29.3 第1课时 弧长和扇形面积（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“弧长和扇形面积”核心知识点，通过复习圆的周长与面积公式，结合扇子面面积、管道展直长度等现实问题导入，引导学生从整体圆到部分弧、扇形，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以公式推导的逻辑推理培养数学思维，通过弯形管道展直计算、定滑轮转动等实例强化数学语言应用，融入中考题与跨学科题目。学生能提升抽象能力与问题解决能力，教师可借助系统资源高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十九章 圆 29.3 第1课时 弧长和扇形面积 2026年8月3日 29.3 第1课时 弧长和扇形面积 同步练习题（全文1122字） 一、课时知识梳理（218字） 本节课重点掌握弧长公式、扇形面积公式的推导与应用，是圆的计算类核心考点。在半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长公式：$$l=\frac{n\pi R}{180}$$；扇形面积有两个常用公式：$$S=\frac{n\pi R^2}{360}$$、$$S=\frac{1}{2}lR$$。公式本质是利用圆心角占周角的比例，截取圆的周长与面积得到对应弧长和扇形面积。解题核心：明确已知量（半径、圆心角、弧长），灵活选用公式，实现三者互求。常见易错点：公式分母混淆（弧长180、扇形面积360）；圆心角单位误用弧度；计算时漏带平方、化简出错；不会灵活选用两个扇形面积公式。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 半径为R，圆心角为n°的弧长公式是（） A.$$l=\frac{n\pi R}{180}$$ B.$$l=\frac{n\pi R}{360}$$ C.$$l=\frac{1}{2}\pi R$$ D.$$l=\pi R^2$$ 2. 扇形面积公式中，利用弧长快速计算的公式是（） A.$$S=\pi R^2$$ B.$$S=\frac{n\pi R^2}{360}$$ C.$$S=\frac{1}{2}lR$$ D.$$S=\frac{n\pi R}{180}$$ 3. 已知圆半径为6，圆心角60°，则该圆心角对应弧长为（） A.2π B.4π C.6π D.12π 4. 扇形半径不变，圆心角扩大2倍，则扇形面积（） A.缩小2倍 B.扩大2倍 C.不变 D.扩大4倍 5. 计算扇形面积不需要的条件是（） A.半径 B.圆心角 C.弧长 D.圆的周长 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 半径为R、圆心角n°的弧长公式：________。 2. 已知扇形半径和弧长，可利用公式________快速求扇形面积。 3. 圆的半径为3，圆心角120°的扇形面积为________。 4. 弧长和扇形面积的大小由________和________两个量决定。 5. 圆心角360°的扇形面积等于________，弧长等于________。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）基础公式应用：已知⊙O半径R=9，圆心角n=60°。 （1）代入公式求该圆心角对应的弧长； （2）利用圆心角、半径求对应扇形面积； （3）说明弧长与扇形面积公式的推导原理。 2.（12分）公式灵活换算：已知一扇形半径为8，弧长l=4\pi。 （1）利用弧长、半径求扇形面积； （2）反求该扇形的圆心角度数； （3）简述两种扇形面积公式的适用场景。 3.（12分）综合实际应用：一扇形花坛，半径10m，圆心角72°。 （1）求花坛边缘弧长； （2）求花坛的占地面积； （3）总结弧长、扇形面积计算题的通用解题步骤。 总字数统计：1122字 参考答案精简版 选择：1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 填空：1.$$l=\frac{n\pi R}{180}$$；2.$$S=\frac{1}{2}lR$$；3.$$3\pi$$；4.半径、圆心角；5.圆的面积、圆的周长 解答： 1.(1)$$3\pi$$；(2)$$27\pi$$；(3)依据圆心角占周角的比例，截取圆周长和圆面积推导得出 2.(1)$$16\pi$$；(2)90°；(3)知圆心角、半径用角度公式，知弧长、半径用乘积公式 3.(1)$$4\pi$$ m；(2)$$20\pi$$ m²；(3)确定已知量、选取对应公式、代入计算、化简结果 （精准核对字符：全文1122字，贴合人教版29.3第1课时重难点，覆盖弧长、扇形面积两大核心公式、公式换算与实际应用，规避易错计算问题，题型梯度合理，适配课堂训练与课后巩固作业） 问题1 圆的周长、面积公式是什么(圆的半径为R)？ 圆的周长公式：C=2πR. 圆的面积公式：S=πR2. 问题2 观察下图，你有办法计算扇子面的纸张面积以及外围弧长吗？ 思考：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？ · 圆的周长公式：C=2πR. 圆的周长是360°的圆心角所对的弧长. 思考：由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ 1°的圆心角所对的弧长： = . n°的圆心角所对的弧长为： l= . · n°的圆心角所对的弧长为： l ＝ （R，n，l 知二求一）. 1. 返回 [无锡中考]已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为(　　) A．2π B．3π C．4π D．6π B 举一反三 6 返回 2. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π cm，则这个扇形的半径为(　　) A 举一反三 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料. 计算如图所示管道的展直长度 L（结果取整数）. 例1 解：由弧长公式，得的长 l = =500π ≈ 1 570（mm）. 因此所要求的展直长度为 L≈2×700+1 570=2 970（mm）. 答：管道的展直长度约为2 970 mm． 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力时（如图），爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点 A 的位置在不断改变.已知滑轮的半径为 12 cm，当重物上升 4π cm 时，滑轮上点 A 转过的度数为______. 解析：设滑轮上点 A 转过的度数为 n°， 由题意可知，点 A 转过的弧长为 4π cm， ∴ . 解得 n=60， ∴ 滑轮上点 A 转过的度数为 60°. 跟踪训练 60° 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图，与半径OA，OB围成的图形记作扇形OAB. A O B C 思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分. 想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？ 圆的面积公式：S=πR2. 圆面积是圆心角为360°的扇形的面积. A O B C 思考：圆心角为1°的扇形面积是多少？ 圆心角为n°的扇形呢？ 圆心角为1°的扇形面积是 圆心角为n°的扇形面积是 A O B C 圆心角为n°的扇形面积是： . = = lR. （其中l为扇形的弧长， R为半径.） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 例2 解：如图，连接 OA，OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C. 连接 AC. ∵OD=OC-DC， OC=0.6， DC=0.3， ∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又 ADOC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC=AO=OC. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 例2 从而 ∠AOD，∠AOB. 则有水部分的面积： S 0.12π0.3 ≈ 0.22  (m2 ). 请你自己求出 AB 的长. ∵ ∠AOD，OD=0.3， ∴在Rt△AOD中，∠OAD， AO=2OD=0.6. ∴AD===. ∴AB=2AD=. 返回 3. [绵阳中考]将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为 ，则扇形的圆心角大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° D 举一反三 返回 4. 【新趋势 跨学科综合】某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24 cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(　　) A．3.5π cm B．7π cm C．12π cm D．24π cm B 举一反三 跟踪训练 (1) 已知扇形的半径为 6 cm，面积为 6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为______. 解析：(1) 设该扇形的圆心角是 n°， 根据扇形的面积公式得 解得 . 60° 跟踪训练 (2) 一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3π cm，则此扇形的面积是 ______ cm2. 解析：(2) 设扇形的半径为 R cm. ∵ 扇形的圆心角为  135°,弧长为 3π cm， ∴ 解得 R=4. 方法一 方法二 6π [连云港中考]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°.若⊙O的半径为2，则劣弧 的长为________． 返回 5. π 举一反三 半径为1，圆心角为60°的扇形面积为(　　) 返回 6. B 举一反三 返回 7. 一个扇形的半径为24 cm，面积是240π cm2，则这个扇形的圆心角为(　　) A．300° B．240° C．180° D．150° D 举一反三 返回 8. 已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为(　　) A．24 B．22 C．12 D．6 A 举一反三 返回 9. 如图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，劣弧 的长为4π cm，阴影部分需要粘贴胶皮，则这一面胶皮的面积为(　　) A．(32＋48π)cm2 B．(16π－32)cm2 C．64π cm2 D．(48π－32)cm2 A 举一反三 24 返回 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D.若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积． 解：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝ AB＝1.∴CD＝CA＝AD， ∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°， 举一反三 25 返回 11. [镇江中考]如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1，l2于点A，B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2，l1于直线m同侧的点C，D，∠ADB＝35°，AB＝9，则 的长等于(　　) C 举一反三 26 返回 12. [成都中考]如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 举一反三 27 13. [青岛中考]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，OA＝2 ，点C在OB上，且OC＝AC.延长CB到D，使CD＝CA.以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为__________(结果保留π)． 返回 举一反三 14. [河北中考]改编扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S.该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn.若m＝ ，则m与n的关系是________． 返回 举一反三 15. 阅读下列材料，完成后面任务． 返回 求曲边三角形的面积 曲边三角形，又称鲁洛克斯三角形，就是以一个等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径，作各内角对应的圆弧，擦去原来的等边三角形，剩下的图形就是曲边三角形．它的本质其实就是等宽曲线. 举一反三 如图，曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径作 ，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形. 如何求曲边三角形ABC的面积？ 下面是小康给出的解答过程： 设等边三角形ABC的边长为a，则S扇形ABC＝__①__，S等边三角形ABC＝ a2， ∴S曲边三角形ABC＝____②____. 返回 举一反三 任务： (1)补全材料中的横线： ①________；②______________． (2)若曲边三角形的周长为2π，求曲边三角形的面积． 返回 解：设等边三角形的边长为x. 举一反三 弧 面积公式 S扇形= S扇形=lR 弧长公式：l= 扇形 弧长和 扇形面积 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．6 cm B．12 cm C．2 cm D． cm A． B． C． D．π ∴S阴影＝S扇形CAD＝＝. A．5π B．4π C．π D．π 3 －π m＝ ，， － 由题意，得3×＝2π，∴x＝2， ∴S曲边三角形＝－＝2π－2 . $