暑假应用专项：圆（专项训练）-2026-2027学年数学六年级上册人教版（新教材）

**基本信息** 以生活应用为载体，系统构建圆的周长与面积计算体系，融合转化思想与跨学科实践，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|4题（1/4/8/14）|周长与直径互化、古代算法验证|从概念到公式推导，强化量感与运算能力| |组合图形|6题（2/3/5/6/7/13）|弧长拼接、半圆环转化|分解复杂图形为基本圆与多边形，发展空间观念| |实际应用|5题（11/12/15/16/18）|轨迹建模、损耗计算|建立实际问题与数学模型的联系，提升应用意识| |数学文化|2题（9/14）|古今算法等价性证明|通过历史文献理解数学本质，培养推理意识|

暑假应用专项：圆 1．校园内有一棵大树，为了方便同学们在树荫下学习和休息，学校修建了围树座椅，小薇测量了一下，围树座椅的内沿圆周长是12.56米，椅宽5分米，那么围椅的外沿圆周长是多少米？ 2．用绳子捆扎3个直径为10厘米的易拉罐，捆一圈至少需要多长的绳子？ 3．实验小学的体育场两端是半圆形，中间是长方形（形状如图所示），这个体育场的周长是多少米？ 4．小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？ 5．超市衣帽区的简易试衣间依墙而建，由半圆形的钢管配合适的门帘组成。其中用了1.57米长的不锈钢钢管。超市装修想把这个试衣间弄得再宽敞一些，计划把它的半径增加20厘米，如果这样，需要多长的钢管？（接头处忽略不计） 6．有7根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？ 7．陈伯伯计划在房子后面的空地上靠墙围一个直径是8米的半圆形禽舍（如图），并从中间隔开，一边养鸡，一边养鸭。陈伯伯至少需要准备多少米的篱笆？ 8．壮壮是一个小小数学迷。一天，他在整理玩具时，发现了一个三角形塑料片，于是，他测了塑料片上空心小三角形的有关数据，如图所示（单位：毫米）。他又测量了1元硬币的周长为78.5毫米。此时，他推测：1元硬币能从水平方向穿过空心小三角形，但不可能从竖直方向穿过。你认为呢？请通过计算说明理由。 9．《九章算术》方田章记载了一种求圆环面积的公式：“并中外周而半之，以径乘之，为积步。”意思就是用外圆和内圆周长的平均数乘圆环的宽度就可以得到圆环面积。 (1)请你利用古人公式求图中圆环的面积。 (2)利用数学课上学到的圆环面积的计算方法验证结果，并思考古代算法为什么和现代算法结果一样？ 10．下图中，圆的直径是12厘米，平行四边形的底边比圆的直径长，求阴影部分的面积。 11．一台压路机的前轮直径是1.5米，后轮直径是2米。欢欢和乐乐在观看压路机压路时做了一个记录，在3分钟的时间内，欢欢记录前轮转了40圈，乐乐记录后轮转了30圈。他们的记录对吗？请用算式说明。 12．如图，社区计划在正方形空地上建一个“口袋公园”（口袋公园也称袖珍公园，是指规模较小的公共公园）。其中圆的半径为10米，计划在圆内种植绿植。 (1)请利用圆规和三角尺在圆中对绿植种植区进行设计。 (2)求出正方形与圆之间阴影部分的面积。 13．下图是一个边长4cm的正方形。 (1)在这个正方形内画一个最大的半圆，并将剩余部分涂上阴影。 (2)计算阴影部分的周长和面积。 14．我国著名的数学专著《九章算术》中记载着多种图形面积的计算方法，其中求圆的面积的方法是这样描述的：“周径相乘，四而一”，意思是用圆的周长乘直径，再除以4，就得到了圆的面积。请用《九章算术》中提出的求圆面积的方法求直径是2厘米的圆的面积。（π取3.14） 15．雨刮器的摆臂上有一根橡胶刮片，只有刮片才能把挡风玻璃上的雨水、灰尘刷干净。某款汽车的雨刮器长50厘米，刮片长30厘米，可绕点O旋转180°（如下图），那么这个雨刮器能刮到的面积是多少？ 16．某实验室研发的“仿生水蚤”微型机器人需沿圆形生物反应池内壁巡航一周才能完成水质监测。已知圆形反应池的直径为20米，该微型机器人的运动结构借鉴了昆虫“步足一履带”复合机制，其“仿生履带”的有效半径为25厘米。若微型机器人沿圆形反应池内壁匀速巡航且“仿生履带”无打滑现象，巡航过程中微型机器人的“仿生履带”需要转动多少周？ 17．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 18．如图，是一扇窗户框的图形，图形的上方是一个直径为40厘米的半圆，图形下方是长60厘米，宽40厘米的长方形，现在要将实线部分的地方安装装饰条，（其中取3） （1）请求出一扇窗户需要多少米的装饰条？ （2）冬季来临，现要沿着窗户框贴密封条，每米密封条的价格是20元，贴密封条的过程中密封条会有损失，密封条的损失是十分之一，每扇窗户人工费为60元，求一扇窗户贴密封条的费用（结果取整数）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．15.7米 【分析】围树座椅的内沿圆周长是12.56米，根据圆的周长公式C＝2πr，则r＝C÷π÷2，把数据代入计算出内圆半径，再把椅宽加到内圆半径上得到外圆半径，最后用圆的周长公式C＝2πr计算外沿圆的周长，注意单位的换算。 【详解】5分米＝0.5米 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 2×3.14×（2＋0.5） ＝6.28×2.5 ＝15.7（米） 答：围椅的外沿圆周长是15.7米。 2．61.4厘米 【分析】如图：，绳子的长度可分为两类：线段的长度和弧的长度，这三条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长度正好是圆的直径的长度，所以绳子的长度等于圆的周长加上3条直径的长度。已知圆的直径是10厘米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再加上3条直径长度即可。据此解答。 【详解】3.14×10＝31.4（厘米） 10×3＝30（厘米） 31.4＋30＝61.4（厘米） 答：捆一圈至少需要61.4厘米长的绳子。 【点睛】3个易拉罐两两相接时，所用绳子长度最短，此时绳子长度由“圆弧部分”和“直线部分”组成，而圆弧部分正好可以拼成一个圆，根据圆的周长公式计算即可；直线部分是3个直径长度，最后将两部分相加即可解答。 3．305.6米 【分析】根据题意，体育场的周长由两部分组成：两端的半圆形合起来是一个完整的圆的周长，中间长方形的两条长。首先明确圆的直径是40米（对应长方形的宽），长方形的长是90米；先算圆的周长（圆的周长＝2πr），再算长方形两条长的长度，最后把两部分长度相加，就是体育场的周长，据此解答。 【详解】3.14×40＋90×2 ＝125.6＋180 ＝305.6（米） 答：这个体育场的周长是305.6米。 4．0.4米 【分析】根据题意，先用绳子的全长除以10，求出绳子绕树干一圈的长度，也就是树干的周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，据此求出树干的横截面的半径。 【详解】周长：25.12÷10＝2.512（米） 半径：2.512÷3.14÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4（米） 答：这根树干的横截面的半径是0.4米。 5．2.198米 【分析】由题可得，简易试衣间依墙而建，由此1.57米是原来整个圆周长的一半，乘2，即可求出原来一整圆的周长，再根据半径＝周长÷圆周率÷2，计算出原来的半径；计划把它的半径增加20厘米，用原来的半径加上20厘米，就是计划的半径长度，最后根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出计划整个的圆的周长，再除以2，即可得计划所需要的钢管的长度，据此解答。 【详解】1.57米＝157厘米 157×2÷3.14÷2＝50（厘米） 50＋20＝70（厘米） 2×3.14×70÷2＝219.8（厘米） 219.8厘米＝2.198米 答：需要2.198米的钢管。 6．45.7厘米 【分析】 根据题干分析可得：橡皮筋的长度是一个圆的周长和6条直径长的和，圆的周长＝πd，代入数据计算即可。 【详解】3.14×5＋6×5 ＝15.7＋30 ＝45.7（厘米） 答：此时橡皮筋的长度是45.7厘米。 7．16.56米 【分析】篱笆的长度等于圆周长的一半加上一条半径的长度，据此解答即可。 【详解】3.14×8÷2＋8÷2 ＝25.12÷2＋4 ＝12.56＋4 ＝16.56（米） 答：陈伯伯至少需要准备16.56米的篱笆。 【点睛】本题考查圆的周长，解答本题的关键是掌握圆的周长计算公式。 8．见详解 【分析】要确定硬币能否穿过空心小三角形，要用硬币的直径与空心三角形水平方向、竖直方向的长度做比较：若该方向的长度大于等于硬币的直径，则能穿过；若该方向的直径小于硬币的直径，则不能穿过。 根据圆的周长公式C＝πd，圆的直径计算可以用周长除以圆周率。 【详解】直径：78.5÷3.14＝25（毫米） 水平方向：34＞25，能通过； 竖直方向：17＜25，不能通过。 答：我认为壮壮的猜测正确，硬币能从水平方向穿过空心三角形但不能从竖直方向穿过。 9．(1) 平方厘米 (2) 验证结果一致，古代算法与现代算法本质相同。 【分析】圆环的宽度即为外圆半径与内圆半径的差。 “并中外周而半之”指外圆周长与内圆周长之和除以2（即平均周长）；“以径乘之”指乘圆环的宽度。 ①分别计算外圆周长、内圆周长和圆环宽度，代入古人公式计算。 ②利用现代圆环面积公式： 进行计算验证。通过字母推导，利用乘法分配律说明两个公式的等价性。 【详解】（1）（厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：图中圆环的面积是平方厘米。 （2）利用现代圆环面积公式计算： （平方厘米） 计算结果与古人公式计算结果一致。 思考原因： 设外圆半径为，内圆半径为。 古人算法的算式为： 现代算法的算式为： 所以。 因此，古代算法和现代算法的结果是一样的，古人公式是将圆环展开近似看作一个长方形，长是内外周长的平均值，宽是环宽。 10．66.96平方厘米 【分析】先求出平行四边形的底，平行四边形的高等于圆的直径。阴影部分面积等于平行四边形的面积减去圆的面积。平行四边形面积＝底×高，圆的面积＝πr2，r是半径。 【详解】平行四边形的底： 12×（1＋） ＝12× ＝15（厘米） 平行四边形的高＝圆的直径＝12厘米 平行四边形面积：15×12＝180（平方厘米） 圆的半径：12÷2＝6（厘米） 圆的面积：3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 阴影部分面积：180－113.04＝66.96（平方厘米） 答：阴影部分的面积是66.96平方厘米。 11．对；说明见详解 【分析】通过计算前轮和后轮在3分钟内各自走过的路程来验证记录是否正确。根据圆的周长公式C＝πd，分别计算前轮和后轮的周长，再乘以各自转的圈数得到走过的路程。 【详解】前轮周长：1.5×π＝1.5π（米） 前轮路程：1.5π×40＝60π（米） 后轮周长：2×π＝2π（米） 后轮路程：2π×30＝60π（米） 因为60π＝60π，所以两者总路程相等，记录是正确的。 答：他们的记录是对的。 12．(1) (2)86平方米 【分析】设计合理即可，答案不唯一； 阴影部分的面积不规则，无法直接进行计算，可转化为大正方形的面积与圆面积的差。圆的半径为10m，直径为20m，正方形是圆的外接正方形，即正方形的边长与圆的直径相等，为20m，根据对应面积公式计算即可。 【详解】（1）略 （2）10×2＝20（米） 20×20＝400（平方米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方米） 400－314＝86（平方米） 答：阴影部分的面积是86平方米。 13．(1)见详解； (2)厘米；平方厘米； 【分析】（1）在正方形内画一个半圆，这个半圆的直径就是正方形的边长，就是在正方形内画出最大的半圆。 （2）阴影部分的面积用正方形的面积减去半圆的面积即可，周长用正方形的三条边长加上半圆的弧长即可。 【详解】（1） （2） （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：阴影部分的周长是厘米，面积是平方厘米。 14．3.14平方厘米 【分析】“周径相乘，四而一”，圆面积＝周长×直径÷4，周长＝π×直径。 【详解】周长：3.14×2＝6.28（厘米） 面积：周长×直径÷4 ＝6.28×2÷4 ＝12.56÷4 ＝3.14（平方厘米） 答：圆的面积是3.14平方厘米。 15．3297平方厘米 【分析】根据题意，用雨刮器的长度减去刮片的长度，就是内圆半径的长度。圆的面积S＝πr2，分别代入雨刮器的长和内圆半径的长，算出雨刮器所在圆的面积以及内圆的面积。然后再相减，算出结果再除以2，就是这个雨刮器能刮到的面积是多少平方厘米。 【详解】50－30＝20（厘米） （3.14×502－3.14×202）÷2 ＝（3.14×2500－3.14×400）÷2 ＝（7850－1256）÷2 ＝6594÷2 ＝3297（平方厘米） 答：这个雨刮器能刮到的面积是3297平方厘米。 16．40周 【分析】已知圆形反应池的直径为20米，微型机器人沿圆形反应池内壁巡航一周，其路径长度为反应池的周长；根据圆的周长公式C＝πd，求出反应池的周长； 微型机器人“仿生履带”的有效半径为25厘米，根据进率“1米＝100厘米”换算单位，再根据圆的周长公式C＝2πr，求出微型机器人“仿生履带”的周长； 用反应池的周长除以机器人“仿生履带”的周长，求出微型机器人的“仿生履带”需要转动的周数。 【详解】3.14×20＝62.8（米） 25厘米＝0.25米 2×3.14×0.25＝1.57（米） 62.8÷1.57＝40（周） 答：巡航过程中微型机器人的“仿生履带”需要转动40周。 17．41.04平方米 【分析】圆形的面积＝πr²，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。 【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2 ＝3.14×36－12×6÷2×2 ＝113.04－72 ＝41.04（平方米） 答：种太阳花的面积有41.04平方米。 18．（1）2.6米 （2）118元 【分析】（1）装饰条由半圆的弧长＋长方形的周长，半圆的直径是40厘米，根据半圆弧长公式：C＝πd÷2（π取3，d为直径），所以半圆弧长为3×40÷2＝60厘米；长方形的长为60厘米、宽为40厘米，根据周长公式：周长＝（长＋宽）×2，则（60＋40）×2＝200厘米，所以装饰条总长度为60＋200＝260厘米，然后把单位换算为米即可。 （2）密封条的长度与装饰条长度相同，都为2.6米，但需考虑十分之一（即）的损失，把装饰条长度看作单位“1”，因此实际需要的密封条长度为：2.6×（1＋）＝2.86米。每米密封条的价格是20元，每扇窗户人工费为60元，费用包括密封条费用＋人工费，用2.86乘20再加60计算即可得出总费用，然后根据“进一法”法保留整数即可。 【详解】（1）3×40÷2＝60（厘米） （60＋40）×2 ＝100×2 ＝200（厘米） 60＋200＝260（厘米） 1米＝100厘米 260÷100＝2.6（米） 答：一扇窗户需要2.6米的装饰条。 （2）把装饰条长度看作单位“1”。 2.6×（1＋） ＝2.6× ＝2.86（米） 2.86×20＋60 ＝57.2＋60 ＝117.2（元） 因为需保留整数，117元又不够，所以往上取整为118元。 答：一扇窗户贴密封条的费用是118元。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $