30.1.2.1切线的性质与判定-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线的性质与判定”，通过雨伞水滴、砂轮火星等生活情景导入，回顾直线与圆相切的定义及d=r关系，搭建从旧知到切线性质定理、判定定理的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实提炼切线方向，用“有点连半径证垂直、无点作垂直证半径”模型培养推理思维，通过解题模板和口诀强化数学语言表达。例1等腰三角形切线证明及中考题练习，助学生掌握方法，教师可高效教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2.1 切线的性质与判定 知识点汇总 前言：本节是圆几何核心大题考点，中考必考证明、计算、综合压轴。切线分为两大体系：切线的性质（已知切线推结论）、切线的判定（证直线是切线）。配套两种必考辅助线模型、标准几何语言，是圆几何拿分关键。 一、切线的核心基础回顾 直线与圆相切：只有1个公共点，圆心到直线距离 $$\boldsymbol{d=r}$$。 切线：和圆只有一个公共点的直线；切点：切线与圆的唯一公共点。 二、切线的性质定理（已知切线，用性质） 1. 核心定理（必背） ∴ $$OA \perp l$$ 3. 性质三结论（知一推二） 满足以下任意两个，可推出第三个： ① 过圆心；② 过切点；③ 垂直于切线 通俗口诀：圆心、切点、垂直，三点二线知二得一。 4. 性质题固定辅助线 见切线，连切点，得垂直 题目出现切线 → 立刻连接「圆心和切点」→ 出现90°直角，构造直角三角形解题。 三、切线的判定定理（证明切线，必考大题） 1. 判定定理原话 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 2. 判定两个缺一不可条件 ① 直线经过半径的外端点（在圆上有公共点）； ② 直线垂直于这条半径。 3. 两种满分判定模型（考试100%套用） 模型一：有公共点，连半径、证垂直（最常用） 题干特征：已知直线与圆有交点、点在圆上。 步骤：连接圆心与公共点 → 证明半径 ⊥ 直线 → 得切线。 几何语言：∵ $$OA$$ 是半径，$$OA\perp l$$ ∴ $$l$$ 是 $$\odot O$$ 切线。 模型二：无公共点，作垂直、证半径 题干特征：未说明交点，不确定直线是否过圆上点。 步骤：过圆心作直线的垂线，垂足为$$A$$ → 证明垂线段长 $$d=r$$ → 得切线。 几何语言：∵ $$OA\perp l$$，$$OA=r$$ ∴ $$l$$ 是 $$\odot O$$ 切线。 四、切线三种判定方法（总结背诵） 1. 定义法：只有一个公共点（极少用，选择判断）； 2. 数量法：圆心到直线距离 $$d=r$$（无交点题型专用）； 3. 定理法：过半径外端且垂直半径（大题主流证明法）。 五、切线常用推论与结论 1. 经过圆心且垂直切线的直线，必过切点； 2. 经过切点且垂直切线的直线，必过圆心； 3. 切线与弦形成的角度，等于弦所对的圆周角（弦切角定理，拓展常用）。 六、解题万能模板（大题零扣分） 1. 切线性质运用模板 遇切线 → 连切点半径 → 得直角 → 用勾股、相似、角度计算求解。 2. 切线证明万能模板 有点：连半径，证垂直（角度互余、平行转垂直、全等证直角）； 无点：作垂直，证等径（算长度等于半径）。 七、高频易错扣分点 1. 证明切线只证垂直，忘记说明「过半径外端」，条件残缺扣分； 2. 乱用辅助线：有点作垂直、无点连半径，模型搞反直接错； 3. 切线性质记错：不是垂直任意半径，只垂直过切点的半径； 4. 混淆判定与性质：性质知切线得垂直，判定证垂直得切线。 本节满分口诀 切线性质最常用，见切连点得垂直； 证明切线两套路，有点连径证九十； 无点作垂证等径，两端缺一不成立； 性质判定分清用，圆题通透稳拿分。 30.1.2.1切线的性质与判定 新课导入 情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的? 情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 推进新课 回顾直线与圆相切： .O 直线与圆相切 切线 . 切点 判断直线和圆相切有哪两种办法？ 3 1. 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 1.切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 切线具有什么性质？ 定义法： 数量法（d=r ）： 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l ⊥OA ，则直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？ 条件一：直线l 经过半径OA的外端点A. 条件二：直线l 垂直于半径OA. 显然，圆心到直线的距离d =半径 r 相切 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 思考 l .O A ∵ OA⊥l ∴ l是⊙O的切线. 几何符号表达： OA是半径， 于A l .O A 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判断: 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） × × × O r l A O r l A O r l A 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直. 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ l .O . A 第一步：连接OA; 第二步：过A点作OA的垂线l. 知识点1 切线的性质 （第1题） 1. 如图，是的切线，点 为切 点，连接并延长交于点 ，连 接,，若 ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 中考考法 9 （第2题） 2. [2025福建] 如图，与 相切于 点，的延长线交 于点 ，且交于点 .若 ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 中考考法 10 判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法? 有以下三种方法 切线的判定方法 1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 归纳 下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出． 1. 当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？ 2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的? 生活中的数学 改变切线判定定理的题设与结论： 如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. ∵直线l切⊙O于点Ａ， ∴OA⊥l 几何符号表达： l .O . A 反证法 思考 13 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质 归纳 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 例1 . O A D B C E 证明：连接OD,作OE⊥AC 于E . ∴∠OEC=90°. ∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB. ∴∠ODB=90 ° =∠OEC. ∵AB=AC ,∴∠B=∠C. ∵O是BC的中点， ∴OB=OC . ∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切. 随堂演练 基础巩固 1.下列说法正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线 B 【点拨】如图，连接， ，则 . 与相切于点 ， ， . ， ， 为等边三角形， ， . 又，为等边三角形，. 中考考法 17 3.如图，是的半径，是的弦， 于点 ，是的切线，交的延长线于点 .若 ，，则线段 的长为___. 3 （第3题） 中考考法 18 【点拨】连接，如图.是 的切 线， 半径 ， ， . ， . ， 四边形 是平行四边形. . 中考考法 19 知识点2 切线的判定 （第4题） 4. 如图，点在 上，下列 条件不能说明是 的切线的是( ) D A. B. C. ， D. 中考考法 20 （第5题） 5. 如图，在 中， ，为的中点， 是线 段上一点，以点为圆心， 长为半 径的交于另一点，交 于点 ，要使是 的切线，需要添加的 （答案不唯一） 一个条件是_______________________（写一个条件即可）. 中考考法 21 6.[2025山东] 如图，在中，点在上，边 交 于点，于点是 的平分线. （1）求证：为 的切线； 中考考法 22 【证明】 ， . ， . 是 的平分线， . ， 即 . 又为半径，为 的切线. 中考考法 23 （2）若的半径为2， ，求 的长. 【解】的半径为2， . ， ， . ， . 中考考法 24 7. （多选题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如 图，这是其示意图．点在直线上往复运动，推动点 做圆周运动 形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线 与 的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到 时，点 到达．若， ，则下列结论正确的是 ( ) AB （第7题） A. B. 当与相切时， C. D. 当时， 中考考法 25 课堂小结 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $