第3章 17 高考真题练（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 以高考真题为核心，强基计划与学科竞赛为提升，构建“基础巩固-能力拓展-创新探究”三阶分层，覆盖圆锥曲线全考点，通过真题情境培养数学思维与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质及直线位置关系|19题，选择、填空、解答题结合，基础题（如椭圆方程）到综合题（如轨迹方程证明）梯度递进| |强基计划|椭圆中垂直弦面积最值|1题，融合几何直观与代数运算，强化数学眼光| |学科竞赛|椭圆外角平分线、双曲线焦点三角形|2题，复杂情境下的逻辑推理，提升创新意识|

高考真题练 高考创新 1.(多选题)(2024新课标Ⅰ,11)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4①.则(　　) A.a=-2 B.点(2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤ ①教材回溯→曲线与方程. 考点1　椭圆的标准方程与几何性质 2.(2024新课标Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程①为　(　　) A.+=1(y>0)　　B.+=1(y>0) C.+=1(y>0)　　D.+=1(y>0) ①关键点拨→相关点法求曲线方程;对点突破→P288疑难1. 3.(2023全国甲理,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 考点2　直线与椭圆的位置关系 4.(2025全国二卷,16)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为①,求|AB|. ①关键点拨→用合适的形式表示圆锥曲线中三角形的面积. 5.(2025全国一卷,18)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=. (1)求C的方程; (2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3. (i)设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示); (ii)设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值. 6.(2025天津,18)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)若过点P的直线与椭圆有唯一的公共点B(B异于A),求证:FP平分∠AFB. 7.(2025北京,19)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程; (2)设O为坐标原点,点M(x0,y0)(x0≠0)在椭圆E上,直线x0x+2y0y-4=0与直线y=2,y=-2分别交于点A,B,设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2,比较与的大小. 考点3　双曲线的标准方程与几何性质 8.(2025全国一卷,3)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A.　　B.2　　C.　　D.2 9.(2025北京,3)双曲线x2-4y2=4的离心率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.(多选题)(2025全国二卷,11)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　　) A.∠A1MA2=　　 B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为　　 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 11.(2024新课标Ⅰ,12)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.  考点4　直线与双曲线的位置关系 12.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是　(　　) A.(1,1)　　B.(-1,2) C.(1,3)　　D.(-1,-4) 13.(2024北京,13)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为　　　　.  14.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上①. ①关键突破→设法通过与点P有关的点来研究点P的横、纵坐标,使得定值出现. 考点5　抛物线的标准方程与几何性质 15.(2025天津,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率为(　　) A.2　　B.5　　 C.　　D. 16.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2　　 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切　　 D.△OMN为等腰三角形 考点6　直线与抛物线的位置关系 17.(多选题)(2025全国一卷,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　) A.|AD|=|AF|　　B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6　　D.|AE|·|BE|≥18 18.(2025全国二卷,6)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3　　B.4　　 C.5　　D.6 19.(多选题)(2024新课标Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则(　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 强基计划 20.(2025山东大学强基计划)已知椭圆C:+=1,A,B为椭圆上两点,O为原点,OA⊥OB,则S△ABO的最小值为　　　　.  学科竞赛 21.(2025四川宜宾高中数学联赛)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,坐标原点为O,则Q与短轴端点间的距离的最小值为　　　　　.  22.(2025重庆高中联赛)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F1的直线与双曲线交于A,B两点,且∠AF1F2=30°,|F2A|=|F2B|,则双曲线的离心率为　　　　.  答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.ABD 2.A 3.B 8.D 9.B 10.ACD 12.D 15.A 16.AC 17.ACD 18.C 19.ABD 1.ABD　真题降维 关键信息 信息处理 曲线C上的动点(x,y)满足的条件 ×|x-a|=4 曲线过原点 解得待定参数a 点(2,0)是否在曲线上 将x=2,y=0代入检验 第一象限内的点的纵坐标的最大值 由F(2,0)结合图形分析,取x=2左侧的特殊值x=,判定y>1,得出反例 点(x0,y0)在C上 利用方程求出,由放缩法确定范围 解析　对于A,设P(x,y)为曲线C上一点,则x>-2且×|x-a|=4, 因为曲线过坐标原点O,所以×|0-a|=4,解得a=-2(舍正),因此A正确; 对于B,由A中分析可得曲线的方程为×|x+2|=4,又x>-2,所以方程为×(x+2)=4, 当x=2,y=0时,左边=×(2+2)=8-4=4=右边,即点(2,0)在曲线上,因此B正确; 对于C,由曲线的方程可得y2=-(x-2)2, 取x=,则y2=-=>1,所以C在第一象限内的点的纵坐标的最大值大于1,因此C错误; 思维创新:类比圆锥曲线的通径,由F(2,0)(当作焦点)知取x=2可解得y=1(取第一象限内的点,故舍去负值),借助题中位于第一象限的图形知在x=2的左侧附近曲线呈下降趋势,因此取x=2左侧的特殊值x=可得到反例,直观性和取特例是解决小题的有效方法 对于D,由点(x0,y0)在曲线C上,结合曲线C的方程得,=-≤, (解法创新:根据曲线的方程分离变量,通常情况下可由一个变量的范围得到不等式来确定另一变量的范围,而本题中变量分离后需先通过放缩得到目标不等式,然后解不等式来得到待求变量的范围) 所以-≤y0≤,因此D正确. 高考风向　突出考教衔接:本题中曲线上点的特征可关联到我们研究过的“椭圆、双曲线、抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离的比值为定值”. 聚焦学科素养:需要学生具备知识迁移能力,利用平时学习的曲线与方程思想及利用方程研究曲线性质的方法解决问题. 2.A　 名师点津 求谁设谁,设M(x,y)→P'(x,0)→用已知点的坐标表示相关点的坐标:P(x,2y)→将相关点的坐标代入已知曲线的方程,注意变量的范围. 解析　设M(x,y)(y>0),则P'(x,0),由中点坐标公式得P(x,2y),因为点P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2=16(y>0),因此线段PP'的中点M的轨迹方程为+=1(y>0). 考场速决　不妨取P(0,4),则P'(0,0),从而得中点M的坐标为(0,2),用此坐标检验各选项,只有A选项符合. 3.B　解法一:由椭圆方程知a=3,b=,则c==.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,即m+n=6,所以2mn=36-(m2+n2)①. 在△F1PF2中,=cos∠F1PF2,即=②. 将①代入②得m2+n2=21. 易得OP为边F1F2上的中线, 故|OP|2=(+)2 =(+2·+) = ==, 所以|OP|=. 解法二:设∠F1PF2=2θ,0<θ<,所以=b2tan=b2tan θ,根据椭圆焦点三角形的结论知,若△PF1F2为椭圆的焦点三角形,则=b2·tan 由cos∠F1PF2=cos 2θ===,解得tan θ=, 由椭圆方程可知a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 所以=×|F1F2|×|yP|=×2×|yP|=6×,所以=3, 则=9×=, 因此|OP|===. 解后反思　本题解法一是常规解法,解决椭圆或双曲线的焦点三角形问题时,常设出两焦半径的长度,结合圆锥曲线定义和题中给出的其他条件得到方程组,从而得到两焦半径之间的数量关系.针对运算目标进行整体运算是减少运算量的常用手段,体现了更强的运算目的性.圆锥曲线的定义常与解三角形结合,解题时,注意向量法在解三角形中的应用.解法二运用了椭圆中的二级结论,记住常用的二级结论有时对解选择题或填空题有很大帮助. 4.解析　(1)在椭圆C:+=1中,长轴长为2a=4,所以a=2,又离心率e==,故c=a=,所以b2=a2-c2=2, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设为k,则直线l的方程为y=kx-2, 由消去y,整理得(1+2k2)x2-8kx+4=0,所以Δ=64k2-16(1+2k2)=32k2-16>0,解得k<-或k>. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,设直线l交x轴于点M,则M,所以S△OAB=|OM|·|y1-y2|=·|(kx1-2)-(kx2-2)|=|x1-x2|=, S△OAB也可用以下方法得出:①设l与y轴的交点为P,则P(0,-2),则S△OAB=|OP|·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|;②S△OAB=|x1y2-x2y1|=|x1·(kx2-2)-x2(kx1-2)|=|x2-x1|(可参考下面的方法技巧(2)). 即= ==, 所以k=±,所以|AB|=|x1-x2|=×=. 方法技巧 圆锥曲线中图形面积的求法 (1)直接法:设直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,过C上一点P作PH⊥l于点H,则S△PAB=·|AB|·|PH|,其中|AB|由弦长公式求得,|PH|由点到直线的距离公式求得. (2)向量法:在△PAB中,设=(x1,y1),=(x2,y2),则S△PAB=||·||·sin θ=×=×=|x1y2-x2y1|(θ为,的夹角). (3)割补法:求不规则多边形的面积时,通常考虑将该多边形拆分为几个易于计算面积的规则多边形,或用一个大的规则多边形的面积减去几个小的规则多边形的面积;对于规则的三角形、平行四边形等,当底和高不便于计算时,也可以考虑将其拆分成若干个易于计算面积的三角形. 5.解析　(1)由题意得e==,且|AB|==,a2=b2+c2, 所以a=3,b=1,c=2,∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)(i)解法一:∵点R在射线AP上,A(0,-1),∴可设=λ=λ(m,n+1),λ>0, 则||||=λ||2=λ[m2+(n+1)2]=3,∴λ=, ∴=, ∴R. 解法二:设R(x0,y0),易知m≠0,mx0>0. ∵A(0,-1),R(x0,y0),P(m,n),∴kAP=,kAR=,故=, 又|AR|·|AP|=3,∴×=3, 即x0m=3,解得x0=,∴y0=, ∴点R的坐标为,. (ii)结合(i),知kOR====3kOP,化简得n2+m2+8n-2=0,即m2+(n+4)2=18, ∴P(m,n)在以(0,-4)为圆心,3为半径的圆上,记D(0,-4), 则|PQ|的最大值即为|DQ|max+3. 解法一:设Q(x,y),其中-1≤y≤1, 则|DQ|2=x2+(y+4)2 =9(1-y2)+y2+8y+16(提示:利用点Q在椭圆上,消掉x) =-8y2+8y+25=-8+27, 易知当y=时,|DQ=27,则|DQ|max=3,则|PQ|max=3(+). 解法二:设Q(3cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),则|DQ|2=(3cos θ-0)2+(sin θ+4)2=9cos2θ+sin2θ+8sin θ+16=8cos2θ+1+8sin θ+16=8(1-sin2θ)+8sin θ+17=-8sin2θ+8sin θ+25=+27≤27,当且仅当sin θ=时取等号, ∴|PQ|max=+3=3(+). 6.解析　(1)解法一:由题得左焦点为F(-c,0),右顶点为A(a,0). 由离心率e==,得a=2c. 由P为直线x=a上一点,可设P(a,m), 由直线PF的斜率为,得=,即=,所以=,解得m=c, 则P(a,c),即P(2c,c), 在△PFA中,|AF|=a-(-c)=a+c=3c,边AF上的高为|m|=c,所以S△PFA=|AF|·|m|=×3c×c=,解得c=1(舍负), 则a=2c=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1. 解法二:由题得左焦点为F(-c,0),右顶点为A(a,0),P在第一象限内. 设∠PFA=θ,P(a,h),则h=(a+c)×tan θ,tan θ=,又|FA|=a+c,所以S△PFA=×(a+c)2×tan θ=,所以(a+c)2=9,又e==,所以c=1,a=2,所以b=,所以椭圆方程为+=1. (2)证法一:由(1)得P(2,1),F(-1,0),A(2,0),所以=(3,1),=(3,0), 易知直线PB的斜率存在,设其方程为y=kx+t,则1=2k+t,即t=1-2k. 联立消去y,得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0, 因为直线与椭圆有唯一交点,所以Δ=(8kt)2-4(3+4k2)·(4t2-12)=0,即4k2-t2+3=0, 则4k2-(1-2k)2+3=0,解得k=-,则t=2,所以直线PB的方程为y=-x+2. 联立解得 则B,所以=, 所以cos∠BFP===, cos∠PFA===,则cos∠BFP=cos∠PFA, 又∠BFP,∠PFA∈,所以∠BFP=∠PFA,即FP平分∠AFB. 证法二:由(1)得P(2,1),F(-1,0). 因为过点P的直线与椭圆有唯一交点B, 所以PB与椭圆相切,设B(x0,y0),易得直线PB的方程为+=1,又P(2,1)在直线PB上,所以+=1①.又点B在椭圆上,所以+=1②.联立①②,解得x0=1或x0=2(舍),所以y0=,即B.设∠BFA=α,直线PF的倾斜角为β,则kBF=tan α==,kPF=tan β=.因为tan 2β==,所以tan α=tan 2β,即α=2β,所以FP平分∠AFB. 证法三:同证法二得B,又F(-1,0),P(2,1),A(2,0),所以kFB==,kPF==,kAF=0, 由两直线的夹角公式,得tan∠BFP==,tan∠PFA==,则tan∠BFP=tan∠PFA, 又∠BFP,∠PFA∈,所以∠BFP=∠PFA,即FP平分∠AFB. 知识拓展　两直线的夹角公式:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l1与l2的夹角为θ,则tan θ=. 7.解析　(1)由题意得2a=4,所以a=2,又e==,所以c=,则b2=a2-c2=2, 故椭圆E的方程为+=1. (2)联立消去x,整理得(2+4)y2-16y0y+16-4=0①, 又点M(x0,y0)在椭圆上,所以+=1,即2+4=8,16-4=8, 故①式可化简为8y2-16y0y+8=0,即(y-y0)2=0,所以y=y0, 所以直线x0x+2y0y-4=0与椭圆相切,M为切点. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 易知当x1=x2时,y0=0,由对称性可知,=. 当x1≠x2时,不妨设x2<x0<x1, 易知===, 联立可得x1=,y1=2, 联立可得x2=,y2=-2, 所以=== ==, 又== == =,故=. 综上可知,=. 8.D　设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,其中a,b,c>0. 由题意得,2b=2a,则=,则离心率e=====2. 9.B　解法一:双曲线方程x2-4y2=4即-y2=1,所以a=2,b=1,c==,所以e==. 解法二:双曲线方程x2-4y2=4即-y2=1,则a2=4,b2=1,则e2====,则e=. 10.ACD　解法一:不妨设点M,N所在的渐近线方程为y=x,M在第一象限内,如图, 对于A,由对称性可知,四边形NA1MA2为平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=,故A正确; 对于B,由已知得,|OM|=|ON|=c,可得MA2和NA1都垂直于x轴, 所以∠MA1A2=-=, 在Rt△MA1A2中,由正弦定理得=,则==,即|MA1|=|MA2|,故B错误; 对于C,由上述分析知,|MA2|=b,且tan∠A1MA2=tan ==,则e====,故C正确; 对于D,由上述分析,知平行四边形NA1MA2的面积S=2ab=4a2=8,故D正确. 解法二:对于A,根据双曲线的对称性知四边形NA1MA2为平行四边形,因为∠NA1M=π,所以∠A1MA2=π,A正确; 对于B,在△A1MO中(O为坐标原点),|A1M|2=a2+c2-2accos∠MOA1=a2+c2+2ac×=3a2+c2, 在△A2MO中,|A2M|2=a2+c2-2accos∠MOA2=a2+c2-2ac×=c2-a2, 在△A1MA2中,|A2A1|2=|MA1|2+|MA2|2-2|MA1|×|MA2|cos , 即4a2=3a2+c2+c2-a2-2·×,则13a2=c2, 所以|A1M|2=16a2,|A2M|2=12a2,所以|A1M|≠2|A2M|,B错误; 对于C,根据13a2=c2,得e==,C正确; 对于D,当a=时,|A1M|=,|A2M|=,所以四边形NA1MA2的面积为|A1M|×|A2M|sin =××=8,D正确. 11.答案　 解析　由题得|F2A|=|AB|=5, 所以|F1A|-|F2A|=2a=8,解得a=4. 又x=c时,y=±,即|F2A|==5点拨:通径长为,所以b2=5a=20, 因此c2=a2+b2=16+20=36,所以c=6, 所以双曲线C的离心率e==. 12.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为,设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,则kAB=,k=, ∵A,B在双曲线上,∴两式作差,整理得kABk=9. 对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-=1联立,消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,错误; 对于B,可得k=-2,则kAB=-,∴lAB:y=-x-,与x2-=1联立,消去y,得45x2+2×45x+61=0,Δ=-2 880<0,错误; 对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,错误,故排除A,B,C. 一题多解　在同一平面直角坐标系内作出双曲线x2-=1与渐近线y=±3x,如图.一条直线与双曲线交于A,B两点,与两条渐近线分别交于点C,D,可证线段AB的中点与CD的中点重合(同学们可自己完成证明).而CD的中点所在的区域为图中阴影部分(不包含渐近线和双曲线,但包含点(0,0)).题中所给出的4个点,只有点(-1,-4)位于阴影区域,故可以为线段AB的中点的是(-1,-4). 13.答案　 解析　联立化简可得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0, 因为直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,所以1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(1-4k2)(36k2+4)=0,可知k=±,验证可知,当k=±时符合题意. 考场速决　通过数形结合可直接分析得解.直线恒过定点(3,0),而双曲线的右顶点为(2,0),若直线与双曲线只有一个公共点,则只能是直线与双曲线的渐近线平行,故k=±. 14.解析　(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,c>0, 由题意知c=2,e==,则a=2,因此b2=c2-a2=(2)2-22=16,所以双曲线C的方程为-=1. (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2, 由题意可设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,由消去x并整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0, 易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,则y1+y2=,y1y2=,故y1+y2=y1y2. (传统思路:问题与两交点M,N均相关,故采用代数法,为消元作准备) 易知A1(-2,0),A2(2,0),设P(x0,y0), 由M,A1,P三点共线,得∥,则=, 由N,A2,P三点共线,得∥,则=, 联立,消去y0得=,解得x0=, (此种消元的手段是解题的要点:①利用直线方程化简分母:y2(x1+2)-y1(x2-2)=y2(ty1-4+2)-y1(ty2-4-2)=2(3y1-y2)(承上:将直线方程与双曲线方程联立,消去x,得到关于y的一元二次方程,启下:对分子的化简思路是先消去x);②从分子中先凑出分母的形式:2y1(x2-2)+2y2(x1+2)=2y1(x2-2)-2y2·(x1+2)+4y2(x1+2),再将4y2(x1+2)中的x1消去,得4y2(x1+2)=4ty1y2-8y2,最后结合根与系数的关系化简得到结论) 即x0=-2=-2=-2=-1,即点P在定直线x=-1上. 15.A　解法一:如图,过F1作平行于y轴的直线F1E,则直线F1E为抛物线的准线,过P作准线及x轴的垂线,使垂足分别为E,D,由题意知,|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c,|PF1|-|PF2|=2a, 解得|PF1|=3c+a,|PF2|=3c-a,由抛物线的定义得xP+c=|PF2|=3c-a,则xP=2c-a,则|F2D|=c-a,|EP|=3c-a, 所以|PD|==, 可得(3c+a)2-(3c-a)2=(3c-a)2-(c-a)2,化简可得2a=c,所以e==2. 解法二:设双曲线的半焦距为c,c>0.由题意得|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c,|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=3c+a,|PF2|=3c-a.因为F2为抛物线的焦点,所以p=2c,则抛物线方程为y2=4cx,可得抛物线的准线为直线x=-c,过点P向准线作垂线,垂足为E,则根据抛物线的定义可知|PE|=|PF2|,设点P(x0,y0),则x0+c=3c-a,得x0=2c-a,代入y2=4cx可得=8c2-4ac,则在Rt△PEF1中,|PE|2+|EF1|2=|PF1|2,即(3c-a)2+(8c2-4ac)=(3c+a)2,整理得c=2a,所以e==2. 16.AC　 ∵直线y=-(x-1)过焦点,∴=1,∴p=2,故A正确. 由A选项知抛物线方程为y2=4x. 由消去y,得3(x2-2x+1)=4x,即3x2-10x+3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1, ∴|MN|=|x1-x2|=,速解:易知直线y=-(x-1)的倾斜角α=,故可用二级结论得|MN|===故B错误. 由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=(|MM'|+|NN'|)=|MN|, ∴以MN为直径的圆和l相切,(点拨:此为结论,可以熟记,用来解决小题)故C正确. 由B,C选项中分析可知M,N(3,-2),|MN|=,∴|OM|=,|ON|=,显然|OM|≠|ON|≠|MN|,∴△OMN不是等腰三角形,故D错误. 17.ACD　由y2=6x知,焦点F,l:x=-是其准线.如图. 由抛物线的定义知,|AD|=|AF|,因此A正确. 设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2). 联立消去x并整理,得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9, 则x1+x2=+=6m2+3, 所以|AB|=|AF|+|BF|=+=(x1+x2)+3=6m2+6, 当m=0时,|AB|min=6,即|AB|≥6,因此C正确. 当m=0时,直线AB与x轴垂直,|AB|=6,|AF|=3,易知|EF|=3, 所以|AE|==3≠|AB|,因此B错误. 依题意得△ADE≌△AFE, 过B点作BM⊥l于M,易得△BME≌△BFE,所以AE⊥BE,因此|BE|·|AE|=2S△AEB, 由EF⊥AB知,直线EF的方程为y=-m·,因此E, 所以|EF|==3, 所以S△AEB=|AB|·|EF|=(6m2+6)·3≥9,所以|AE|·|BE|=2S△AEB≥18,因此D正确. 18.C　如图所示, 在y=-2x+2中,令y=0,得x=1, ∴F(1,0),∴抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1, 当x=-1时,y=4,∴B(-1,4),∴yA=4,则xA=4, ∴|AF|=|AB|=4-(-1)=5(或|AF|==5). 19.ABD　由题意知l的方程为x=-1,A(0,4),☉A的半径r=1, 显然圆心A到l的距离d=1=r,故l与☉A相切,故A正确. 当P,A,B三点共线时,易知P(4,4),∴|PA|=4,易得|AQ|=1,则|PQ|===,故B正确. ∵|PB|=2,∴P点的横坐标为1, ∴P(1,±2). 当P的坐标为(1,2)时,B(-1,2), 又A(0,4),∴=(-1,2),=(-1,-2),∴·=1-4=-3≠0, 当P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),又A(0,4),∴=(-1,6),=(-1,-6),∴·=1-36=-35≠0. 综上,·≠0,∴PA与AB不垂直,故C错误. 由题意知抛物线的焦点为F(1,0),由抛物线定义知|PB|=|PF|, 若|PA|=|PB|,则|PA|=|PF|,∴P点在线段AF的中垂线上, 易得该中垂线的方程为y=x+, 联立消去y得4x2-196x+225=0, ∵Δ=(-196)2-4×4×225>0, ∴该方程有两个根,设为x1,x2,则x1+x2=>0,x1x2=>0, ∴该方程有两个正根, ∴满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,故D正确. 20.答案　 解析　不妨设|OA|=r1,|OB|=r2,A(r1cos θ,r1sin θ),则B(-r2sin θ,r2cos θ). 把点A的坐标代入椭圆方程,得+=1,化简得=. 把点B的坐标代入椭圆方程,得+=1,化简得=. 故S△ABO=r1r2 = =, 因为(4cos2θ+9sin2θ)(4sin2θ+9cos2θ) =16sin2θcos2θ+36cos4θ+36sin4θ+81sin2θcos2θ =36(sin4θ+cos4θ)+97sin2θcos2θ =36[-2sin2θcos2θ]+97sin2θcos2θ =36+25sin2θcos2θ=36+sin22θ, 所以S△ABO=. 由题易知sin 2θ∈[-1,1], 所以sin22θ∈[0,1], 故当sin22θ=1时,S△ABO取得最小值,为==. 21.答案　1 解析　由题意知PQ⊥QF1,延长F1Q,交F2P的延长线于点M, 则|PM|=|PF1|,∴Q为线段MF1的中点, 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10, ∴|MF2|=|PM|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=10, ∵O,Q分别为F1F2,MF1的中点, ∴|OQ|=|MF2|=5, ∴点Q的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆, 由椭圆方程知短轴端点为(0,±4), ∴当点Q在y轴上时,其与邻近的短轴端点间的距离即为所求的距离的最小值,为5-4=1. 22.答案　 解析　不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c(c>0),点A在双曲线的左支上,如图,取AB的中点C,连接F2C,则F2C⊥AB. 设|AF1|=x,x>0,由双曲线的定义知|AF2|=|BF2|=x+2a,|BF1|=x+4a,从而有|AB|=4a,|AC|=2a. 由∠AF1F2=30°,∠F1CF2=90°,知|CF1|=|F1F2|,即x+2a=c,可得x=c-2a. 又|CF2|=|CF1|=,在Rt△ACF2中,|AC|2+|CF2|2=|AF2|2,所以(2a)2+=(x+2a)2, 解得x=(-2)a(舍负),于是c-2a=(-2)a,可得c=a,即离心率e==. 7 学科网（北京）股份有限公司 $