17.2 用公式法分解因式 第1课时 利用平方差公式分解因式 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“利用平方差公式分解因式”核心知识点，通过“判断是否为100的倍数”实际问题导入，引导学生从整式乘法平方差公式逆向思考，梳理整式乘法与因式分解的互逆关系，搭建学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过“计算→分解”对比练习培养推理能力，归纳公式结构特征建立模型观念，例题从单项式到多项式进阶渗透整体思想提升运算能力。助力学生理解公式应用，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

教案：17.2 用公式法分解因式 第1课时 利用平方差公式分解因式 课题 17.2 用公式法分解因式 第1课时 利用平方差公式分解因式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课是因式分解中公式法的第一课时，主要学习利用平方差公式进行因式分解。平方差公式是分解因式最基本的公式之一，是后续学习完全平方公式和综合运用公式法分解因式的重要基础。本节课通过从整式乘法到因式分解的逆向思维，引导学生理解平方差公式的结构特征，掌握"找平方项、确定a和b、套用公式"的分解步骤，培养学生的逆向思维能力和观察分析能力。 学情分析 学生已学习了因式分解的定义和提公因式法，具备了一定的因式分解基础知识。学生也已熟悉平方差公式在整式乘法中的运用，但将其逆用为因式分解的工具需要逆向思维转换。部分学生可能在识别"a"和"b"（特别是b为多项式时）以及处理负号方面存在困难。教学中需通过大量实例帮助学生建立"平方差"的结构意识，并能准确判断一个多项式能否用平方差公式分解。 一、核心素养目标 1. 运算能力 理解平方差公式在因式分解中的运用，掌握利用平方差公式分解因式的方法和步骤。能准确识别多项式中的平方项，确定公式中的a和b，正确运用公式进行因式分解，包括a、b为单项式和多项式的情况。 2. 推理能力 经历"从整式乘法的平方差公式逆向得到因式分解的平方差公式"的推导过程，体会整式乘法与因式分解的互逆关系。通过观察多项式的结构特征，归纳出能用平方差公式分解因式的多项式的共同特点，培养逆向思维和归纳推理能力。 3. 模型观念 建立"平方差公式分解因式"的数学模型。理解公式的结构特征——左边是两项的平方差，右边是两个二项式的积（一项相同，一项互为相反数）。能识别公式中a、b的各种形式，包括单项式、多项式，培养模式识别能力。 4. 应用意识 能运用平方差公式解决实际计算问题，如利用判断是100的倍数。能将平方差公式灵活运用于简便运算，如 体会因式分解在简化计算中的工具价值。 二、教学重难点 教学重点 1.掌握平方差公式分解因式理解公式的结构特征。 2.能正确识别多项式中的和确定a和b，套用公式进行因式分解。 3. 能处理a、b为单项式或多项式的各种情况，运用整体思想灵活分解。 教学难点 1.当a或b为多项式时，正确运用平方差公式分解因式，如。 2.对需要先变形再分解的式子，如需先提取负号或交换位置。 3. 先展开整理再识别平方差结构的题目，如。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】（展示课件）同学们，你能一眼看出是不是100的倍数吗？你能想到我们学过的什么内容？ 【学生活动】所以是100的倍数。这让我想到了平方差公式反过来就是可以用来分解因式！ 【教师活动】非常好！这位同学不仅算出了结果，还想到了我们之前学过的平方差公式。平方差公式不仅可以用来做整式乘法，反过来还可以用来分解因式。今天我们就来学习——利用平方差公式分解因式。 【知识点】平方差公式（整式乘法） 平方差公式（因式分解） 【设计意图】通过"是不是100的倍数"这一实际问题引入，激发学生的好奇心和求知欲。引导学生从整式乘法的平方差公式逆向思考，自然过渡到因式分解的平方差公式，体现整式乘法与因式分解的互逆关系。 【过渡语】平方差公式在整式乘法中我们已经非常熟悉了，把它反过来，就得到了因式分解的平方差公式。下面我们通过一组练习，回顾平方差公式的整式乘法运算，再看看如何反过来进行因式分解。 环节二：复习回顾（4分钟） 【教师活动】（展示课件）请同学们先完成以下计算，再完成对应的因式分解。 【教师活动】计算： (1) = ________； (2) = _________； (3) = ___________。 【学生活动】 【教师活动】（展示课件）那么反过来，分解因式： 【学生活动】 【教师活动】观察这三组计算和因式分解，你发现了什么？整式乘法和因式分解之间有什么关系？ 【学生活动】整式乘法和因式分解是互逆的运算！平方差公式反过来就是可以用来分解因式。 【设计意图】通过"计算→分解"的对比练习，让学生直观感受整式乘法与因式分解的互逆关系。从熟悉的整式乘法出发，逆向得到因式分解的方法，降低认知难度，为学习平方差公式分解因式做好铺垫。 【过渡语】通过刚才的练习，我们发现可以分解为。那么，是否所有形如的多项式都能这样分解呢？多项式有什么特点？ 环节三：探究新知（15分钟） 一、平方差公式的结构特征 【教师活动】（展示课件）多项式有什么特点？你能将它分解因式吗？ 【学生活动】是两个数的平方差的形式，即。根据整式乘法的平方差公式反过来就有。 【教师活动】（展示课件）整式乘法因式分解。这就是我们用来分解因式的平方差公式！ 【知识点】平方差公式（因式分解） 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 公式的结构特征： 左边：两项，都是平方项，中间是减号（平方差）。 右边：两个二项式的积，一项相同（a），一项互为相反数（b和。 【设计意图】从整式乘法到因式分解的逆向推导，帮助学生建立两种运算的互逆关系。归纳公式的结构特征，为后续判断一个多项式能否用平方差公式分解提供依据。 识别练习：判断能否用平方差公式分解 【教师活动】（展示课件）在下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的有哪些？ 【学生活动】①是平方和，不是平方差，不能分解。②中2a不是平方项，不能分解。③是平方差，可以分解。④提出负号后是平方和，不能分解。⑤是平方差，可以分解。所以③和⑤能分解。 【答案】③⑤ 【教师活动】关键判断标准：能否写成（ ）2-（ ）2的形式，即两项都是平方项且中间是减号。 【方法归纳】判断平方差公式的适用条件1. 多项式必须是二项式（或可化为二项式）。2. 两项都是平方项（能写成某个式子的平方）。3. 两项之间是减号（平方差）。口诀：两数是平方，减号放中央。 例1（教材例题） 【教师活动】（展示课件——例1）分解因式： 【教师活动】分析：第(1)题中所以。第(2)题中所以。 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解题策略】平方差公式分解因式步骤第一步：将多项式写成（ ）2-（ ）2的形式。第二步：确定a和b分别是什么。第三步：套用公式。关键：找准a和b，系数也要写成平方形式。 针对训练 【教师活动】（展示课件）将下列各式因式分解： 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【设计意图】通过例1和针对训练，帮助学生掌握平方差公式分解因式的基本步骤：找平方项、确定a和b、套用公式。注意第(1)题中。 例2（教材例题） 【教师活动】（展示课件——例2）分解因式： 【教师活动】分析第(1)题所以。分析第(2)题注意这里a和b都是多项式，要用整体思想。 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【教师活动】第(2)题体现了整体思想——把看作整体a，把看作整体b，直接套用平方差公式。最后还要合并同类项化简。 【知识要点】整体思想当a或b为多项式时，将多项式看作一个整体，直接套用公式：例如中则原式。最后一定要合并同类项，化简结果。 【设计意图】例2将平方差公式的运用从单项式扩展到多项式，培养学生的整体思想。特别是第(2)题需要将和分别看作整体a和b，这是本节课的难点，也是后续学习的基础。 注意事项 【教师活动】（展示课件）利用平方差公式分解因式，应注意： 【知识点】利用平方差公式分解因式的注意事项 1. 公式左边是两项的平方差，右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即a），另一项互为相反数（即b和。 2. 公式左边是这两项的平方差。 3. 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式。 【过渡语】我们已经掌握了平方差公式分解因式的基本方法，包括a、b为单项式和多项式的情况。下面我们通过一些更有挑战性的题目来巩固提高。 环节四：巩固提高（15分钟） 进阶练习 【教师活动】（展示课件）将下列各式因式分解： (2) 。 【教师活动】第(1)题需要先变形为平方差的形式，第(2)题需要先展开整理。请同学们先独立思考，然后小组讨论。 【学生活动】 【解答】解 【解答】 【解答】 = 【解答】 = 【解答】(2) 【解答】 【解答】 【解答】 = 。 【易错防范】进阶题解题策略第(1)题中，注意−4=−(22)，先写成。第(2)题先展开合并同类项，化成标准形式后再判断能否用平方差公式。关键：不是所有题目都能直接套用公式，有时需要先变形、先展开，再识别平方差结构。 练习1（教材P129练习 第1题） 【教师活动】（展示课件）下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ 【学生活动】是平方和，不能分解。是平方差，能分解。是平方差，能分解。是平方和的相反数，不能分解。 【答案】(1) × (2) √ (3) √ (4) × 【教师活动】判断标准：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式，即能写成的形式。两数是平方，减号放中央。 练习2（教材P129练习 第2题） 【教师活动】（展示课件）分解因式： 【学生活动】。注意不是。。。。。 【解答】解 【解答】 【解答】 【解答】 【解答】 【方法归纳】平方差公式分解因式要点注意36=，不是。中。中注意指数可拆分。4. 当b为多项式时，去括号要合并同类项。5. 整体思想和看作整体a和b。 练习3（简便运算） 【教师活动】（展示课件）计算： 【学生活动】(1) 。(2) 原式。 【解答】解：(1) 原式 = = = 998000； 【解答】(2) 原式 = 【解答】 = (50+49)(50-49)+(48+47)(48-47)+···+(2+1)(2-1) 【解答】 = 99+95+···+3 【解答】 = 1275。 【规律总结】平方差公式在简便运算中的应用利用平方差公式可以将平方差转化为乘积形式，从而简化计算。例如。对于连续平方差求和，可以分组后用平方差公式简化。 【设计意图】练习3展现了平方差公式在简便运算中的强大功能。通过将平方差转化为乘积，可以大大简化计算过程，让学生体会因式分解的工具价值。分组求和的方法体现了数学中的化归思想。 环节五：课堂小结（5分钟） 【过渡语】通过本节课的学习，同学们已经掌握了利用平方差公式分解因式的方法。下面我们一起来回顾本节课的核心内容。 【教师活动】请一位同学总结一下本节课学习的主要内容。 【学生活动】本节课我们学习了利用平方差公式分解因式。使用时要注意：左边是两项的平方差，右边是两个二项式的积（一项相同，一项互为相反数）。公式中的a、b既可以是单项式，也可以是多项式，要用整体思想。 【教师活动】总结得很好！老师再强调几点：第一，平方差公式分解因式的前提是多项式能写成的形式，即两项都是平方，中间是减号。第二，要找对a和b，注意系数也要写成平方形式。第三，当a、b为多项式时，要用整体思想，最后去括号合并同类项。第四，有些题目需要先变形（如先展开、先提取负号等），才能识别出平方差结构。 【知识点】课堂小结：利用平方差公式分解因式 一、平方差公式（因式分解） 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 二、公式的结构特征 左边：两项都是平方项，中间是减号。 右边：两个二项式的积，一项相同，一项互为相反数。 三、注意事项 1. 公式中的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。 2. 有时需要先变形再套用公式。 3. 最后要合并同类项，化简结果。 环节六：布置作业（1分钟） 【教师活动】（展示课件）课后请完成以下作业： 1. 从教材习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 四、板书设计 【知识点】17.2 用公式法分解因式 第1课时 利用平方差公式分解因式 一、平方差公式（因式分解） 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 二、结构特征 左边：两项都是平方，中间是减号。 右边：一项相同一项互为相反数和。 三、例 例 四、注意事项 1. 公式中a、b可为单项式或多项式。 2. 有时需先变形再套用公式。 3. 最后必须合并同类项化简。 五、教学反思 本节课从"是不是100的倍数"这一实际问题引入，激发学生的学习兴趣，自然地将整式乘法的平方差公式逆向过渡到因式分解的平方差公式。通过"计算→分解"的对比练习，让学生直观感受整式乘法与因式分解的互逆关系，为学习平方差公式分解因式搭建了认知桥梁。 教学中注重引导学生观察多项式的结构特征，归纳出能用平方差公式分解因式的条件——两项都是平方，中间是减号。通过识别练习（判断①~⑤哪些能用平方差公式分解），帮助学生建立"平方差"的结构意识，为后续正确套用公式打下基础。 在例题设计上，从简单的单项式（如到含多项式的整体思想（如再到需要先变形再分解的进阶题（如和层层递进，逐步深入。在简便运算练习中（如和连续平方差求和），让学生体会因式分解在实际计算中的工具价值。 学生在学习过程中容易出现以下错误：找错a和b（如中误将36当作）、去括号后忘记合并同类项、对需要先变形的题不知如何下手等。教学中通过易错防范和彩色提示，帮助学生识别和纠正这些典型错误。 学科网（北京）股份有限公司 $