29.3 弧长和扇形面积 第1课时（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦弧长和扇形面积的计算公式及应用，以扇子纳凉工具的面积与弧长问题导入，通过回顾圆周长公式，逐步探究360°、1°及n°圆心角所对弧长，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过类比弧长推导扇形面积公式发展推理意识，结合管道展直、滑轮旋转等问题强化模型意识。采用问题驱动与系统小结，助力学生提升应用能力，为教师提供完整教学资源。

29.3 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 人教版 九年级 数学（上） 第29章　圆 新课导入 中国是世界上最早使用扇子的国家．自扇子传世以来，相关的趣闻轶事多不胜数；随着时代的发展，扇子不仅仅是一种纳凉工具，更是一种备受人们喜爱的工艺品． 如图，扇子面的纸张面积 如何计算，外围弧长又如 何计算？ 2 (1)你还记得圆周长的计算公式吗？ 圆的周长 探究新知 C = 2πR ° 圆心角所对的弧长 360 (2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？ (3)1°的圆心角所对的弧长是多少？ n°的圆心角所对的弧长是多少？ = ° n° A B O 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 . 弧长公式： l 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料.计算所示管道的展直长度L(结果取整数). 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 管道的展直长度 L = AC + BD + 弧 AB 的长 典例精析 也可以用表示 L≈2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 因此所要求的展直长度为 l = =500 （mm）. 解：由弧长公式，可得的长 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 1. 如图在 △ABC 中，CA = CB = 4，∠BAC = α 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α 得到 △AB′C′ 连接 B′C 并延长交 AB 于点 D，当 B′D⊥AB 时，`的长是 ( ) B 练一练 A B C D 2.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？ · O A 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90°. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. · O A =15.7 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 扇形面积计算公式及相关的计算 下列图形是扇形吗？ √ × × × √ 判一判 问题一 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？ 360° 所对的扇形的面积： 1° 所对的扇形的面积： πR2 360 πR2 问题二 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？ 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: . ° S扇形= 探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系. R l S扇形= S扇形=lR 即S扇形lR 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: n° l O S扇形= S扇形=lR 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 典例精析 弓形的面积=S扇OAB-S△OAB 提示: O B A C 解：如图，连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交于点C，连接AC. ∵OC=0.6m,DC=0.3m, ∴OD=OC-DC=0.3m. 又AD⊥DC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB= O B A C D ∴OD=DC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 弓形的面积公式: S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 知识归纳 1.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____，n°的圆心角所对的弧长是____． 2.在半径为R的圆中，圆心角为1°的扇形面积是____，圆心角为n°的扇形面积是____． 3.半径为R，弧长为l的扇形面积S＝____． lR 例 1 例题与练习 如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝60 cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即AB的长)为多少？ (结果保留π) 解：设的长为l cm.∵R＝60 cm，n°＝108°， ∴l＝＝＝36π(cm). 答：管道的长度为36 π cm. 例 2 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长度为5π，的长度为7π，AC＝4，求阴影部分的面积(ABDC的面积)． 解：设圆心角为n°，则的长l1＝，的长l2＝. ∴S阴影＝－＝(－)＝(R1＋R2)(R1－R2)＝(＋)(R1－R2)＝(l1＋l2)(R1－R2)＝(7π＋5π)×4＝24π. 答：阴影部分的面积为24π. 1. 弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由. 解：不一定是等弧. 理由 1.等弧定义:必须在同圆或等圆中，弧长相等、弯曲程度也相同的弧，才叫等弧。 2.只弧长相等: 大圆上一段弧、小圆上一段弧，可以长度一样，但半径不同、弯曲程度不一样，不能互相重合，不是等弧。 2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12m,弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)？ 解：根据弧长公式l = 可得12=，R≈8.5(m). 3.如图， △ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，以A，B ， C三点为圆心，为半径作圆，求图中阴影部分的面积. S阴影= S△ABC -S扇形FBD-S扇形ECD-S扇形FAE = S△ABC -3×S扇形 解：连接 AD . 由题意得：CD =，AC = a . ∴ AD == ∴S△ABC = BC×AD×= ， ∴S阴影 = S△ABC -3S扇形=×AD×BC-3× =- = 4.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为 (　　) A．π　　　　B．1　　　　 C．2　　　　D．π C 5．如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 (　　) A．6π　　 　B．5π　 　 　 C．4π　　 　D．3π A 计算公式 弧长 面积公式 面积公式 扇形 弓形 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 课堂小结 l S扇形= S扇形=lR 随堂检测 1. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( ) A．π B．2π C．3π D．4π B 2. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm. 6 3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______. 25 $