第4章 专题特训12 全等三角形的综合问题-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

8.(1)①② (2)选择方案不唯一，如选择方案①. 理由：因为AB⊥BD,DE⊥BD, 所以∠B=∠CDE=90°， 在△ABC和△EDC中， I∠B=∠CDE, CB=CD, ∠ACB=∠ECD, 所以△ABC≌△EDC. 所以AB=ED, 所以测出DE的长即为池塘两端A, B之间的距离 专题特训十二全等三角形的 综合问题 1.D 2.35°解析：连接AC.在△ACE和 AE-AD △ACD中，CE=CD,所以△ACE≌ AC=AC, △ACD(SSS).所以∠AEC=∠D= 75.所以∠BEC=105°.因为 ∠ECD=140°，所以∠BCE=180°- ∠ECD=180°一140°=40°.所以 ∠B=180°-105°-40°=35°. 3.(1)因为AC∥DE, 所以∠ACD=∠D,∠BCA=∠E 又因为∠ACD=∠B, 所以∠B=∠D. 在△ABC和△CDE中， ∠B=∠D, ∠BCA=∠E, AC=CE, 所以△ABC2△CDE. (2)因为△ABC≌△CDE, 所以∠A=∠DCE=55°. 所以∠BCD=180°-∠DCE=125° 4.C解析：因为AD,BE是△ABC 的高，所以∠BDF=∠ADC= ∠BEC=90°.所以∠DBF+∠C= ∠DAC+∠C=90°.所以∠DBF= ∠DAC.在△BFD和△ACD中， ∠DBF=∠DAC, BD=AD, 所以△BFD≌ ∠BDF=∠ADC, △ACD(ASA).所以△BDF的面 积=△ACD的面积=12，即2BD· DF=12.因为BD=6,所以DF=4. 所以AF=AD-DF=6-4=2. 5.32解析：延长AB,DE相交于点 F.因为∠DAB的平分线交BC于点 E,所以∠DAE=∠FAE.因为DE⊥ AE,所以∠AED=∠AEF=90°.在 △AED 和 △AEF中， ∠DAE=∠FAE, RAE-AE. 所以△AED≌ ∠AED=∠AEF, △AEF(ASA).所以ED=EF,AD= AF,因为AB∥DC,所以∠CDE= ∠BFE.在△DEC和△FEB中， ∠CDE=∠BFE, RDE=FE. 所以△DEC2 ∠DEC=∠FEB, △FEB(ASA).所以DC=FB.所以 AB+DC=AB+BF=AF=AD.所 以四边形ABCD的周长为AD+ AB+BC+DC=2AD+BC=2X 12+8=32. 6.(1)因为CD⊥AB, 所以∠ADC=90°. 因为∠ACB=90°， 所以∠A=∠ECF=90°-∠ACE. 在△ABC和△CFE中， ∠A=∠ECF, CA=EC, ∠ACB=∠E=90°， 所以△ABC≌△CFE(ASA). (2)因为△ABC≌△CFE, 所以AB=CF=9,CB=EF=4, 所以BF=CF-CB=5. 7.如图，延长CB至点E,使BE= DM,连接AE. 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+ ∠ABE=180°， 29 所以∠D=∠ABE. 在△ABE和△ADM中， (AB=AD, ∠ABE=∠D, BE=DM. 所以△ABE≌△ADM(SAS). 所以AE=AM,∠BAE=∠DAM. 所以∠EAN=∠BAE+∠BAN= ∠DAM+∠BAN. 因为∠BAD=120°，∠MAN=60°. 所以∠DAM+∠BAN=∠BAD ∠MAN=60°. 所以∠EAN=∠MAN=60°. 在△MAN和△EAN中， (AM-AE ∠MAN=∠EAN, AN-AN, 所以△MAN≌△EAN(SAS). 所以MN=EN. 因为BN+DM=BN+BE=EN, 所以BN+DM=MN. E--B (第7题) 8.(1)因为AD⊥BC, 所以∠BDE=∠ADC=9O. 在△BDE和△ADC中， (DE=DC, ∠BDE=∠ADC, BD-AD, 所以△BDE≌△ADC. 所以BE=AC. (2)AC⊥CM,AC=CM. 理由：因为F为BC的中点， 所以BF=CF. 在△BFE和△CFM中， (BF=CF, ∠BFE=∠CFM, EF=ME, 所以△BFE≌△CFM. 所以∠FBE=∠FCM,BE=CM. 由(1)，得△BDE≌△ADC. 所以∠DBE=∠DAC,BE=AC. 所以∠DAC=∠FCM,AC=CM. 因为∠ADC=90 所以∠DAC+∠ACD=90°. 所以∠FCM+∠ACD=90°，即 ∠ACM=90° 所以AC⊥CM. 9.(1)SAS:1<BD<9 (2)如图，延长ND至，点F,使FD= ND,连接AF,MF. 因为D是AC的中点， 所以AD=CD. 在△AFD和△CND中， AD-CD ∠ADF=∠CDN, FD-ND 所以△AFD≌△CND. 所以AF=CN. 因为DM⊥DN, 所以∠FDM=∠NDM=90°. 在△MDN和△MDF中， ND-FD, ∠NDM=∠FDM, MD-MD 所以△MDN≌△MDF」 所以MN=MF. 在△AFM中，由三角形的三边关系， 得AM+AF>MF】 所以AM+CN>MN. D (第9题) ☆问题解决策略：特殊化 1.C2.C 3.因为三个叶片的总面积为12cm2, ∠AOB=120°， 所以易得涂色部分的面积=360× 120 12=4(cm2). 4.(1)CM=MN+AN. (2)成立. 理由：如图①，在AC上截取CD= AN,连接OD. 因为△ABC为等边三角形，∠BAC 与∠ACB的平分线交于点O, 所以易得∠OAB=∠OAC= ∠OCA=30° 所以OA=OC,∠AOC=120°. 在△CDO和△ANO中， OC-OA, ∠OCD=∠OAN, ACD-AN. 所以△CDO2△ANO(SAS). 所以OD=ON,∠COD=∠AON. 因为∠MON=60°， 所以∠COD+∠AOM=∠AON+ ∠AOM=60° 因为∠AOC=120°， 所以∠DOM=60. 在△DMO和△NMO中， OD-ON, ∠DOM=∠NOM, OM=OM, 所以△DMO≌△NMO(SAS). 所以DM=NM. 所以CM=CD+DM=AN+MN. (3)补全图形如图②所示. AN+CM=MN. (第4题) 第四章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1B [变式](a2+b2-c2)2-4a2b= (a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2 2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2 c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b- c)(a-b+c). 30 因为a,b,c为三角形的三边长 所以a+b+c>0,a+b-c>0,a b-c<0,a-b+c>0. 所以(a2+b2-c2)2-4a2b2的值-定 为负 典例2(1)因为∠1=∠2=35°， 所以∠ADB=180°-35°-35°=110°. 所以∠3=∠4=70°. 所以∠DAC=180°-∠3-∠4=40°. (2)因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 因为△ABD的周长比△ACD的周长 大3， 所以AB+AD+BD-(AC+AD+ CD)=3. 所以AB+AD+BD-AC-AD一 CD=3. 所以AB-AC=3. 因为AB=9, 所以AC=6. [变式]B 典例312解析：如图，过点D作 DG⊥BE,交BE的延长线于点G.因 为BD⊥AB,所以∠ABC=90° ∠DBC=∠BDG.因为AB=BD, ∠ACB=90°=∠G,所以△ABC≌ △BDG.所以AC=BG.在△CFE和 ∠FCE=∠G=90°， △GDE中，〈∠CEF=∠GED,所 EF=ED. 以△CFE≌△GDE.所以CE=GE= 2BC=3.所以CG=CE+EG=3+ 3=6.所以AC=BG=BC+CG=6+ 6=12. (典例3图) [变式](1)因为DB是边AC上 的高， 所以∠ABE=∠DBC=90°. 在△ABE和△DBC中，拔尖特训·数学（北师版）七年级下 专题特训十二全等 类型一求角的度数 1.如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC BC=BP,AD=BD,∠DBP=∠DBC, ∠C=62°，则∠BPD的度数为 () A.20°B.28°C.30°D.31° D B (第1题) (第2题) 2.如图，C,E分别为△ABD的边BD,AB上的 点，AE=AD,CE=CD,∠D=75°， ∠ECD=140°，则∠B的度数为 3.如图，B,C,E三点在同一条直线上，AC∥ DE,AC=CE,∠ACD=∠B. (1)试说明：△ABC≌△CDE (2)若∠A=55°，求∠BCD的度数. (第3题)》 78 拍照批改 三角形的综合问题“答案与解析"见P29 类型二求线段的长度 4.如图，在△ABC中，AD,BE是△ABC的高， AD与BE相交于点F.若AD=BD=6,且 △ACD的面积为12，则AF的长为() A.1 B.1.5C.2D.3 (第4题) (第5题) 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥ DC,∠DAB的平分线交BC于点 E,DE⊥AE.若AD=12,BC=8,答案讲解 则四边形ABCD的周长为 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C 作CD⊥AB,垂足为D.在射线CD上截取 CE=CA,过点E作EF⊥CE,交CB的延长 线于点F. (1)试说明：△ABC≌△CFE. (2)若AB=9,EF=4,求BF的长 B (第6题) 类型三探求线段之间的关系 7.如图，在四边形ABCD中，AB= AD,∠BAD=120°，∠B+∠D= 180°，点N,M分别在边BC,CD答案讲解 上，∠MAN=60°，请探索线段BN,DM, MN之间的数量关系. B (第7题) 8.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点 D,点E在AD上，DE=DC,BD=AD,F为 BC的中点，连接EF并延长至点M,使 FM=EF,连接BE,CM. (1)试说明：BE=AC (2)试判断线段AC与线段CM之间的关 系，并说明理由. M (第8题) 第四章三角形 9.(1)如图①，在△ABC中，若AB 10,BC=8,求AC边上的中线BD 长的取值范围.小聪同学是这样思答案讲解 考的：延长BD至点E,使DE=BD,连接 CE,利用三角形全等将AB转化为CE,在 △BCE中，利用三角形的三边关系即可求出 BE长的取值范围，进而求出BD长的取值 范围.在这个过程中，小聪同学说明三角形全 等用到的判定方法是 ,中线BD长 的取值范围是 (2)如图②，在△ABC中，D是AC的中点， 点M在AB边上，点N在BC边上，且 DM⊥DN.试说明：AM+CN>MN. D ① ② (第9题) 79