30.3 正多边形与圆（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕正多边形与圆的核心内容，系统讲解定义、中心、半径等概念，以及对称性、相关计算和作图方法。通过欣赏图片提问导入，衔接多边形旧知，以基础填空、概念辨析为学习支架，引导学生逐步构建知识脉络。 其特色在于融合数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）与语言（模型应用），如用正六边形边长等于半径的证明培养推理能力，通过勾股定理计算边心距提升运算能力。包含中考题与作图实践，课堂小结系统梳理知识，助力学生深化理解，也为教师提供丰富教学资源。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 2026年8月1日 人教版九年级下册30.3正多边形与圆专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 各边相等、各角也相等的多边形叫做________。 2. 把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的________，这个圆就是正多边形的________。 3. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的________，外接圆的半径叫做正多边形的________。 4. 正多边形的每条边所对的圆心角叫做________，圆心到正多边形一边的距离叫做________。 5. 正n边形的中心角公式：________，正n边形的外角和为________°。 6. 正多边形的中心角与外角大小________。 7. 正多边形都是________对称图形，正偶数边形同时也是________对称图形。 8. 正n边形有________条对称轴，对称轴都经过正多边形的中心。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 下列属于正多边形的是（） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 2. 正六边形的中心角度数为（） A.60° B.90° C.120° D.180° 3. 关于正多边形的边心距说法正确的是（） A.是外接圆半径 B.是内切圆半径 C.经过多边形顶点 D.长度大于半径 4. 正五边形的对称轴条数为（） A.4条 B.5条 C.6条 D.无数条 5. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称的正多边形是（） A.正三角形 B.正五边形 C.正六边形 D.正七边形 6. 正多边形的中心角和外角的关系是（） A.相等 B.互余 C.互补 D.无关系 7. 圆内接正四边形的半径与边长的关系是（） A.边长等于半径 B.边长是半径的$$\sqrt{2}$$倍 C.边长是半径的2倍 D.半径是边长的2倍 三、解答题（共42分） 1. 基础概念解答（每题6分，共24分） 1. 简述正多边形的定义，以及正多边形与圆的关系。 2. 说明正多边形中心、半径、中心角、边心距的定义。 3. 写出正n边形中心角、内角度数、外角度数的计算公式。 4. 说明正多边形的对称性特点。 2. 基础计算题（9分） 求正八边形的中心角度数、外角度数和内角度数。 3. 综合应用题（9分） 已知圆的半径为6cm，求该圆内接正六边形的边长和边心距。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 正多边形 2. 内接正多边形；外接圆 3. 中心；半径 4. 中心角；边心距 5. $$\dfrac{360°}{n}$$；360 6. 相等 7. 轴；中心 8. $$n$$ 二、选择题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 三、解答题 1. 解：（1）定义：各边相等、各内角相等的多边形为正多边形；关系：任意正多边形都有唯一的外接圆和内切圆，且两圆同心。 （2）中心：正多边形外接圆圆心；半径：外接圆半径；中心角：每条边所对的圆心角；边心距：中心到正多边形一边的距离，即内切圆半径。 （3）中心角：$$\frac{360°}{n}$$；外角：$$\frac{360°}{n}$$；内角：$$\frac{(n-2)\times180°}{n}$$。 （4）所有正多边形都是轴对称图形，有n条对称轴；正奇数边形仅为轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形，也是中心对称图形。 2. 解：中心角$$=\frac{360°}{8}=45°$$，外角$$=45°$$，内角$$=180°-45°=135°$$。 3. 解：圆内接正六边形边长等于圆的半径，故边长为6cm；边心距$$= \sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$$。 拓展思考题 思考：为什么圆内接正六边形边长等于半径？ 答：正六边形中心角为60°，相邻两条半径与正六边形的边构成等腰三角形，两腰为半径，顶角60°，该三角形为等边三角形，因此边长等于半径。 （总字数：1020） 了解正多边形与圆的有关概念. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 会运用正多边形与圆的有关知识解决实际问题. 新课导入 情景：欣赏下面图片. 问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？ (1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念. (2)会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形. 推进新课 正多边形的定义及它与圆的关系 知识点1 三条边相等， 三个角相等（60°） 四条边相等， 四个角相等（90°） 正三角形 正方形 5 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形. 正多边形定义 1. 返回 正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 C 举一反三 7 返回 2. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P是 上一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　) A．45° B．36° C．35° D．30° B 举一反三 观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形. 9 9 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 10 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 正多边形都是 图形,一个正n边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 . 正多边形的对称性 边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心. 轴对称 n 中心 中心对称图形 有没有对称轴？ 你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. · A B C D E O A B C D E ∴ AB=BC=CD=DE=EA, ∴ ∠A=∠B. · A B C D E O 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 我们以圆的接正五边形为例证明. 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE. ∵AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴BCE=CDA=3AB ⌒ ⌒ ⌒ 把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形. 定义： 返回 3. [济宁中考]如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为(　　) A．1 B．2 D 举一反三 返回 4. [雅安中考]如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O.则△OAB的面积为(　　) B 举一反三 E F C D . O 中心角 半径R 边心距r 正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径:外接圆的半径. 正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离. A B 正多边形的有关概念及相关计算 知识点2 中心 E D C B A O 半径 中心角 边心距 正多边形中的有关概念： F 既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心. 正n边形的一个内角的 度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的 大小关系是________. 中心角与内角互补. 相等 想一想： E D C B A O F 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 因此，亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 例 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积 在Rt△OPC中，OC=4，PC= [镇江中考]如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝________． 5. 返回 10 举一反三 如图，正三角形ABC外接圆⊙O的半径为2，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积． 返回 6. 解：如图，连接OB，OA，延长AO交BC于点D. ∵正三角形ABC的外接圆是⊙O， 举一反三 返回 举一反三 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. 120° ①用量角器度量，使∠AOB= ∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°． A O C B 有关正多边形的作图 知识点3 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？ · A B C D O · A B C D E O O A B C D E F · 90° 72° 60° 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？ O A B C E F · D 以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连接各等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形…… 7. 如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC.甲、乙两人的作法分别是： 对于甲、乙两人的作法，判断正确的是(　　) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 返回 A 举一反三 返回 8. 如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求． 举一反三 返回 9. [呼和浩特中考]如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为(　　) A．26° B．27° C．28° D．30° B 举一反三 30 返回 10. 司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点A～H代表八个方位，如图，BH与DG交于点P，则点P位于点D的(　　) A．南偏西75°方向 B．北偏东75°方向 C．南偏西67.5°方向 D．北偏东67.5°方向 D 举一反三 31 11. [沧州模拟如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，若正六边形的面积为a，则空白部分的面积为(　　) B 返回 举一反三 32 返回 12. [北京期末]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的周长为________，面积为________． 18 举一反三 33 13. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题． 作法：(1)作直径AF；(2)以点F为圆心，FO的长为半径作弧，与⊙O交于点M，N；(3)连接AM，MN，NA. (1)△AMN是正三角形吗？请说明理由； 返回 举一反三 解：△AMN是正三角形．理由如下： 如图，连接ON，NF. 由题意可得FN＝OF＝ON，∴△FON是正三角形， ∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°. 同理可得∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°. ∴△AMN是正三角形． 返回 举一反三 (2)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些点，得到正n边形，则n的值为________． 返回 15 举一反三 14. 如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE等正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； 返回 举一反三 解：连接OB，OC. ∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°， ∴∠OBM＝30°＝∠OCN. 又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN(SAS)． ∴∠BOM＝∠CON. ∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°. 返回 举一反三 (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； 返回 90° 72° (3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系． 举一反三 正多边形 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形与圆 中心角 内角 外角 周长 面积 正多边形的定义 正多边形的 性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.所有正多边形都是轴对称图形，边数为偶数时，它既是轴对称图形又是中心对称图形 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 谢谢观看 THANKS C． D． A．4 B．4 C．6 D．6 ∴易得AD⊥BC，BD＝CD＝BC， ∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°， ∴正三角形ABC的边心距OD＝OB＝×2＝1. 由勾股定理得BD＝＝， ∴正三角形ABC的边长BC＝2BD＝2 ， ∴正三角形ABC的周长为3BC＝3×2 ＝6 . ∵AD＝AO＋OD＝2＋1＝3， ∴正三角形ABC的面积为BC·AD＝×2 ×3＝3 . A.a B.a C.a D.a 解：∠MON＝. $