26.1二次函数的概念（分层作业，5大知识点）数学新教材人教版九年级上册

26.1二次函数的概念 知识点一 二次函数的识别 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 4．（25-26九年级下·云南昆明·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 知识点二 列二次函数关系式 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 知识点三 二次函数一般式与系数识别 1．（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 2．（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 知识点一 根据二次函数的定义求参数 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． 知识点二 参数分类讨论判定函数类别 1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 3．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 4．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 1．（25-26九年级上·江西宜春·月考）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合． (1)求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围． (2)当时，求y的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意AM的值的求法． （1）根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解； （2）代入函数解析式求值； （3）代入函数解析式计算求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 重叠部分也是等腰直角三角形 由题意，得， 则重叠部分面积； （2）解：当时，． （3）解：当时，， 解得（舍去）， ． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． (1)线段与有什么数量关系？ ． ①当点M坐标时，点P的坐标是 ； ②当点M坐标时，点P的坐标是 ． (2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ． (3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 【答案】(1)；①② (2)见解析，抛物线 (3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案； ①根据题意画出对应的图形即可得到答案； ②根据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是； 故答案为：； ②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 故答案为：； （2）解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3， 故答案为：抛物线； （3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下： ∵点P的坐标是，轴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴得出的结论与猜想一致． 4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，边长为6，得出，结合，表示出，，根据点 G 为 边的中点，得出，根据五边形的面积求解即可． （2）①如图，过点P作，在菱形中，，，，，证明是等边三角形，得出，证明，得出，则，根据，得出，，，求出，即可求解． ②根据，，得出当时，最小，此时，点共线，结合四边形是菱形，得出，求出，代入①中解析式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，边长为6， ， ， ，， ∵点 G 为 边的中点， ， ， ， ， ∴五边形的面积 ． 即． （2）①如图，过点P作， 在菱形中，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， 即． ②∵， ∴， 则最小时，最小， 当时，最小，此时，点共线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念 知识点一 二次函数的识别 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·云南昆明·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点二 列二次函数关系式 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为__________________． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 知识点三 二次函数一般式与系数识别 1．（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．2 C．1 D．3 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 4．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 知识点一 根据二次函数的定义求参数 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 知识点二 参数分类讨论判定函数类别 1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 3．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 4．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 1．（25-26九年级上·江西宜春·月考）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合． (1)求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围． (2)当时，求y的值． (3)当时，求t的值． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． (1)线段与有什么数量关系？ ． ①当点M坐标时，点P的坐标是 ； ②当点M坐标时，点P的坐标是 ． (2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ． (3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $