湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（B卷）

第 1 页，共 12页 株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷 数学试题（B卷） 命题人：李昊、欧阳东凌、陈诗如 审题人：张志军 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是( ) A. {x|x ≤ −3或x ≥ 3} B. {x| − 3 ≤ x ≤ 3} C. {x|x ≤ −3} D. {x|x ≥ 3} 2.下列运算正确的是( ) A. a6 ÷ a2 = a3 B. a4 × a2 = a6 C. (a2)3 = a5 D. a3 + a3 = a6 3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示．则组成此几何体需要正方体的个 数是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.下列方程中两根之和为6的是( ) A. x2 − 6x + 15 = 0 B. x2 − 12x + 6 = 0 C. 2x2 − 6x − 3 = 0 D. 3x2 − 18x + 17 = 0 5.设集合A = {2,1 − a, a2 − a + 2}，若4 ∈ A，则a =( ) A. −3或−1或2 B. −3或−1 C. −3或2 D. −1或2 6.函数y = kx2 − 2与y = (k ≠ 0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) 第 2 页，共 12页 A. B. C. D. 7.关于x的不等式组{x7 m 2x 0 3恰好有5个整数解，则m的取值范围是( ) A. −7 ⩽ m < −6 B. −7 ⩽ m ⩽ −6 C. −7 < m ⩽ −6 D. −7 < m < −6 8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美 丽抛物线”.如图，直线l：y = x + b经过点M(0, )，一组抛物线的顶点B1 (1, y1)，B2 (2, y2)，B3 (3, y3)， …Bn(n, yn) (n为正整数)，依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1, 0)，A2(x2, 0)， A3 (x3, 0)，…An+1(xn+1, 0)(n为正整数).若x1 = d(0 < d < 1)，当d为( )时，这组抛物线中存在美丽抛物线. A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知x，y，z为非零实数，代数式 的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( ) A. 0 ∉ M B. 2 ∈ M C. −4 ∈ M D. 4 ∈ M 第 3 页，共 12页 10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是( ) A. 众数是2.1 B. 中位数是1.6 C. 平均数是2.08 D. 方差大于1 11.已知二次函数y = (m − 2)x2 + 2mx +m − 3的图像与x轴有两个交点(x1, 0)，(x2, 0)，则下面说法正确的 是( ) A. 该二次函数的图像一定过定点(−1, −5); B. 若该函数图像开口向下，则m的取值范围为： < m < 2; C. 当m > 2，且1 ⩽ x ⩽ 2时，y的最大值为4m − 5; D. 当m > 2，且该函数图像与x轴两交点的横坐标x1，x2满足−3 < x1 < −2，−1 < x2 < 0时，m的取值范 围为： < m < 11 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.若a + b = 2，ab = −3，则式子a3b + 2a2b2 + ab3的值为 . 13.如图，一段抛物线y = −x(x − 3)(0 ≤ x ≤ 3)记为C1，它与x轴交于点O、A1;将C1绕点A1旋转180∘得到C2， 交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180∘得到C3，交x轴于点A3 ⋯⋯如此进行下去，直至得到C13.若P(37,m)在第13 段抛物线C13上，则m = . 14.给定实数集合A，B，定义运算A ⊗B = {x|x = ab + a + b, a ∈ A, b ∈ B}.设A = {0,2,4, ⋯ ,18}，B = {98,99,100}，则A ⊗ B中的所有元素之和为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知关于x的一元二次方程x2 − 6x +m + 4 = 0有两个实数根x1，x2. 第 4 页，共 12 页 (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足3x1 = |x2 | + 2，求m的值. 16.(本小题15分) 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母 C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球. (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？(注：本题中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音 字母) 17.(本小题15分) 对m、n定义一种新运算“◇”,规定：m◇n = am − bn + 5(其中a、b均为非零常数)，等式右边的运算是 通常的四则运算，例如：5◇6 = 5a − 6b + 5. (1)已知2◇3 = 1，3◇(−1) = 10. ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组{x◇3x ◇ (2 ( − 6 ) < t 9, 有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围. (2)若运算“◇”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数m，m，结论“m◇n = n◇m”都成立，试 探索a、b所应满足的关系式. 18.(本小题17分) 定义：若任意m, n ∈ A(m, n可以相等)，都有1 +mn ≠ 0，则集合 称为集合A的 生成集； (1)求集合A = {3,4}的生成集B； (2)若集合A = {a, 2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合−1 ≤ A ≤ 1，A的生成集为B，求证A = B. 19.(本小题17分) 已知抛物线y = −x2 + bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y = −x2 + 2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值； (2)点A(x1, y1)在抛物线y = −x2 + 2x上，点B(x1 + t, y1 + ℎ)在抛物线y = −x2 + bx上. (i)若ℎ = 3t，且x1 ⩾ 0，t > 0，求ℎ的值； (i)若x1 = t − 1，求ℎ的最大值. 第 5 页，共 12页 答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】 在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足|x| ≤ 3的x的集合. 本题考查了集合的表示方法，属于基础题. 【解答】 解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足|x| ≤ 3的x的集合， 解绝对值不等式可得：{x| − 3 ≤ x ≤ 3}， 故选 B. 2.【答案】B 【解析】略 3.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可 以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数。 【解答】 解：根据俯视图可知该组合体共2行、4列， 结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示： 则组成此几何体需要正方体的个数是8， 故选 B . 4.【答案】D 【解析】略 5.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题. 分别由1 − a = 4，a2 − a + 2 = 4，求出a的值，再将a值代入验证即可. 第 6 页，共 12页 【解答】 解：若1 − a = 4，则a = −3，∴ a2 − a + 2 = 14，∴ A = {2,4,14}，满足； 若a2 − a + 2 = 4，则a = 2或a = −1， a = 2时，1 − a = −1，∴ A = {2,−1,4}； a = −1时，1 − a = 2，不符合互异性， 则a = −3或2. 故选 C. 6.【答案】C 【解析】解：分两种情况讨论： ①当k > 0时，反比例函数 ，在一、三象限，而二次函数y = kx2 − 2开口向上，与y轴交点为(0, −2)， 都不符； ②当k < 0时，反比例函数 ，在二、四象限，而二次函数y = kx2 − 2开口向下，与y轴交点为(0, −1)， C符合. 故选：C . 根据k > 0，k < 0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论. 本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点. 7.【答案】A 【解析】略 8.【答案】B 【解析】【分析】 此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性 找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键. 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三 角形斜边上的高等于斜边的一半．又0 < d < 1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角 形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可. 【解答】 解：直线l：y = x + b经过点M(0, )，则b = ； ∴直线l：y = 第 7 页，共 12页 由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∴该等腰三角形的高等于斜边的一半. ∵ 0 < d < 1， ∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1(即抛物线的顶点纵坐标小于1)； ∵当x = 1时，y1 = 当x = 2时，y2 = 当x = 3时，y3 = ∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2. ①若B1为顶点，由B1 则d = 1 − ②若B2为顶点，由B2 ，则d = 1 − 综上所述，d的值为 或 时，存在美丽抛物线. 故选：B . 9.【答案】CD 【解析】【分析】 本题考查集合中元素的性质、集合与元素的关系，注意题意中x、y、z的位置有对称性，即代数式的值只与 x、y、z中有几个为负数有关，与具体x、y、z中谁为负无关. 根据题意，分析可得代数式 的值与x、y、z的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论， 分别求出代数式在各种情况下的值，即可得M，分析选项可得答案. 【解答】 解：根据题意，分4种情况讨论； ①x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则 = −4， ②x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则 ③x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则 ④x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则 则M = {4, −4,0}， 第 8 页，共 12页 分析选项可得CD符合. 故选 CD. 10.【答案】AC 【解析】解：A、因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故本选项正确，符合题意； B、把这些数从小到大排列为：1.6，1.8，2.1，2.1，2.8，中位数是2.1，故本选项错误，不符合题意； C、平均数是： × (2.8 + 2.1 + 2.1 + 1.8 + 1.6) = 2.08，故本选项正确，符合题意； D、方差是： × [(2.8 − 2.08)2 + 2 × (2.1 − 2.08)2 + (1.6 − 2.08)2 + (1.8 − 2.08)2] = 0.1656 < 1，故本选 项错误，不符合题意； 故选：AC . 根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析，即可得出答案. 本题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一 组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一 组数据波动大小的量. 11.【答案】ABD 【解析】略 12.【答案】−12 【解析】略 13.【答案】2 【解析】由题知图像C1与x轴的交点坐标分别为(0,0)，(3,0)，易知图像C1，5与x轴的交点坐标分别为(36,0)， (39,0)，且图像在x轴上方， ∴ C13的表达式为y13 = −(x − 36)(x − 39)，当x = 37时，y = −(37 − 36) × (37 − 39) = 2. 14.【答案】29970 【解析】【分析】 本题考查了集合的新定义问题 【解答】 解：由x = (a + 1)(b + 1) − 1，可知所有元素之和为(1 + 3 + ⋯+ 19) × 300 − 3 × 10 = 29970. 15.【答案】解：(1) ∵关于x的一元二次方程x2 − 6x +m + 4 = 0有两个实数根x1，x2， ∴ Δ = (−6)2 −4(m +4) = 20 − 4m ≥ 0， 解得：m ≤ 5， 第 9 页，共 12页 ∴ m的取值范围为m ≤ 5. (2) ∵关于x的一元二次方程x2 − 6x +m + 4 = 0有两个实数根x1，x2， ∴ x1 +x2 = 6①, x1x2 = m +4②. ∵ 3x1 = |x2| + 2， 当x2 ≥ 0时，有3x1 = x2 + 2③, 联立①③解得：x1 = 2，x2 = 4， ∴ 8 = m +4，m = 4； 当x2 < 0时，有3x1 = −x2 + 2④, 联立①④解得：x1 = −2，x2 = 8(不合题意，舍去). ∴符合条件的m的值为4. 【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系. (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ = 20 − 4m ≥ 0，解之即可得出结论； (2)由根与系数的关系可得x1 + x2 = 6①、x1x2 = m + 4②,分x2 ≥ 0和x2 < 0可找出3x1 = x2 + 2③或 3x1 = −x2 + 2④,联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值. 16.【答案】【小题1】P(1个元音) = P(2个元音) = P(3个元音) = 【小题2】 【解析】1. 略 2. 略 17.【答案】解：(1)① ∵ 2◇3 = 1，3◇(−1) = 10， ∴ 解得：a = 1，b = 2； ② ∵ {x◇3x ◇ (2 ( − 6 ) < t 9,a = 1,b = 2, ∴ xa − (2x − 3)b + 5 = −3x + 11 < 9， 3xa − (−6)b + 5 = 3x + 17 ≤ t， 即{−3 3 x + 1 1 7 < t 9, 解得： 第 10页，共 12页 ∵关于x的不等式组{x◇3x ◇ (2 ( − 6 ) 3 < t 9 ，有且只有一个整数解， 解得：20 ≤ t < 23， 即字母t的取值范围是20 ≤ t < 23； (2) ∵ m◇n = n◇m， ∴ ma −nb + 5 = na −mb + 5， ∴ ma − nb − na +mb = 0， ∴ m(a + b) −n(a + b) = 0， ∴ (a + b)(m −n) = 0， ∵ m、n为任意数， ∴ m −n不一定等于0， ∴ a + b = 0， 即a、b所应满足的关系式是a + b = 0. 【解析】略 本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知 算式得出方程组或不等式组是解此题的关键. (1)①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； ②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可； (2)根据新运算得出等式，整理后即可得出答案. 18.【答案】解：(1)由题可知 ①当m = n = 3时，x = ②当m = n = 4时，x = ③当m = 3，n = 4或m = 4，n = 3时，x = 所以 ①当m = n = 2时，x = ②当m = n = a时，x = ③当m = 2，n = a或m = a，n = 2时，x = 第 11页，共 12页 B的子集个数为4个，则B中有2个元素， 所以 = 或 = 或 = ， 解得a = 1或a = −1或a = (a = 2舍去). (3)证明：∀m，n ∈ [−1,1] = A， ∴ B ⊆ A， 又A = [−1,1]， 所以A ⊆ B， 综上可得A = B. 【解析】本题考查集合的新定义问题，集合中子集的个数，作差法比较大小，属于较难题. (1)根据新定义算出x的值即可求出B； (2)B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出a的值； (3)求出B的范围即可证明出结论. 19.【答案】解： (1) ∵抛物线y = −x2 + bx的顶点横坐标为 ，y = −x2 + 2x的顶点横坐标为1， ∴ b = 4; (2) ∵点A(x1, y1)在抛物线y = −x2 + 2x上， ∴ y1 = −x21 + 2x1， ∵ B(x1 + t, y1 + ℎ)在抛物线y = −x2 + 4x上， ∴ y1 + ℎ = −(x1 + t)2 + 4(x1 + t)， −x21 + 2x1 + ℎ = −(x1 + t)2 +4(x1 + t)， ∴ ℎ = −t2 − 2x1t + 2x1 +4t， (i) ∵ ℎ = 3t， ∴ 3t = −t2 − 2x1t + 2x1 + 4t， 第 12页，共 12页 : t(t + 2x1) = t + 2x1， ” x1 ≥ 0，t > 0， : t + 2x1 > 0， : t = 1， : h = 3; (ii)将x1 = t — 1代入h = —t2 — 2x1t + 2x1 + 4t， : h = —3t2+ 8t — 2， ” —3 < 0， :当t = ，即x1 = 取最大值 . 【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，掌握二次函数性质是解题的关键. (1)求出抛物线y = —x2 + bx的顶点横坐标为 ，y = —x2 + 2x的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求 出b的值; (2)先求出h = —t2— 2x1t + 2x1 +4t，(i)列方程即可求出h的值; (ii)求出h关于t的方程，配顶点式求出h最大值.