第17讲 零点及二分法讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数零点及二分法核心知识点，构建“概念—定理—方法”学习支架，先明确零点定义及方程、函数、图像的关系，再通过零点存在性定理建立区间判断依据，最后以二分法步骤实现零点近似求解，衔接函数性质与方程求解。 资料以7类经典题型为载体，从基础判断到参数综合问题，培养数学思维的推理能力与数学语言的精确表达，如通过二分法例题让学生掌握逼近思想，课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

第17讲 零点及二分法 目录 一、函数的零点 1 二、函数零点的存在性定理 1 三、二分法 1 题型1函数的零点 3 题型2判断零点区间及已知零点区间求参数 4 题型3判断零点的个数 5 题型4已知零点个数求参数 7 题型5已知零点分布求参数 8 题型6零点之和 10 题型7二分法 12 01 学习新知 一、函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 二、函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 三、二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 02 经典题型 题型1函数的零点 1. 下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) 答案　D 解析　结合函数零点的定义可知选项D没有零点. 2. 数f(x)=(x2-4的零点为　　　　　　.  答案　2或 解析　由题意，得方程(x2-4=0， 则x2-4=0或2x-1=0，解得x=±2或x= 又由2x-1≥0，解得x≥ 所以函数f(x)=(x2-4的零点为2或. 3. 函数f(x)=的零点为　　　　　　.  答案　-3，e2 解析　当x≤0时，令x2+2x-3=0， 解得x=-3(x=1舍去)； 当x>0时，令-2+ln x=0，解得x=e2. 所以函数f(x)=的零点为-3和e2. 4. 已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 题型2判断零点区间及已知零点区间求参数 5. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表. x 1 1.5 1.75 1.875 2 y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则f(x)在[1，2]上的零点(　　) A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个 答案　B 解析　因为函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且f(1.75)f(1.875)<0， 所以根据函数零点存在定理，函数f(x)在区间(1.75，1.875)上至少存在一个零点； 同理，由f(1.875)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1.875，2)上至少存在一个零点， 因此函数f(x)在区间[1，2]上至少存在2个零点. 6. 二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　) A.(-3，-1)和(2，4) B.(-3，-1)和(-1，1) C.(-1，1)和(1，2) D.(-∞，-3)和(4，+∞) 答案　A 解析　易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线，又f(-3)f(-1)=6×(-4)=-24<0. 所以f(x)在(-3，-1)内有零点， 故方程ax2+bx+c=0在(-3，-1)内有根. 同理方程ax2+bx+c=0在(2，4)内有根. 7. 函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，+∞) 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且函数f(x)是定义域上的增函数， f(1)=-1<0，f(10)=1->0，∴在(1，10)内，函数f(x)存在零点. 8. 已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 题型3判断零点的个数 9. 判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)=x2-x+； (2)f(x)=ln x+x2-3； (3)f(x)=x2-. 解　(1)由f(x)=0，即x2-x+=0，得Δ=-4×=-<0， 所以方程x2-x+=0没有实数根，即f(x)零点的个数为0. (2)方法一　函数对应的方程为ln x+x2-3=0， 所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数. 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点. 从而方程ln x+x2-3=0只有一个解，即函数f(x)=ln x+x2-3只有一个零点. 方法二　由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0，f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0，所以f(1)f(2)<0， 又f(x)=ln x+x2-3的图象在[1，2]上是连续的，所以f(x)在(1，2)上必有零点， 又f(x)在(0，+∞)上是单调递增的，所以f(x)只有一个零点. (3)方法一　令f(x)=x2-=0，得x2=即x3=2，解得x=故函数只有1个零点. 方法二　令f(x)=x2-=0，得x2=设g(x)=x2(x≠0)， h(x)=x≠0)，在同一平面直角坐标系中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图象，如图， 由图象可知两个函数图象只有1个交点，故函数只有一个零点. 10. 已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 11. 函数的零点个数为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 题型4已知零点个数求参数 12. 已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】令，可得，可得， 由的恰好有2个零点，则方程有两个根， 则函数与有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 由图象可得函数与有两个交点，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞) C.(-1，1] D.[1，+∞) 答案　B 解析　函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则y=f(x)与y=a的图象有2个交点， 当x>1时，f(x)=x+ln x单调递增，且f(x)>1； 当x≤1时，f(x)=x2+2x在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，1]上单调递增，且f(1)=3，最小值为f(-1)=-1， 可得函数y=f(x)的图象，如图所示， 由图象知实数a的取值范围是(-1，1]∪(3，+∞). 题型5已知零点分布求参数 14. 如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为开口向上的抛物线， 由题意可得：，即 解得：. 故选：C 15. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知在上单调递增， 因为在上存在零点， 所以在上存在唯一零点， 所以，即， 解得. 故选：A 16. 若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】时,不成立; 函数在内有零点, 当时有, 即，即 解得或， 故实数a的取值范围是. 17. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，解得，符合题意，则； 当时，二次函数的判别式为：， 若，即时，函数的零点为，符合题意，则； 当，即时，由，解得且， 则且； 当时，，方程另一根，当时， ，方程中一根，则或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 题型6零点之和 18. 设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 026的所有零点之和为　　　　　　.  答案　2 解析　由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示， 根据图象可知y=f(x)-2 026共有2个零点，且2个零点关于直线x=1对称，所以零点之和为2. 19. 已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 20. 已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则(　　) A.0<k≤ B.≤x3<e C.0<x1x2x3x4< D.函数g(x)=f(f(x))-有8个零点 答案　ABD 解析　作出函数f(x)=的图象，如图所示. 对于A，关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的解，即函数y=f(x)的图象与直线y=k有4个交点，由图象可得0<k≤，A正确； 对于B，由图可知0<1-ln x3≤，解得≤x3<e，B正确； 对于C，由图象知=-，所以x1+x2=-1，且x2∈， 所以x1x2=(-1-x2)x2=--x2=-+∈， 又由|ln x3-1|=|ln x4-1|⇒ln x3-1+ln x4-1=0⇒ln(x3x4)=2⇒x3x4=e2，所以0≤x1x2x3x4<，C错误； 对于D，对于函数g(x)=f(f(x))-，令f(x)=t，g(x)=0，则f(t)-=0， 可得t1=-1，t2=0，t3=，t4=，当f(x)=t1=-1时，由图可得，无解， 当f(x)=t2=0时，由图可得，有2个解，当f(x)=t3=>1时，由图可得，有3个解， 当f(x)=t4=>1时，由图可得，有3个解，综上，函数g(x)=f(f(x))-有8个零点，D正确. 题型7二分法 21. (多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　ABC 解析　根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值. 22. 下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 23. (多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　ABC 解析　根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值. 24. 用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且在定义域上递增， 所以区间、、对应函数都为正，只有区间中函数值有正有负. 故选：A 25. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 26. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【答案】 【详解】令函数，， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 由于，故函数的零点区间为， 因为，，又，且零点结果精确到0.1. 所以在区间内的零点近似为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 零点及二分法 目录 一、函数的零点 1 二、函数零点的存在性定理 1 三、二分法 2 题型1函数的零点 3 题型2判断零点区间及已知零点区间求参数 3 题型3判断零点的个数 4 题型4已知零点个数求参数 5 题型5已知零点分布求参数 6 题型6零点之和 6 题型7二分法 7 01 学习新知 一、函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 二、函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 三、二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 02 经典题型 题型1函数的零点 1. 下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　) 2. 数f(x)=(x2-4的零点为　　　　　　.  3. 函数f(x)=的零点为　　　　　　.  4. 已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2判断零点区间及已知零点区间求参数 5. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，且对应关系如表. x 1 1.5 1.75 1.875 2 y -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则f(x)在[1，2]上的零点(　　) A.只有1个 B.至少有2个 C.至多有2个 D.只有2个 6. 二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(　　) A.(-3，-1)和(2，4) B.(-3，-1)和(-1，1) C.(-1，1)和(1，2) D.(-∞，-3)和(4，+∞) 7. 函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，+∞) 8. 已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 题型3判断零点的个数 9. 判断下列函数的零点的个数. (1)f(x)=x2-x+； (2)f(x)=ln x+x2-3； (3)f(x)=x2-. 10. 已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 11. 函数的零点个数为 . 题型4已知零点个数求参数 12. 已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 13. 已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0]∪(2，+∞) B.(-1，1]∪(3，+∞) C.(-1，1] D.[1，+∞) 题型5已知零点分布求参数 14. 如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16. 若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 17. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ． 题型6零点之和 18. 设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 026的所有零点之和为　　　　　　.  19. 已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 20. 已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则(　　) A.0<k≤ B.≤x3<e C.0<x1x2x3x4< D.函数g(x)=f(f(x))-有8个零点 题型7二分法 21. (多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 22. 下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 23. (多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 24. 用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 25. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 26. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 2 学科网（北京）股份有限公司 $