《第4章三角形》暑假巩固提升综合练习题2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以三角形性质与全等判定为核心，通过基础巩固、动态探究及实际应用，系统构建“概念-推理-应用”逻辑链，强化分类讨论与辅助线添加技巧，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3/填空8-9|三角形稳定性/三边关系/高的定义|从图形特征到性质理解，夯实抽象能力| |全等应用|解答4/17/20(1)|SSS/SAS/AAS判定及性质应用|从判定条件到线段关系推导，发展推理意识| |动态与综合|解答7/19/20(2)(3)|动点分类讨论/旋转问题辅助线构造|从静态到动态问题的思维迁移，提升应用意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》 暑假巩固提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 3．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 二、填空题 8．已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 9．已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 10．如图，已知，请添加一个条件：______，使．（写出一个即可） 11．已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 12．已知图中的两个三角形全等，则_____． 13．如图，在中，，，则________． 14．如图，在中，．以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，则_______，点D到直线的距离为_______． 三、解答题 15．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 16．如图，已知点是外部一点，连接，且，． (1)尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若．求的长度． 17．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 18．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 19．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 20．解答下列问题： (1)【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系． 他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由． (3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度． 参考答案 1．A 【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 2．A 【详解】解：A．∵，， ∴可以构成三角形，符合题意； B．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； C．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； D．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意． 3．B 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，利用三角形高的定义线段是的高的是： ． 4．A 【分析】根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 即测量的长即可得知，间的距离． 5．D 【分析】证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 6．C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 7．A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 8． 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 9．12 【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：； ②若2为腰长，5为底边长， ∵， ∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 10．（或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等判定方法有、、、等，关键是要根据题意选择合适的判定方法． 由题可知和有公共边，，可根据或来判定三角形全等． 【详解】解：①添加一个条件：， 证明：在三角形和中 ， ∴， ②添加一个条件：， 证明：在三角形和中 ， ∴， 故答案为：（或） 11．18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 12．/50度 【分析】根据全等三角形的性质解题． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，是边和边的夹角， ∴． 13． 【分析】利用证明得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14． 10 2.5 【分析】根据题意证明，即可得到；设点D到直线的距离为h，利用三角形面积求解即可． 【详解】解：∵以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点D到直线的距离为h， ∵点A到直线的距离为3，， ∴， ∴， 解得， ∴点D到直线的距离为2.5． 15．(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的判定定理以及作相等角的步骤画图； （2）利用平行线的性质得出相等的角，然后利用全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：若， ， 在和中， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴. 18．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到结论即可； （2）延长，作延长线于点，于点，连接，证明和，得到，得出当与重合时，最大为长为，计算即可； （3）延长到点，使得，连接，证明和，得到，得出总路线长度计算即可； 【详解】（1）解：，理由如下： 延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （2）解：延长，作延长线于点，于点，连接， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在中，， 当与重合时，最大为长为， 此时； （3）解：由题意得： ， ， ， 延长到点，使得，连接， 由方位角可知：，, ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 总路线长为， 长度为 ， 总长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $