第4章三角形综合同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 这份同步练习通过基础认知、中档应用、提高探究三层设计，覆盖三角形全章核心知识点，从单一概念辨析到综合推理应用，适配单元复习巩固需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择1-9、填空11-14）|三边关系、内角和、高/中线识别|直接应用概念，如选择1判断三角形构成| |中档（选择10、填空15-20、解答24-26）|全等判定、角度计算、重心性质|结合图形推理，如填空15添加全等条件| |提高（填空21-23、解答27-30）|动态全等、多步推理、内角和拓展|创设动态情境，如解答28探究等腰三角形条件|

第4章三角形综合同步练习 一．选择题（共10小题） 1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　） A．7，13，20 B．13，14，25 C．5，5，11 D．8，7，15 2．一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　　） A．30°和60° B．40°和70° C．50°和20° D．40°和40° 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图所示，E、B、F、C四点在一条直线上，ED＝AB，∠A＝∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．ED∥AB B．EB＝FC C．DF＝AC D．∠DFC+∠C＝180° 5．如图，已知△ABC≌△DEC，∠D＝65°，∠ACB＝75°，则∠E的度数为（　　） A．40° B．45° C．75° D．65° 6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．4，5，9 B．3，4，10 C．3，4，7 D．8，8，14 7．如图，AB和CD交于点O，AC⊥AB于点A，连接BD．若∠B＝40°，∠D＝75°，则∠C的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 8．如图，在△ABC中，边BC上的高是（　　） A．AD B．BE C．BF D．CF 9．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 10．如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），点C在DE边上，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠DCB的度数是（　　） A．38° B．48° C．58° D．60° 二．填空题（共13小题） 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BD＝1，则线段AD的长度为　 　 ． 12．已知a、b、c为△ABC的三边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝　 　 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠DAE＝15°，∠C＝65°，则∠B的度数为　 　 °． 14．如图，△ABC中BC边上的高为　 　 ． 15．如图：点A、B、C、D在同一直线上，CE∥BF，AB＝CD，请添加一个条件　 　 ，使得△ACE≌△DBF（填一个即可）． 16．如图，已知△AEC≌△ADB，若AB＝15，AD＝10，则BE的长为　 　 ． 17．有两根木棒长分别为4cm、6cm，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为　 　 cm． 18．如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是 　 　 ． 19．如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　 　 ． 20．如图，已知：G是△ABC的重心，S△ABC＝12，那么S△GBD＝　 　 ． 21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝10cm，CD＝14cm，E是AB中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动．为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为　 　 ． 22．在△ABC中，∠A＝∠B，若与△ABC全等的三角形的一个内角是100°，则在△ABC中与100°内角对应的角是　 　 ． 23．如图，△ABC中，D点在BC上，∠C＝70°，∠DAC＝30°，则图中标示的p+q的值是　 　 ． 三．解答题（共7小题） 24．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝40°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）求证：． 25．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，P点运动到AC上什么位置时△ABC和△APQ全等？ 26．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD的度数． 27．如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 28．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠OCD＝60°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD． （1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数． 29．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是BC边上的高．∠BAC＝80°，∠C＝72°，求∠DAE的度数． 30．如图①，线段AD，BC相交于点O，连结AB，CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”．由三角形内角和定理可知∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，而∠AOB＝∠COD，我们得到∠A+∠B＝∠C+∠D． （1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数； （2）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （3）如图④，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 第4章三角形综合同步练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、7+13＝20， ∴7，13，20不能构成三角形，不符合题意； B、∵13+14＝27＞25， ∴13，14，25能构成三角形，符合题意； C、∵5+5＝10＜11， ∴5，5，11不能构成三角形，不符合题意； D、∵7+8＝15， ∴8，7，15不能构成三角形，不符合题意， 故选：B． 2．【解答】解：A、180°﹣30°﹣60°＝90°，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、180°﹣40°﹣70°＝70°，三个内角分别为40°，70°，70°，都小于90°，该三角形是锐角三角形，符合题意； C、180°﹣50°﹣20°＝110°，110°＞90°，该三角形是钝角三角形，不符合题意； D、180°﹣40°﹣40°＝100°，100°＞90°，该三角形是钝角三角形，不符合题意． 故选：B． 3．【解答】解：根据题意可知，AD⊥BC于D， ∴图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△AED，△AEC，△ADC，共6个， 综上所述，以AD为高的三角形有6个，所以只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 4．【解答】解：A、添加ED∥AB可得∠E＝∠ABC，可利用ASA判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； B、由EB＝FC可得EF＝BC，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意； C、添加DF＝AC可利用SAS判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； D、添加∠DFE+∠DFC＝180°，∠DFC+∠C＝180°可得∠DFE＝∠C可利用AAS判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； 故选：B． 5．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝75°， ∴∠DCE＝∠ACB＝75°（全等三角形对应角相等）． 在△DCE中，∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣75°﹣65°＝40°， 故选：A． 6．【解答】解：A：∵4+5＝9，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形，不符合题意． B：∵3+4＝7＜10，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形，不符合题意． C：∵3+4＝7，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形，不符合题意． D：∵8+8＝16＞14，满足三角形三边关系， ∴能组成三角形，符合题意． 故选：D． 7．【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∴∠AOC＝∠BOD＝65°， ∵AC⊥AB， ∴∠A＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣65°＝25°， 则∠C的度数是25°， 故选：A． 8．【解答】解：三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 9．【解答】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 10．【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝30°， 由条件可知∠CGF＝∠D+∠DCB， ∵∠CGF＝88°， ∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°． 故选：C． 二．填空题（共13小题） 11．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD＝2， ∴AB＝2BC＝2×2＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3， 故答案为：3． 12．【解答】解：根据题意得，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0． ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c＝﹣2a+2c，即|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|的值为﹣2a+2c． 故答案为：﹣2a+2c． 13．【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝65°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°， ∵∠DAE＝15°， ∴∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝15°+25°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°， 故答案为：35°． 14．【解答】解：如图所示，根据三角形的高的定义可知BC边上的高为AE． 故答案为：AE． 15．【解答】解：∵点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD； 又∵CE∥BF， 根据平行线的性质，得∠ACE＝∠DBF， 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加CE＝BF，可由SAS判定全等； 添加∠A＝∠D，可由ASA判定全等； 添加∠E＝∠F，可由AAS判定全等，以上均正确， 综上所述，答案不唯一，CE＝BF，∠A＝∠D、∠E＝∠F 都正确， 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一 CE＝BF、∠E＝∠F ）． 16．【解答】解：∵△ACE≌△ABD，AB＝15，AD＝10， ∴AC＝AB＝15，AE＝AD＝10（全等三角形对应边相等）， ∴BE＝AB﹣AE＝15﹣10＝5， 故答案为：5． 17．【解答】解：设第三根木棒的长为xcm， 根据三角形的三边关系得，6﹣4＜x＜6+4，即2＜x＜10， ∵x为整数， ∴x的最大值为9， 即第三根木棒最长为9cm， 故答案为：9． 18．【解答】解：如图所示， ∵∠α＝70°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝180°﹣70°＝110°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3， ∴∠5+∠6＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣2×110°＝360°﹣220°＝140°， ∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）＝180°﹣140°＝40°． 故答案为：40°． 19．【解答】解：∵AP是△ABC的中线， ∴P是BC的中点， ∴， ∵BC＝8， ∴BPBC8＝4； 又AQ是△ABP的中线， ∴BQBP4＝2． 故答案为：2． 20．【解答】解：∵G是△ABC的重心， ∴，AD是△ABC的中线， ∴， ∵S△ABC＝12， ∴， ∴， 故答案为：2． 21．【解答】解：设运动时间为ts，点Q的速度为v cm/s， ∵E是AB中点， ∴AE＝BEAB＝4（cm）， 由题意得：CQ＝vtcm，BP＝3tcm， ∵BC＝10cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（10﹣3t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： 当△BPE≌△CQP时， ∴BP＝CQ，BE＝CP， ∴3t＝vt，4＝10﹣3t， 解得：v＝3，t＝2； 当△BPE≌△CPQ时， ∴BP＝CP，BE＝CQ， ∴3t＝10﹣3t，4＝vt， 解得：t，v＝2.4； 综上所述：为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为3cm/s或2.4cm/s， 故答案为：3cm/s或2.4cm/s． 22．【解答】解：∵∠A＝∠B，与△ABC全等的三角形的一个内角是100°， ∴只能是∠C＝100°． 故答案为：∠C． 23．【解答】解：∵∠C＝70°，∠DAC＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∴∠ADC＝p°+q°＝80°， ∴p+q＝80， 故答案为：80． 三．解答题（共7小题） 24．【解答】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴（角平分线的性质）， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+30°＝70°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE＝90°， ∴∠E＝180°﹣∠ADC﹣∠DPE＝180°﹣70°﹣90°＝20°； （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴（角平分线的定义）， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD ， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE＝90° ∴∠E＝180°﹣∠DPE﹣∠ADC ． 25．【解答】解：当点P运动到AP＝BC或AP＝AC时，△ABC和△APQ全等， 理由：∵AQ⊥AC， ∴∠QAC＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠C＝∠QAC＝90°， 分两种情况： 当点P运动到AP＝BC时，△ABC和△APQ全等， 理由：在Rt△ABC和Rt△QPA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； 当点P运动到与点C重合时，即AP＝AC时，△ABC和△APQ全等， 理由：在Rt△ABC和Rt△PQA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）； 综上所述：当点P运动到AP＝BC或AP＝AC时，△ABC和△APQ全等． 26．【解答】解：∵AE是∠BAC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠EAC∠BAC50°＝25°， ∵AD是△ABC高，∠C＝70°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣70°＝20°（三角形内角和定理）， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°． 27．【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2，∠2＝40°， ∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C， ∴EC＝ED， 由（1）知∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED， 即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 28．【解答】解：（1）△AOD是直角三角形，理由如下： ∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC（全等三角形对应边相等），∠ADC＝∠BOC＝150°（全等三角形对应角相等）， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°， ∵∠AOB＝110°，α＝150°， ∴∠AOD＝360°﹣110°﹣150°﹣60°＝40°， ∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°， ∴∠OAD＝50°， ∴∠AOD≠∠OAD， ∴△AOD是直角三角形； （2）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC（全等三角形对应边相等），∠ADC＝∠BOC＝α（全等三角形对应角相等）， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝190°﹣α， ∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°， 当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， 解得：α＝125°； 当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， 解得：α＝140°； 当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°， 解得：α＝110°． 综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 29．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠BAC＝80°， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝40°， ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝72°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝18°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣18°＝22°， ∴∠DAE的度数是22°． 30．【解答】解：（1）在图②中，连接BC，则∠D+∠E＝∠EBC+∠DCB， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠ABE+∠EBC+∠DCB+∠ACD＝∠A+∠ABC+∠ACB＝180°； （2）在图③中，连接AD，则∠FAD+∠EDA＝∠E+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠BAF+∠FAD+∠B+∠C+∠EDA+∠EDC＝∠DAB+∠B+∠C+∠ADC＝360°； （3）在图④中，连接AD，EG，则∠GAD+∠EDA＝∠AGE+∠DEG， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（∠FAD+∠BAG+∠B+∠C+∠CDE+∠EAD）+（∠GEF+∠F+∠EGF）＝（∠DAB+∠B+∠C+∠ADC）+（∠GEF+∠F+∠EGF）＝360°+180°＝540°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/10 18:57:07；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $