15.3.2等边三角形的性质和判定分层训练暑假预习2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 练习聚焦等边三角形性质与判定，分基础巩固、综合应用、中考衔接三层，梯度清晰，覆盖从单一知识点到综合应用的进阶路径，适配课时教学与中考备考，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|性质（边长、角度计算）、判定（概念辨析）|选择填空题为主，如性质第1题求高，判定第1题条件辨析，夯实基础| |综合应用|性质与判定综合运用、多三角形结合|含证明与探究题，如性质第8题证AD=CE及求角度，培养推理能力| |中考衔接|中考真题情境下的性质判定应用|对接中考题型，如2026四川南充题结合平行线求角度，提升应用意识|

15.3.2 等边三角形（第1课时） 等边三角形的性质和判定分层训练 题型一、等边三角形的性质 1.如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2.已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3.如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD＝∠ACE，∠BFD＝60°，CE＝5，则AF的长为　 　 ． 5.如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为 　 　 ． 6.如图，等边三角形ABC中，BC＝6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，且与AB，AC相交于点M，N，MN∥BC，则MN＝ 　 　 ． 7.如图，在锐角三角形ABC外作等边三角形ACD和等边三角形ABE，求∠α的度数 ． 8.如图，点D、E分别是等边△ABC的边CB、BA的延长线上一点，且BD＝AE，连接CE，连接DA并延长交CE于点F． （1） 求证：AD＝CE； （2）求∠CFA的度数． 题型二、等边三角形的判定 1.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C 2.下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 3.如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都可以 4.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件． 5.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则 米． 6.如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 8.如图，在△ABC中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：△ABC是等边三角形． 1.在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，点E是AB边上一点，若△BDE为等腰三角形，则∠EDA＝　 　 . 2.如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝14，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB，交边AD于点E，连接BD，交CE于点F，若CE＝12，则CF的长为（　　） A．6 B．7 C．9 D．10 4.如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 6.问题发现：如图①，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结．填空： （1）∠的度数为___________； （2）线段，之间的数量关系是___________． 拓展探究： （3）如图②，当和均为等腰直角三角形，时，点，，在同一直线上，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 7.已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 1.（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 2.（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·福建·中考真题）如图，是等边三角形，，，．求证：． 5.（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 15.3.2 等边三角形（第1课时） 等边三角形的性质和判定分层训练答案 题型一、等边三角形的性质 1.A  2. B   3.C 4. 5 5. 3 6. 4 7.解：根据等边三角形的性质可知BE＝AE＝AB，AD＝AC，∠ABE＝∠EAB＝∠DAC＝60°， ∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠CAB， ∴∠BAD＝∠EAC， ∴△ACE≌△ADB（SAS）， ∴∠AEC＝∠ABD， ∴∠α＝∠BOC ＝∠BEC+∠EBO ＝∠BEO+∠EBA+∠AEC ＝∠AEB+∠ABE ＝60°+60° ＝120°. 8.（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴∠CAE＝∠ABD＝180°﹣60°＝120°， 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（SAS）； ∴AD＝CE； （2）解：∵△ABD≌△CAE， ∴∠E＝∠D， ∵∠EAF＝∠DAB，∠E+∠EAF+∠AFE＝∠D+∠DAB+∠ABD＝180°， ∴∠CFA＝180°﹣∠AFE＝60°． 题型二、等边三角形的判定 1.D 2.C 3.D  4. （答案不唯一） 5. 48 6.，（答案不唯一） 7.证明：∵AD∥CB， ∴∠ADE＝∠E＝60°， ∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°． ∴△ECD为等边三角形． 8.证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC是等边三角形． 1. 15°或60° 2. ①③④ 3.D 4.D 5.（1）证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 6.（1）（2） （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 7. （1）证明：∵与都是等边三角形，∴，∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图3，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 1.B   2.B   3.D  4.证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 5.（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）证明：由平移可知：， ， 又∵ECA=BCEACB=， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $