第29章　圆数学活动课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周等分与四点共圆条件，以中国铜镜花纹实例导入，引导学生用尺规四等分圆周并延伸至八等分、十六等分，从三角形外接圆过渡到四边形四点共圆探究，搭建圆的性质与应用的学习支架。 其亮点在于融合传统文化与几何实践，通过铜镜历史激发数学眼光中的几何直观与创新意识，借助动手操作和推理证明培养数学思维中的推理能力，结合铅球成绩分析、圆形玻璃镜半径确定等问题强化数学语言的应用意识。学生能提升探究兴趣与实践能力，教师可依托丰富活动优化教学效果。

数学活动 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 活动1 四等分圆周 有两千多年历史的中国铜镜以“装饰繁缛、制作精美”著称于世，圆形铜镜是它最重要的一种样式，圆形铜镜的背面通常有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题， 如图1中铜镜背面的花纹制作分别 需要八等分、十六等分圆周. 如何用尺规八等分、十六等分一个圆周呢?如图2，任意作O的直径AB，过点O作AB的垂线，与O相交于C，D两点，则点A，B，C，D将O四等分，你能说明其中的道理吗? 进一步，再逐步等分圆心角，就可以 得到所需的八等分、十六等分了.随着后 续的学习，你还会学到更多利用尺规等 分圆周的方法。 在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等，观察一下你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧! 活动2 探究四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗? 图3给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆?试一试! 分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系?证明你的发现， 如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上面的关系吗?结合图4说明其中的道理，(提示:利用圆周角所对弧的大小关系，考虑∠B十∠D与180°之间的关系.) 由上面的探究，归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件. 巩固提升 复习巩固 1.已知点A，B在⊙上，点C，D在⊙上，判断下列说法是否正确: (1)若AB=CD，则⊙与⊙是等圆; (2)若A= C，则⊙与⊙是等圆; (3)若AB=CD，则AB与CD是等弧; (4)若B= D，则AB与CD是等弧. 9 2.体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是6.2m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内? 李明的成绩是6.2m，满足66.27，所以落在6m到7m之间的区域。 王芳的成绩是5.1m，满足55.16，所以落在5m到6m之间的区域。 3.画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm，并且小于或等于3cm的点组成的图形. 4.求证:直径是圆中最长的弦. 证明:连接OC、OD。 在△OCD中，根据三角形两边之和大于第三边: OC+OD>CD AB是直径，OC、OD是半径， AB=OA+OB =OC +OD 代入不等式得AB>CD 直径大于任意一条非直径的弦，即直径是圆中最长的弦。 综合运用 5.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证:E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上。 证明:四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质:矩形的对角线相等且互相平分， AC=BD,且OA=OC=AC,OB=OD=BD. 因此OA=OB=OC=OD. 点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点， 根据中点的定义，有: OE=OA,OF=OB,OG=OC,OH=OD 结合OA=OB=OC=OD， 可得OE=OF=OG=OH 点 E、F、G、H 在以点 O 为圆心的同一个圆上。 6.张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径，工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C， 给出ABC，你能找到这块 圆形玻璃镜的半径吗? 作图说明. 7.如图，在⊙O中，AB，CD为直径.求证AD//BC. 证明:AB、CD是⊙O的直径， OA=OB，OD=OC(圆的半径相等)。 在△AOD和△BOC中: OA=OB AOD=BOC(对顶角相等) OD=OC △AOD△BOC(SAS全等判定) A=B (全等三角形的对应角相等) A和B是直线AD、BC被直线AB所截形成的内错角，且内错角相等 ADBC（内错角相等，两直线平行)。 8.用反证法说明:在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交. 证明:假设结论不成立，即假设:直线c与直线b平行。 根据:同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 这与已知条件直线c与直线a相交互相矛盾,因此假设不成立。故:在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交。 拓广探索 9.在⊙O中，点C，D在弦AB上，且AC=BD. (1)如图(1)，弦AB经过圆心O，求证OC=OD; (2)如图(2)，弦AB不经过圆心O，OC与OD是否仍相等?说明理由. 证明: AB是⊙O的直径， OA=OB(圆的半径相等)。 又AC= BD, OA-AC=OB-BD, 即OC=OD. (2) OC=OD，仍然相等。 理由: 过点O作OE上AB于点E， 根据垂径定理:垂直于弦的直径平分弦， AE=BE. 又 AC=BD, 即CE= DE. 根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得OC=OD。 E AE - AC= BE -BD, OE是线段CD的垂直平分线， OEAB, 作业布置 完成对应课时练习． $