组的解均为正整数，且，直接写出该方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】（1）根据方程组的结构，利用得，代入不等式，解不等式即可求解； （2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，根据整除，求得的值，进而求得方程组的解． 【详解】（1）解：， 得， ∵该方程组的解满足， ∴， 解得； （2） 得： 解得 将代入①得： ∵方程组的解均为正整数，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键． 题型十、列一元一次不等式组 27．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 28．有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ． 【答案】30mg60mg 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】一次服用剂量每日用量每日服用次数，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可． 【详解】解：由题意得： 当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为mg； 当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为mg； 故一次服用这种药品的剂量范围是30mg60mg． 故答案为：30mg60mg． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，关键是正确理解题意，表示出服用剂量的最大值和最小值． 29．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a＋2b＋c＝5，2a＋b－3c＝1. (1)求c的取值范围． (2)设S＝3a＋b－7c，求S的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) S的最大值为－，最小值为－. 【知识点】列一元一次不等式组 【详解】试题分析：（1）把c看作已知数，分别用c表示出a和b，让a≥0，b≥0列式求值即可； （2）求得S用c表示的形式，根据c的取值范围代入可得S的最大值和最小值． 试题解析：(1)根据题意，得 解得 ∵a≥0，b≥0，c≥0， ∴ ∴≤c≤. (2)S＝3a＋b－7c＝3(7c－3)＋(7－11c)－7c＝3c－2. ∵≤c≤， ∴≤3c≤， ∴－≤3c－2≤－， ∴S的最大值为－，最小值为－. 题型十一、一元一次不等式组的应用 30．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查不等式的应用，将年龄值代入最佳燃脂心率最高值、最低值公式，计算出最值，即可得出最佳燃脂心率的范围． 【详解】解：年龄为20岁时，最佳燃脂心率最高值为：， 最低值为：， 因此20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为， 故选A． 31．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键． 根据题意和相关数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设的长为x米， 由题意可得，， 解得：． 故答案为：． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】列代数式、用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 分层强化 一、单选题 1．“x的2倍大于3”用不等式表示是 A．2x＞3 B．2x＜3 C．2x≥3 D．2x≤3 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式即可. 【详解】根据题意有，“x的2倍大于3”用不等式表示是2x＞3 故选A 【点睛】本题主要考查根据文字语言的不等式转化为数学符号表示的不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题的关键. 2．语句“x的与x的和不超过4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】x的即x，不超过4是小于或等于4的数，由此列出式子即可． 【详解】“x的与x的和不超过4”用不等式表示为x+x≤4． 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 3．若ax﹣2＞0的解集为x＜﹣2，则关于y的方程ay+2=0的解为（　　） A．y=﹣1 B．y=1 C．y=﹣2 D．y=2 【答案】D 【详解】根据ax－2＞0的解集为x＜－2，解得a=-1,则方程ay+2＝0为 得： 故选D. 4．小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为，面积不小于，则宽的长度应满足的不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的宽小于长和长方形的面积不小于列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知 故选A． 【点睛】此题考查的是根据题意，列不等式组，掌握长方形的宽小于长和长方形的面积公式是解决此题的关键． 5．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 6．张师傅再就业，做起了小商品生意．第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品以每件元的价格全部售出，则在这次买卖中，张师傅赚了（　　）元 A．5a﹣5b B．10a﹣10b C．20a﹣5b D．30a﹣20b 【答案】A 【分析】张师傅赚的钱应该等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，而利润=（单件销售价-单件成本价）数量. 【详解】根据题意列得： 则这次买卖中，张师傅赚5a﹣5b元． 故应选A． 【点睛】本题主要考查利润与成本之间的关系，根据关系、理解题意列出相应的关系式是本题的关键. 7．若不等式恰有3个整数解，那么a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式组解出x的取值范围，恰有3个整数解，写出整数解，确定出a-1的取值范围即可求出a的取值范围. 【详解】根据得， 恰有3个整数解为2，1，0， 所以知，即， 故选：C. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键找到整数解然后在求出a的取值范围． 8．如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（      ） A．n≥4 B． C．n≤4 D． 【答案】C 【分析】由不等式组的解集是，根据同大取大原则可得n不大于4，由此即可确定n的取值范围. 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴n不大于4，即n≤4. 故选C. 【点睛】求一元一次不等式组解集的口诀为“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，本题重点考查了对不等式组解集的理解与运用，掌握同大取大的原则是解本题的关键. 9．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：D． 二、填空题 10．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质分别求出两个不等式的解集，再利用不等式组解集口诀“大小小大取中间”写出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法并熟记解集口诀，正确解得每个不等式的解集是关键． 11．某商品进价200元，标价300元，商场规定可以打折销售，但其利润不能低于5%，则该商品最低售价是标价的 折． 【答案】7 【分析】利润率不能低于5%，意思是利润率大于或等于5%，相应的关系式为：利润÷进价×100%≥5%，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设这种商品可以按x折销售， 则售价为300×0.1x元，那么利润为（300×0.1x-200）元， 所以相应的关系式为300×0.1x-200≥200×5%， 解得：x≥7． 答：该商品最多可以7折． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值． 12．如果 m是实数，且不等式的解是，那么实数m的值为 . 【答案】 【分析】根据两边同时除以，不等号的方向改变，可得，据此即可求解． 【详解】解：因为的解集是，不等号的方向改变了， 所以， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数． 13．一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长是不等式组的正整数解．则第三边的长为： ． 【答案】7 【分析】先利用一元一次不等式组的解法确定出正整数解，然后利用三角形的三边关系来求解． 【详解】解：解得， 所以正整数解是、、9． 三角形的其中两边长为和， ， 即， 所以只有符合． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和一元一次不等式的整数解．解题的关键是求解不等式组求出它的正整数解． 14．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元．经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折，若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘 个． 【答案】20 【分析】直接利用已知得出二元一次方程组求出键盘与鼠标的单价，再利用总费用不超过1820元，得出不等式求出答案． 【详解】解：设键盘每个价格为x元，鼠标每个价格为y元，根据题意可得： ， 解得：， 则设购买键盘a个，则鼠标（50﹣a）个， 根据题意可得：50×0.8a+40×0.85（50﹣a）≤1820， 解得：a≤20， 故最多可购买键盘20个． 故答案为：20． 【点睛】本题咔嚓的是二元一次方程组与一元一次不等式，根据题意正确列式是解题的关键． 15．我国已研制出新型新冠疫苗一一重组亚单位疫苗（细胞），预计4月初开始接种．3月底我市部分小区率先开始了新型新冠疫苗接种预约，这部分小区平均每个小区有144名业主申报，其中申报人数低于120名的小区平均每个小区有112名业主申报，申报人数不低于120名的小区平均每个小区有168名业主申报．根据统计结果发现，若每个小区同时新增20名业主申报，则此时申报人数低于120名的小区平均每个小区有116名，申报人数不低于120名的小区平均每个小区有180名业主申报，且该市这部分小区个数高于100，且低于130，则这部分小区有 个． 【答案】112 【分析】先设低于120名的有x个小区，不低于120名的有y个小区，每个小区增加20名业主，则设低于120名的会在x个小区的基础上减少e个，根据“这部分小区平均每个小区有144名业主参加”可知一共有名业主，再根据增加20户前与后两种情况的等量关系列式，可以得到x，y含有e的关系式，再结合“该市这部分小区个数高于100，且低于130”即可得出答案． 【详解】解：设低于120名的有x个小区，不低于120名的有y个小区，再设每个小区增加20名业主后，低于120名的会在x个小区的基础上减少e个小区，不低于120名的会在y个小区的基础上增加e个小区 ∴增加20名业主后，低于120名的有个小区，不低于120户的有个小区， 由题意得：， ∴①， 同时有：， 化简得：②， 由①②解得：， ∵x，y，e都是正整数，且 ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：112． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题，能够读懂题意，找到等量关系并准确的表达出来是解题的关键． 16．甲乙两队进行篮球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，甲队至少胜了 场． 【答案】7 【分析】设甲队胜了x场，则平了（10-x）场，根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，比赛10场，得分24分，列出不等式，求出x的最小整数解． 【详解】设甲队胜了x场，则平了（10-x）场， 由题意得，3x+（10-x）≥24， 解得：x≥7， 即甲队至少胜了7场． 故答案是：7． 【点睛】考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出不等关系，列出不等式求解． 三、解答题 17．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为：． 18．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元 (2)学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个 【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ∴， 解得30≤x≤33， ∵x为整数， ∴x的值可为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 19．第9届哈尔滨亚冬会于2025年2月8日-2月14日举行．亚冬会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖．某商店计划购进A、B两款型号的吉祥物．已知购买A型号吉祥物10套、B型号吉祥物4套共需1000元，且B型号吉祥物每套价格是A型号吉祥物每套价格的倍． (1)分别求A、B型号吉祥物每套的价格； (2)经市场调研，A型号吉祥物每套零售价为80元，B型号吉祥物每套零售价为150元．该商家决定购进A、B两种型号吉祥物共200套，若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8500元，求A型号吉祥物最多购进多少套． 【答案】(1)A、B型号吉祥物每套的价格为元、元 (2)A型号吉祥物最多购进套 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意正确列出分式方程和一元一次不等式成为解题的关键． （1）设A型号吉祥物每套的价格为x元，则B型号吉祥物每套的价格为元．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设A型号吉祥物购进套，则B型号吉祥物购进套，然后根据题意列一元一次不等式并求最大整数值即可解答． 【详解】（1）解：设A型号吉祥物每套的价格为x元，则B型号吉祥物每套的价格为元． 则， 解得：， ∴B型号吉祥物每套的价格为元， 答：A、B型号吉祥物每套的价格为元、元； （2）解：A型号吉祥物购进套， 则， 解得：， ∴A型号吉祥物最多购进套， 答：A型号吉祥物最多购进套． 20．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； (2)A型号的电风扇最多能采购25台； (3)能实现利润超过1700元的目标，方案见解析． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用． （1）设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台，根据不等关系列不等式求解即可； （3）根据不等关系列不等式求解，结合（2）得到a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元． 依题意，得， 解得． 答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台． 依题意，得， 解得， ∴a最大取25． 答：A型号的电风扇最多能采购25台； （3）由题意，得， 解得． 由（2），可得，且a应为整数， 故超市能实现利润超过1700元的目标．相应的方案有5种，方案如下： 当时，采购A型号的电风扇21台，B型号的电风扇29台； 当时，采购A型号的电风扇22台，B型号的电风扇28台； 当时，采购A型号的电风扇23台，B型号的电风扇27台； 当时，采购A型号的电风扇24台，B型号的电风扇26台； 当时，采购A型号的电风扇25台，B型号的电风扇25台． 21．阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 例如，，，． 那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，求x的值； (4)如果，其中，且，直接写出x的值． 【答案】(1)4，； (2)； (3)2或； (4)或． 【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据为整数，即可计算出具体的值； （4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，． （2）∵， ∴x的取值范围是．   故答案为：． （3）∵， ∴． 解得： ∵是整数．   ∴或．   故答案为：2或． （4）∵，其中， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，2． 当时，，； 当时，，； ∴或． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． 学科网（北京）股份有限公司 $