26.1　二次函数的概念 分层练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级上册“二次函数的概念”同步练，通过A/B/C三层设计（8/6/5题），实现从概念识别到实际应用再到拓展挑战的知识进阶，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|二次函数定义、识别、系数确定、一般形式转化|以选择填空为主，聚焦单一知识点，夯实基础概念，培养抽象能力| |B层|实际问题（增长率、几何面积）列解析式|结合具体情境的填空解答题，强化模型意识，衔接生活应用| |C层|动点面积、几何综合、概念辨析|综合几何与开放问答，提升推理能力，挑战高阶思维|

26.1　二次函数的概念 分层练习 教材版本：人教版（2024）　九年级上册　第二十六章 二次函数 26.1课时课题：二次函数的概念（识别二次函数 / 一般形式系数 / 由实际问题列解析式） 【考查范围】本课考查范围：二次函数的概念—— ① 二次函数的定义：形如 是常数， 的函数； ② 识别二次函数，确定二次项系数 、一次项系数 、常数项 ； ③ 已知函数值求自变量的值；将函数解析式化为一般形式； ④ 根据实际问题（增长率、几何图形面积/侧面积等）列出二次函数解析式，并写出自变量取值范围。 一、A层·基础夯实（共 8 题） 1. ★ [选择题]（知识点：二次函数识别）下列函数中，一定为二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. ★ [选择题]（知识点：系数识别）二次函数 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. ★ [填空题]（知识点：函数值求自变量）若二次函数 的函数值是 ，则对应的 的值是         。 4. ★ [填空题]（知识点：定义条件）若函数 是关于 的二次函数，则 的取值范围是         。 5. ★ [填空题]（知识点：化为一般形式）把二次函数 化为一般形式，则一次项系数为         。 6. ☆ [选择题]（知识点：定义·绝对值指数）若 是关于 的二次函数，则 的值为（　　） A. B. C. D. 7. ☆ [填空题]（知识点：化为一般形式·系数和）把 化成 的形式为         ，其一次项系数与常数项的和为         。 8. ☆ [选择题]（知识点：识别·展开判断）下列函数中， 是关于 的二次函数吗？下列判断正确的是（　　） A. 是二次函数，系数分别为 B. 是二次函数 C. 不是二次函数 D. 是二次函数 二、B层·理解运用（共 6 题） 9. ★ [选择题]（知识点：实际问题中列解析式·增长率）为方便市民垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放 个垃圾桶，计划第三个月投放 个垃圾桶。设第二、三两个月投放数量的月平均增长率为 ，则 与 之间的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 10. ★ [填空题]（知识点：几何面积列解析式）已知一个直角三角形的两条直角边长的和为 。设其中一条直角边长为 ，则该直角三角形的面积 与 之间的函数解析式为         。 11. ★ [填空题]（知识点：正方形面积和）已知两个正方形的周长之和是 。若以两个正方形面积之和 为因变量，其中一个正方形的边长 为自变量，则 关于 的函数解析式为         。 12. ☆ [填空题]（知识点：圆柱侧面积列解析式）已知矩形的周长为 ，矩形绕它的一条边所在直线旋转形成圆柱。设矩形的另一条边长为 ，圆柱的侧面积为 ，则 与 之间的函数解析式为         。 13. ☆ [填空题]（知识点：菱形面积列解析式）已知一个菱形两条对角线的长的和为 ，设其中一条对角线的长为 。设菱形的面积为 ，则 与 之间的函数解析式为         ，自变量 的取值范围是         。 14. ★ [解答题]（知识点：分类讨论·一次/二次函数）已知函数 （ 为常数）。 （1）若这个函数是关于 的一次函数，求 的值； （2）若这个函数是关于 的二次函数，求 的取值范围。 三、C层·拓展挑战（共 5 题） 15. ★ [解答题]（知识点：动点面积·分段函数）如图，正方形 的边长为 ，动点 同时从点 出发，以 的速度分别沿 和 的路径向点 运动。设运动时间为 ，由点 确定的封闭图形的面积为 ，求 关于 （0≤x≤8，且x≠4）的函数解析式。 16. ☆ [解答题]（知识点：矩形场地·围墙问题）如图，利用一面长为 的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ，在边 和 上各有一个 宽的小门（不用铁栅栏）。若所用铁栅栏的长为 ，矩形 的边 的长为 ，边 的长为 ，矩形的面积为 ，且 。（1）求 与 之间的函数解析式； （2）直接写出自变量 的取值范围。 17. ★ [解答题]（知识点：几何综合·相似）如图，在四边形 中，，，。设 的长为 ，四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式。 18. ☆ [解答题]（知识点：实际背景·取值范围）某产品生产成本为每件 元，若单价定为 元（），每天可售出 件。设每天利润为 元，请写出 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围。 19. ★ [开放性问答]（知识点：概念辨析）有人说：“函数 一定是二次函数，因为 永远不为 。”你认为这句话对吗？请说明你的理由，并由此归纳判断一个函数是否为二次函数的关键条件。 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. C（A 是分式函数不是二次；B 含参数 未说明 ；D 含 不是多项式；C 符合 形式） 2. A（一般形式 ，故 ） 3. 和 （令 ，即 ，分解 ，得 或 ） 4. （二次函数要求二次项系数 ，故 ） 5. （展开：，一次项系数为 ） 6. B（由 得 即 ；又二次项系数 排除 ，故 ） 7. ，（展开：，一次项系数 与常数项 的和为 ） 8. A（B 展开： 为一次；C 中 故是二次；D 含 不是多项式函数） B层·理解运用 9. B（第三个月投放量 第一个月 ） 10. （另一直角边为 ，面积 ） 11. （另一正方形边长 ，面积和 ） 12. （旋转边为 ，侧面积 ） 13. ，（另对角线 ，面积 ；对角线长均为正） 14.（1）一次函数要求二次项系数为 且一次项系数非 ： 且 ，得 。（2）二次函数要求 ，即 ，故 且 。 C层·拓展挑战 15. 当 时，，阴影面积 ；当 时，，。综上 。 16.（1），面积 。（2）由 且墙长 得 ，且 ，故 。 17. 设 ，则 。由 、 可证 为等腰直角三角形且 ，得 等关系，最终四边形面积 （故选 C：）。 18. 单件利润 ，销量 ，故 ；由销量 且 得 。 19. 对。理由： 恒为非零常数，故该函数满足 且 ，一定是二次函数。判断关键：① 解析式是自变量最高次数为 的整式（多项式）；② 二次项系数不等于 。 学科网（北京）股份有限公司 $