15.3.1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定 分层训练 2026年暑假预习人教版八年级数学上册

**基本信息** 围绕等腰三角形判定定理，通过基础计算、推理证明到综合应用的三阶分层设计，强化从单一知识点到综合能力的巩固路径，适配课时教学目标，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|等角对等边直接应用（求边长/周长）|结合桥梁等现实情境（题1），设置选择与填空题| |推理证明|判定定理逻辑推理|基础证明题（题3），融合角平分线与平行线（题6）| |综合拓展|综合几何知识与中考真题|含翻折、动点问题（题9）及中考真题（2025吉林卷）|

15.3.1 等腰三角形(第2课时） 等腰三角形的判定分层训练 类型一、根据等角对等边求边长或周长 1.为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2.如图，点为△ABC右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 3.如图，在△ABC中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，．以为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于和，再分别以和为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于．射线交于，垂足为，垂足为．若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5.如图，△ABC中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的长度为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 6.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为_________． 7.如图，是△ABC的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 8.如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ． 题型二、根据等角对等边证明一个三角形是等腰三角形 1.下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(    ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 2.如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 3.如图，已知，与交于点，，求证：. 4.如图，，交于点．求证：是等腰三角形． 5.如图，相交于点O，连接，且，．求证：． 6.“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． （1）如图1，已知BC平分∠ABD，AC∥BD．求证：△ABC是等腰三角形； （2）如图2，已知在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAD． 求证：AE∥BC． 7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB 于点E.求证：E为AB 的中点. 8.如图，中，D为中点，．求证：为等腰三角形． 9.如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝45°． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）过点D作DM⊥BC于点M，若BC＝12，BF＝2，求DM的长． 1．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（     ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 2.如图，分别作△ABC两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则△ABC的周长为 ． 3.如图，在△ABC中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 4.已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 5.已知中，，平分交于，平分交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，在不添加字母的条件下，请直接写出图中所有的等腰三角形（除外） 1.（2025·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 3.（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 4.（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 15.3.1 等腰三角形(第2课时） 等腰三角形的判定分层训练答案 类型一、根据等角对等边求边长或周长 1.C 2.B   3.C   4.C  5.A  6.10 7.3 8.2 题型二、根据等角对等边证明一个三角形是等腰三角形 1.D  2.6 3.证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 4.证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 5.证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 6.证明：（1）∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD，∵AC∥BD， ∴∠C＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠C， ∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形； （2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AE平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠EAC， ∵∠CAD是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，∴2∠EAC＝2∠C，∴∠EAC＝∠C，∴AE∥BC． 7.证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DE∥AC, ∴∠EDA=∠CAD, ∴∠EDA=∠BAD, ∴EA=ED. ∵BD⊥AD, ∴∠ADB=90°, ∴∠ADE+∠BDE=90°,∠DAB+∠ABD=90°. ∴∠ABD=∠BDE, ∴EB=ED. ∴EB=EA,即E为AB 的中点. 8.证明：如图：过D点作于点于点F， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 为等腰三角形． 9.解:（1）证明：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE， 又∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DCB＝∠B（等量代换）， ∴△BCD为等腰三角形； （2）解：∵△BCD为等腰三角形，DM⊥BC，BC＝12，BF＝2， ∴， ∴FM＝BM﹣BF＝6﹣2＝4， 在Rt△DFM中，∠DFM＝45°，∴△DMF是等腰直角三角形∴DM＝FM＝4，则DM的长为4． 1. A  2. 21 3. 4.（1）70 解：（2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当或时，是等腰三角形． 5.（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，，． 1.  D   2.C    3. 4.证明：∵， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $