第3章 圆锥曲线的方程 单元学能测评-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

将x1=my1十1，x2=my2十1代入上式中，化简得 z6+y8-2x(1+my2） y1y2+2m y1+y2 一2y0y1+y2 yy2十 y1十y2 1=0. 将(*)式代入上式中，得x6+y8-5x。一元3十4=0， 3 (》+6品)广-品+号 ）=4nm+4 又因为直线AB和直线x=4的交点为R(4,3) 故满足AM AF AT BM BF=BT的点T都在以FR为直径的 圆上 因为R,P,F,M,N都在以FR为直径的圆上， 做品-品-、所以NF是∠ANB的平分线。 则SAANF十S△BNF=S△ABN, 所以NA|·INF|·sin∠ANF+|NB|·INFl·sin∠BNF= INA|·INB|·sin∠ANB, 即sin<ANF+sin∠BNF_sin∠ANB NB NA NF 2sin∠ANFcos∠ANF NF 所以NA+NB _2cos∠ANF√3 NF 解得cos∠ANF= Γ29 所以cos∠ANB=2: 1 方法二由①知PF平分∠APB,又MF平分∠AMB, 所以-品-B路 又点N在△FMP的外接圆上，所以NA=IAFI NBIBF' 即NF平分∠ANB. 因为S△ANB=S△BNF十S△ANF, 所以号BN·ANs∠BA=号BN·1NF亩∠B 2 +ANI.INFlsin ZBNA 2 所以in<BNA sin∠BNA sin∠BNA 2 NF ANI -+BN, 所以2cos∠ANF1 NF =AN十TBN· 3 又AN+BN=NF, 所以2cos∠ANF=3,即cos∠ANF=5 21 所以cos∠ANB=cos60=号 60 第三章单元学能测评 1.A 2.C[由题意得F(-c,0),A(a,0),B(0,b).因为P是椭圆 上的-点，PFLx随将x=-代人号+芳=1将号+ 1y2 若-1，所以y-士会又OPMB,所以P(-e）k k,即--0Q整理得6=C,所以an∠BA0=点= a 3.B[(确定圆心和半径，计算得到|MT=MD|,则|MT一MS|I =SD=2,根据双曲线的定义得到答素) x2+y2-43y=0,即圆x2+(y-2√3)2=12，故S(0, 23),r=25, 因为SC平行于TM,|SD|=|SC引，所以|MT=|MD,故 |IT|-|MS1|=|SD|=2√3，故点M的轨迹为双曲线.] 4,D[由抛物线定义可知BF|=|AB|,因为直线AF的倾斜 角为150°，BA⊥x轴，∠BAF=60°，所以△ABF为等边三 角形，故|AF|=|AB=|BF|,∠BAF=60°，所以∠AFO= 60°，其中准线1与y轴的交点为P,则|PF|=2,故AF|= cos60=4,所以1AB1=4.] PF 5.D[由题意得a=1,b=√3，c=2,e=2, 设P(xoy),则P℉1|=|2x十1=5，解得x0=2或x0=-3. 当x。=2时，代人双曲线方程可得y=士3， 所以SAm=号F,F,·=6; 当xo=一3时，代入双曲线方程可得yo=士2√6， 所以SaA=21F,F,·=46. 综上所述，△P℉1F2的面积为6或46.] 6.D[2AP|=|AF|+|BF|=|AB|,如图，过点A,B分别 作准线的垂线，垂足分别为C,D两点，设AF|=m,由 A6-号得1AC=a,BD1=3a .'.AB=AC+BD=4m,PA =2m. 在Rt△PDB中，|PB|=6m,|BD|=3m, :cos∠PBD=cos∠BFx=2' 1 .∠BFx=60°， .AB|= 4 7.A[依题意，设F1(0,c),F2(0,一c),则过点F1且与渐近 线y=名x平行的直线的方程为y=名x十c,如图。 y-gtte a bc y=6x十c, x=-2a 联立 解得 即M(-%) =-6x, y=2' 因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2十y2=c2内， 所以(%)‘+(）<， 化简得b2<3a2,即c2-a2<3a2,故<2， 又双曲线的离心率e=￡>1， a 所以双曲线离心率的取值范围是(1,2).] 8.C[(由题意得四边形AF,BF1为矩形，可设|BF2|=t,则F,C 2t,BF,|=2a+t,CF1=2t+2a,分别在直角三角形CBF1和直 角三角形BFF2中运用句股定理，结合离心率公式可得所求值) 如图，连接AF1,BF1,CF1,由以AB为直径的圆恰好过左 焦点F,可得AF1⊥BF1,由双曲线的对称性得四边形 AF2BF1为矩形 F BF2=t,F2C|=2t,BF|=2a+t,CF|=2t+2a. 在直角三角形CBF1中，可得|BCI+|BF1I2=|CF1I2,即 为(8)P+(2a+)=(2+2a),解得=号 又在直角三角形BF1F2中，BF2I2+|BF1I=|F1F212, 则t2+(2a十t)2=4c2, 即为号+智-=，即有一日=平] 99 a 3 16-m>0, y2 9ACD[方程g千m十16m=1,9+m>0, 解得m∈ 16-m≠9十m, (-9,)U(?,16),此时曲线是椭圆，故A结误 由(9十m)(16一m)<0得m>16或m<一9，此时表示的曲 线是双曲线，故B正确 16-m>0, 由9+m>0, 解得一9<m<?,此时曲线表示焦点在 16-m>9十m, y轴上的椭圆， 故焦距为2√16-m-(9+m)=2√7-2m,不为定值，故C 错误 16-m>0, 由 解得m<一9，此时曲线表示焦点在y轴上的 (9+m<0, 双曲线，则焦距为2√16-m+(-9一m)=2√/7一2m,不为 定值，故D错误.] 10.ABD[设椭圆C的半焦距为c(c>0),由椭圆的定义得， C△ABr,=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,解得 a=2,由e=台-号解得=1，则=a2-c=61=3. 所以椭圆C:号+苦-1，放A正确， |AF11-|AF2|=1,结合1AF1|+|AF2|=2a=4,解得 AP=号，AF=,又IF,E:=2=2, 所以F,R+1AF=4+(侵)°-5-A,,即 △AF,F2是直角三角形，故B正确 若△AF1F2是直角三角形， ①当AF1⊥AF2时，当点A在上顶点或下顶点时， ∠F1AF2取得最大值， 此时1AP,=A,a=2ea/R,AR:=装日 所以∠F,AF,的最大值为，不存在AF⊥AF; ②当AF1⊥F1F2时，易知此时l共有2条； ③当AF2⊥F1F2时，易知此时l共有1条. 综上所述，使得△AF1F2为直角三角形的1共有3条，故C 错误 令A(x1y1),B(x2,y2),且y1>0>y2,由AF2=2F2B, 得y1=一2y2, 设AB=y+1,代入号+号一1整理得x+40y+ 3 -9=0, 6t 6t 所以1十=3x+41:=30十4即y3+4 9 22=3t+4' 所以x(年)广-片可得-1则-主 9 2 所以直线！的斜率为士号校D正确] 11.AD[如图，过点A作AN⊥MF,垂足为N,设A(x1, y1),B(x2y2), O 61 IAFI=IAMI,FNI=INMI.F(20),M(p, oN(2,o,-=√2px9-9, 6p ∴.tan∠AFM= 2 -=26,即直线AF的斜率为2√6，故 4 A正确. 由A可设直线AB:x=,1 √6 由 z=12y+乞'得y2_5 6y-p2=0, y2=2pz, 6p,y1y2=-p3. :BF可 ,又tan∠AFM=2√6， y2 y>y2,即>1. y2 .(y1十y2)212+2三一6，即2++=0， y1y2 y2 y1 y2 y1 6 y2 6（供)°+18…头+6-0解得兰昌或号 (y2/ y2 y2 又>1， AF=号BF,故B结误 w√6 p2w6 ANI tan∠AOF= ANI = = ON 3力 ,an∠AMF=MN 4 √ 2力 26,由B知y2=-3y=2x6 2 3, 4 6 y 1 y2 x=2p=p, ∴tan∠BOF=r2= =6, 1 √ tan∠BMF= 3p6 Ip-x2l 2 2 56 tan∠AOF+tan∠BOF 3 56 ∴tam∠AOB=1-tan∠AOF,tan∠BOp-1户4- 9 5√6 tan∠AMF+tan∠BMF 2 tan∠AMB=1-tan∠AMF,tan/BMF户6- √6 2 :'tan∠AOB+tan/AMB≠0， .∠AOB十∠AMB≠π，故C错误. 62 Sm=20F·Ml=号×号X+为Y-42 5 2p2,故D正确] 2么。[设与双面线号一-苦-1有共同南近线的双面线方程 为 4-8=≠0). :双曲线号-苦入经过点么，0以=音 =-1, ∴所求双通线的方程为号-苦1 设双自线号-等1的虚半错长为6，期6=2， .虚轴长2b=4.] 13.6.[如图，令点P在x轴上方，准线1与x轴的交点为M. y 因为点P(1,yo)在抛物线C上，根据抛物线的定义可得 1PQ=PF=1+名，MF=p,且∠FPQ=120”,则 ∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ为等腰三角形，且 60-言o-5(+) 在R△QMF中，∠MQF=60,即sin∠MQP-→ 3 ?(+) ,解得p=6,故点F到1的距离为6.] 14.2. [设A(任a)且a≠0，则切线方程为PA:x-号 a m(y-a),联立 x-4=m(y-a), 得y2-4my+4ma y2=4x, 。2=0,则4=(-m)P-4(ma-a)=0,可得m=受 所以切线方程为PA-台》学所以M(6号)》。 又抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0), 为-2,2-0 从而直线PA,FM的斜率之积为·0- -1, 4 所以PA⊥FM,同理PB⊥FN, 所以△PMN外接圆的直径为PF. 圆D:(x十3)2+(y-3)2=1的圆心D(-3,3),半径r=1, 外接圆直径PF的最小值为|FD|-1=√(-3-1)2+3 一1=4，所以外接圆半径的最小值为2.] πab=23r, a=2, 15.(1)由题意得a=2c, 解得 b=5, a2=b2+c2, 所以椭圆C的标准方程是 (2)由题意知直线1的斜率不能为0，设直线1的方程为x= my+1, (x=my+1; x2,y2得(3m十4)y十6my一9=0. =1, 3 设A(x1y1),B(x2,y2), 6m 9 所以h十y=一3m2+4=一3m2+4 所以11-1=+g)-4g-12yn打 3m2+4 所以Sas=号×OPX1:-为 6√m2+1 3m2+4 令t=√/m2+1(t≥1)， 6t 6 则m=-1Saw一3年1 1, 3t+ 因为y=3+在[1，十∞)上单调通增， 所以当t=1,即m=0时，△OAB的面积取得最大值，最大 值为 16.(1)由题意知A(-a,0),B(a,0),C(0,b),则CA=(-a, -b),CB=(a,-b),所以C4.CB=-a2+b2=-c2=-4, 即c=2. 又e=c=1 a ,所以a=4,6=Va2-c-25, 所以椭圆的标准方程为行千2二1】 (2)方法一设直线l:x=my十3，M(x1,y1),N(x2,y2), x=my+3, 由x2, 解得(3m2+4)y2+18my-21=0, 18m 21 则y1十y2= Γ3n2+4y1y2=-3mn2+4 7 所以my1y2=6y+y》. 因为椭圆的左、右顶点分别为A(一4,0)，B(4,0), 所以产产 所哈-y之音+》 :y21十0m1十72名y+y2)+7y2 1 7 6y1+6y21 7 149=7 6y1+6y2 方法二（齐次化）设MN的方程为p(x一4)十qy=1, 因为MN过定点(3,0)，所以p=一1. 由后+至-1得12近-0+灯+16y-16X12=-0, 整理得12(x-4)2十96(x-4)+16y2=0, 齐次化得12(x-4)2+96(x-4)[p(x-4)十qy]+16y2=0, 所以16y2+96q(x-4)y+(12+96p)(x-4)2=0, 令=之4所以16k2+96g0+12+96p=0, 又力=-1，所以kM·kN=12+962=-21， 16 4, 即ax=型 又由椭圆第三定义知k1·k则=一么-一12-一3」 a2 16 4 3 所以 41 21 -7 4 17.(1由题意得1AP1=2+台-3，解得P=2 (2公择长泽微-？香长计车运人个长度：到聚车说 电侧-架保惠列自个学负性质发显，于老它价于P即夫 ∠MPN的角平分线，从而PM与PN关于竖直线PF对称，它们 的斜率之和为0，故可狭此翩译，寻找满足条件的点P) PMMF 假设存在满足题意的点P,使得PN=NF' 则Aw2 lPpI·PMI·sn∠MPF IMFI·d S△PFN 2IPFI·lPN·sin∠NPF合INFI·d 其中d表示点P到直线l的距离， 结合-化筒得s血NMPF=s∠NPR 因为∠MPF和∠NPF都是锐角，所以∠MPF=∠NPF, 故kpM十kpN=O. ⊙ 设P(0,a),M(x1y1),N(x2y2), 则kM十kN=-a+y2-a=x2y1-a)十x(y2-a) x1X2 =x1y2十x2y1一a(z1十x2） Z1x2 结合①可得x1y2十x2y1一a(x1十x2)=0. ② 因为直线l过点F(0,1),且与抛物线C交于M,N两点， 所以1的斜率存在，故可设其方程为y=kx十1， 63 代入x2=4y,化简得x2一4kx-4=0, 判别式△=(-4k)2一4×1×（一4）=16(k2+1)>0, x1十x2=4k,x1x2=一4， 所以x1y2十x2y1=x1(kx2十1)+x2(kx1+1)=2kx1x2+ x1十x2=2k·(-4)+4k=一4k, 代入②得一4k一a·4k=0,所以(a十1)=0. ③ 要使③对任意的∈R都成立，应有a=一1， 所以y箱上存在点Po,-D.使-架恒成立 18.(1)由GM+GN+GH=0知点G是△HMN的重心，取点 F1(-1,0),F2(1,0),不妨设M(-3,0),N(3,0),则 GF,/HM,GF2∥HN,且|GF,|+|GF2=3(|HM 1 +HND=号18-6)=>E,P,=2, 所以点G的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆（除去长轴端点）. 设椭圆C的方程是二+X1a>b>0),则2a=4,2c专 y 于是b2=a2-c2=3,即椭圆C的方程为2十 =1(x≠ 土2) 所以点G的轨迹方程为十？z≠士 或报据椭圆定义求出点H的轨迹方程，然后利用重心坐标公 式求点G的轨迹方程 (2②)设Qx),A(y,B(,A=2-A回 PBI QBI (A>0,且A≠1)，所以AP=-λPB,AQ=λQB, 1-A,x=1+x2 所以4=，3=兴， 1+，y= y1+Ay2 1+入1 x1-λ2x2 从而4x= 1-A2, ⑦ 3y=星-喔 1一A2 ③ 又点A,B在椭圆上，即3x十4y=12, ③ 3x号+4y2=12, ④ 由①×3+②×4并结合③④可得12x+12y=12, 即点Q总在定直线x十y=1上. 19.(1)由题意列出关于a,b的方程组，求出双曲线的方程脚可得渐近 线方程 (2)①联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出MN的中，点D的 坐标，再利用w·知=一1，即可得到危与m之间的数量关系式. ②先@准衣求去MD,KD1,接黄由m∠MKD-把年可 64 求出∠MKD,再由∠MKN=2∠MKD即可得解 1)因为点(-2，-)在双曲线C上，所以名3 a262=1, 又离心率为2，则+6=2， a 23 a2 b2 =1, 联立 解得a=1,b=√， √a2+b2 =2, a 故双曲线方程为x2一1，渐近线方程为y=士3z, (2)①设M(x1,y1),N(x2y2), (y=kx十m, 2-号=1，则3-9x2-2mu-m2-3=0, 联立 31, 所以△=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)>0,即m2+3>k2, 且x1十x2= 2km 3-k2x1x2=-2十3 3-k2 则士=c1十m+c,+m=(运十x2)十2m=}0 则wv钟点为D(色士老，”士产)，即D()》 2 八3-k2'3-k2 3m 4- 因为线段MN的垂直平分线过点K(0,4),则3一 km 0一3-k2 k=一1，整理得k2十m=3. ②由0蜘知m=3一k,则x1十x,=2张v还1，=-m+3,Dk, m 3),则k>0,m<0,则m2+3>k2=3-m,解得m<-1. 因为|MN|=√k2+1·√(x1十x2)2-4x1x2 =V+1·+4.m+3 m =√质+·√/4(3-m)+4.m+3 m -2不·小+高 所以IMD1=2MN1=V+·√3+三 又KD|=√2+1， 所以a∠MKD=0-√3+高∈ow3, MD 即∠MKD∈(o,）, 又∠MRN=2∠MKD,所以∠MN∈(O,）,用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA, 第三章单 考试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) y? 1.已知椭圆10-m十m-21,焦点在y轴上，且 焦距为4，则短轴长为(). A.2W2 B.4 C.42D.8 2设0为坐标原点，从椭圆二十 ≥y三=1（红>6、 上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点F, 点A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点，且AB∥ OP,则tan∠BAO=(). A号 c n 3.已知圆x2十y2一4√3y=0的圆心为S,过点 T(0,-2√3)的直线m交圆S于C,D两点，过 点T作SC的平行线，交直线SD于点M,则点 M的轨迹为( ). A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线一支 4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,与 y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B 两点，且直线AF的倾斜角为150°，则|AB|= (). A.2W3 B.2√2 C.6 D.4 5双面线之一苦-1的左，右焦点分别为开，5， 双曲线上的一点P满足|PF1|=5,则△PF1F2 的面积为( A.4 B.6 C.4或46 D.6或46 6.经过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交C于 A,B两点，与抛物线C的准线交于点P,若 2AP|=AF|十|BF|,则|AB|等于(). A.43 B.4√6 c9 38 元学能测评 试卷满分：150分 7.(2026·浙江温州瑞安中学检测)已知F1,F2分 别是双曲线，一总1(a>0,b>0)的两个焦 点，过其中一个焦点且与双曲线的一条渐近线平 行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若 点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线 离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,W2) D.(√2，+∞) 8已知双通线B票-芸=1a>060的左，右 焦点分别为F1,F2,过原点O的直线与E的左、 右两支分别交于A,B两点，点C在E上，F,C =一2F2B,若以AB为直径的圆过点F1,则E 的离心率为( ). A四B四 3 C.7 3 D34 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分) y2 9.若方程g十m十16 ,=1所表示的曲线为C, 则下列说法错误的是( ) A.若C为椭圆，则一9<m<16 B.若C为双曲线，则m>16或m<-9 C.若C为椭圆，则焦距为定值 D.若C为双曲线，则焦距为定值 已知椭圆C:十=1(a>b>0)的左、右焦 点分别为F1,F2,离心率e=2,过点F2的直 线L与C交于A,B两点，且△ABF1的周长为 8,则下列说法正确的是( A帮圆G的方程为号-苦-1 B.若|AF1|-|AF2|=1则△AFF2是直角 三角形 C.使得△AF1F2为直角三角形的l共有4条 D若A证-P店则1的斜率为士号 11.已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p> 0)焦点F的直线与C交于A,B两点，其中A 在第一象限，点M(p,0),若|AF|=|AM,则 () A.直线AF的斜率为2√6 BAFI-号BF C.∠AOB+∠AMB=π 5√6 D.SMo24 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.与双曲线女一y 4一8=1有共同渐近线，且经过点 (2,4)的双曲线的虚轴长为 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准 线为l,点P(1,y)在C上，过点P作1的垂 线，垂足为Q,若∠FPQ=120°，则点F到1的 距离为 14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是圆D: (x+3)2+(y一3)2=1上一点，过点P作抛物 线C的两条切线，切点分别为A,B,若PA, PB分别与y轴交于点M,N,则△PMN外接 圆半径的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是 著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面 积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴 长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中，椭圆 C:2Ly2 :。+方=1(a>6>0)的面积为2w3元，两焦 点与短轴的一个顶点构成等边三角形，若过点 P(1,0)的直线1与C交于不同的两点A,B. (1)求椭圆C的方程； 第三章圆锥曲线的方程锥 (2)求△AOB面积的最大值. 16(15分)已知裤圆后+芳-1a>6>0)的离心 率为)，A,B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭 圆的上顶点，且CA·CB=一4，直线l:x=my +3交椭圆于M,N两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线AM的斜率为1，直线BN的斜率 为求密的值 17.(15分)设抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点为 F,点A(t,2)在抛物线C上，且|AF|=3. (1)求p的值. (2)过点F的直线l与抛物线C交于M,N两 点，在y轴上是否存在定点P,使 恒成立？若存在，求点P的坐标 若不存在，说明理由. 39 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA, 18.(17分)在平面直角坐标系Oxy中，已知 △HMN的周长是18，M,N是x轴上关于原点 对称的两点，若|MN|=6,动点G满足GM十 GN+GH-0. (1)求动点G的轨迹方程C; (2)设动直线1过定点P(4,3)与曲线C交于 不同两点A,B(点B在x轴上方)，在线段 AB上取点Q使得股-8求还：当 直线在运动过程中，点Q在某定直线上. 40 197分已知取曲线C:票茶-1c>0> 0)的离心率为2，点（一√2，一√3）在C上. (1)求双曲线C的方程及渐近线方程. (2)若直线1：y=kx十m交双曲线C的右支于 M,N两点，线段MN的垂直平分线过点 K(0,4). ①求k与m之间的数量关系式； ②求∠MKN的取值范围.