第2章 直线和圆的方程 单元学能测评-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA, 第二章单)了 考试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.(2026·浙江宁波镇海中学月考)已知直线1： 3mx+(1-2m)y-2025=0的倾斜角为平，则 m等于(). A.1 B.-1 c 2.设m∈R,过定点A的动直线x十y=0和过定 点B的动直线mx一y一m十3=0交于点P,点 P到直线x一3y+9=0的距离为d,则d的取 值范围为(). A.[0,√10) B.[0,w√10] C.[0,210) D.[0,2√10] 3.已知直线3x-4y十2=0与圆M:x2十y2十 2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N:(x十1)2十 (y一1)2=1的位置关系是( ). A.相交 B.外切C.内切D.外离 4.(2026·湖北黄冈中学月考)已知直线1过点(0， 4),且与直线√3x一y+4=0及x轴围成等腰 三角形，则直线1的方程为( A.√3x+y-4=0或W3x-3y+12=0 B.√3x-3y+12=0或W3x-y+4=0 C.√3x-y+3=0 D.W3x+y-3=0 5.汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高 悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人 民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角 坐标系Oxy中，由点P(3,5)出发的一束光线经 直线l:x一y一2=0反射后到达圆C:(x十1)2十 (y一3)2=9上某一点，则光线经过的最短路程 为(. A.2√17-3 B.3+2√2 C.2√5-3 D.√59 22 元学能测评 试卷满分：150分 6.(2025·湖北十一校联考)若直线x十y一2=0 分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆 (x十4)2十y2=2上，则△ABP面积的取值范围 是(). A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,32] D.[2√2,3√2] 7.设圆C:(x-1)2+(y-1)2=3,直线1：x十y十 1=0,P为l上的动点，过点P作圆C的两条切 线PA,PB,切点分别为A,B,则下列说法中不 正确的有() A.圆C上恰有两个点到直线l的距离为1 B四边形PACB面积的最小值为2号 C.存在点P使∠APB=120° D.直线AB过定点(0,0) 8.已知P(xpyp),Q(xQyQ)是曲线C:6x2-6x +7y2-21+|y2+6x-3|=0上不同的两点，O 为坐标原点，则(). A.x品十y后的最小值为1 B.4≤√(xp-1)2+y吊十√(xp十1)2+y3≤6 C.若直线y=k(x一3)与曲线C有公共点，则 e[停 D.对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P, 都存在唯一点Q,使得曲线C在P,Q两点处 的切线垂直 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分)】 9.(2026·安徽六安一中单元检测)已知直线11： x-y-1=0,动直线l2:(k十1)x+y十k= 0(k∈R),则下列结论正确的是(). A.不存在，使得12的倾斜角为90° B.对任意的，l1与l2都有公共点 C.对任意的k,l1与l2都不重合 D.对任意的k,l1与l2都不垂直 10.已知直线l:xcos0+ysin0+1=0,圆C:(x cos0)2+(y-sin0)2=1,其中0∈[0，π]，则下 列说法正确的是(). A.直线l与圆C相离 B当9=5时，直线1的斜率不存在 C.若点Q(x,y)为圆C上任意一点，则x2+y2 的最大值为2 D.过直线I上一点P作圆C的切线，切点为 A,PA|的最小值为√3 11.已知O是坐标原点，直线L1:mx-y-2m十 1=0与直线l2:x+my十2十m=0相交于点 P,点A(x1,y1),B(x2y2)均是圆C:(x-3)2 十(y-4)2=4上的动点，且|AB=23,Q是 AB的中点，则下列说法正确的是(). A.IOP=5 B.|PQ|的最小值为2-5 C.PA·PB的最大值为38十12W5 D.|x1+y1-1|+x2十y2-1|的最大值为12 十2√2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若曲线y=2+√1-x2与直线y=k(x-1)十4 有两个交点，则实数k的取值范围是 13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿 基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B 的距离之比为定值入（入>0且入≠1）的点的轨 迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称 为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角 坐标系Oxy中，A(-1,0),B(2,0),点P满足 |PB|=2PA|,设点P的轨迹为曲线C,则下 列说法正确的是 ①曲线C与圆x2+y2-2x一8y+8=0有且仅 有三条公切线 ②曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为 x2+(y-2)2=4 第二章直线和圆的方程锥 ③若点D(x,y)在曲线C上，则x十3y的取 值范围是[一6,2] ④在x轴上存在异于A,B的两点E,F,使得 PF-2PE 14.著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定 理：半径分别为r1,r2,r3的三个圆两两外切， 同时又都与半径为，的圆外切，则2(，，十 十已知01(-2,0)，02(2,0 0,(0,),若圆01,0,0，两两外切，且都与 圆O4外切，其中圆O1,O2的半径相等，则圆 O4的标准方程为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2026·湖南岳阳一中月考)已知直线 l:ax一y十2-a=0恒过点P,且与x轴、y轴 分别交于A,B两点，O为坐标原点. (1)求点P的坐标； (2)当点O到直线l的距离最大时，求直线1的 方程； (3)当|PA|·|PB|取得最小值时，求△AOB 的面积 23 用重难点手册高中数学选择性必修第-册RJA 16.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(2 0),B(2,4),C(4,2),直线1经过点D(1,4). (1)求△ABC外接圆M的方程； (2)若直线1与圆M相交于P,Q两点，且PQ =2√3，求直线1的方程. 17.(15分)一个小岛（点O)的周围有环岛暗礁，暗 礁分布在以小岛为圆心，半径为1km的圆形 区域内，轮船在小岛正东方2km的B点处，如 图，以小岛中心为原点O,正东方向为x轴的 正方向，正北方向为y轴的正方向建立平面直 角坐标系，取1km为单位长度. (1)若轮船沿北偏西45°的航向直线航行，轮船 是否会有触礁风险？说明理由 (2)若直线L过点B,且其倾斜角为直线y= 1 2x的倾斜角的2倍，求1的一般式方程， 并求暗礁边界上动点P到直线！的距离的 最小值. KB 0 轮船正 24 18.(17分)圆C过点M(一2,0)及原点，且圆心C 在直线x十y=0上. (1)求圆C的方程. (2)如图，定点A(1,3),由圆C外一点P向圆 C引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|= IPAl. ①求点P的轨迹方程； ②求|PC-|PA|的最大值. C。 M 19.(17分)如图1，已知圆心C在x轴上的圆C经 过点D(3,0)和E(2,3).过原点且不与x轴 重合的直线l与圆C交于A,B两点(A在x轴 上方) 图1 图2 (1)求圆C的标准方程； (2)若△ABD的面积为√1I,求直线l的方程； (3)将平面Oxy沿x轴折叠，使y轴正半轴和 x轴所确定的半平面（平面AOD)与y轴负 半轴和x轴所确定的半平面（平面BOD) 互相垂直，如图2，求折叠后引AB|的范围.(2)根据题意，设P(x,y),若|PA|2+|PB2=a,则|PA+ |PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=a,变形 可得x2+y2-2十3=号，即x2+y-102=号-2，则点 P的轨迹是以0,1)为圆心，√分-2为半径的圆. 若圆C上存在两个点P,使得|PA2+|PB2=a,则圆C 与圆x2+(0y-1)2=号-2相交， 两圆的圆心距d′=√4十1=√5， 则有√号一-2-2<5<号-2+2解得2-85< a a<22+8√5，故实数a的取值范围为(22一8√5,22+8√5). 81圆C的标准方程为(。-多)'+0-2y- 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程x一5=0，与圆相切. 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=(x一5)，即 kx-y-5k=0. 因为直线1与圆相切，所以d= √k2+1 质=最 故所求直线1的方程x一5=0或9x一40y一45=0. (2)令y=0,得x2-5x十4=0，则x=1或x=4,所以M(1, 0),N(4,0). 假设存在圆O:x2十y2=r2,当直线AB与x轴不垂直时，设 直线方程y=k(x一1)， y=k(x-1), 联立 得(1+k2)x2-2k2x+k2一x2=0. x2+y2=r2, 设A(x1y1),B(x2y2), 22 从而x1十x2一1十2x122-r 1十2： 因为NA,NB的斜率之和为 y1⊥y2_k[(x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)] x1-4x2-4 (x1-4)(x2-4) (x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)=2x1x2-5(x2+x1)+ 8=2X63x2 1+6+8=8-22 1+-5X,22 1+k2, 因为∠ANM=∠BNM,所以NA,NB的斜率互为相反数， 即十产40所=即r 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM,即 NA,NB的斜率互为相反数. 综上所述，存在圆O:x2+y2=4,使得∠ANM=∠BNM. 国O:x2+y2=4是相对于点M,N的阿 该罗尼断国，AM=号AN 第二章单元学能测评 1.C 2.B[动直线x十my=0过定点A(0,0),将动直线mx-y一 x-1=0, m十3=0整理为m(x-1)+3-y=0,令 解得 3-y=0, x=1,y=3,即直线恒过定点B(1,3). 因为1×m十m×(-1)=0,所以直线x十my=0与直线mx 一y一m十3=0垂直，所以点P在以AB为直径的圆上，圆 心为c(日，名），半径r=Ac1=√（合-o)+(-o) -0 ,圆心C到直线x-3y+9=0的距离为d √12+32 -0=,所以直线x一3+9三0与圆 2 C相切，即点P到直线的距离的取值范围为[0，√10].] 点P到直线的距离的最小值为0，最大值为圆的 直径2r=√10 3.B[将圆M的方程化为标准形式(x+a)2+y2=a2,则圆 心为（一a,0),半径rM=a(a>0). 因为直线3x一4y+2=0与圆M相切，所以圆心到直线的 距离等于半径， 由点到直线的距离公式得-3a+2-a,结合a>0,解得 5 a=号，放圆M的圆心为(-子o0）,半径w=子 1 1 圆N的圆心为(-1,1)，半径rN=1. 两圆的圆心距d=√(-4+1)'+(0-1y=号，因为d +7、=是+1=，所以两圆外切.] 4.A[如图，设A(0,4),直线3x-y+4=0过A(0,4)和 B(后j,显装4引 当直线1的方程为x=0时，直线1，直线3x一y+4=0与 x轴围成的三角形是△AOB,不是等腰三角形，所以直线L 的斜率存在. 设点B关于)轴的对称点为c(后小，当直线1过A,C两 点时，|AB|=|AC|,△ABC是等腰三角形，同时由于直线 AB的斜率为3，倾斜角为，所以△ABC是等边三角形， 所以AC=BC,此时直线1的方程为圣十学=1，即，3x 5 +y-4=0. 设直线L与x轴相交于点D,若|AB|=|BD|,则∠ADB= 音，所以直线AD的斜率，即直线1的斜率为号，对应方程 √3 为y=号x+4,即3x-3)+12=0.] 35 D 3x-y+4=0 5.A[如图，设光线由点P出发，经过直线1上的点F反射后 与圆C交于点G,所以光线经过的路程为|PF|十FG引. C 6-P 设P'(a,b)是点P关于直线l的对称点， 5-bx1=-1, 3-a (5-b=a-3, 则 即 13-5-21_la-b-21 (4=|a-b-21, √12+1 √12+1平 a=7, 解得 即P'(7,1). b=1, 由对称性可知，PF|=P'F|,即|PF|+FG=|PF|+ |FG引=|PG,显然，当P',F,G,C四点共线时，|P'G|最 小，此时|P'G=P'C1-0G=√82+2-3=2√/17-3.] 6.B[由题意得，A(2,0),B(0,2),则|AB=22,圆(x十4)2+ y2=2的圆心为（一4,0），半径为√2，则圆心到直线x十y一 2=0的距离d,-一4+02-32，故点P到直线工十 √12+12 y一2=0的距离d2的取值范围为[2√2,4√2]，则S△4即= 2ABld,=Ed,∈[4,81.] 7.C[如图，圆心C(1,1)到直线1：x十y十1=0的距离为d= 中2号，因为圆的半径为=，所以婴 √2 2 √3<1，所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为1，故A 正确. y 1PC≥d=3,因为圆的半径为r=3,根据切线长公式 2 9 6 可得PA|=√PC-7≥√/2-3=？，所以PA的 取值范围为 6 当PC⊥1时取等号 因为PA⊥PC,所以四边形PACB的面积等于2XS△PAC= A·AC=1PA≥5×-3盟，因边形PACB 3 面积的最小值为号，故B正确 因为∠APB=120°，所以∠APC=60°.在直角三角形APC 中，2S-m60-复所以1CP-2 设P(a,-a-1),因为|CP|=√(a-1)2+(-a-2)7=2, 整理得2a2+2a+1=0,方程无解，所以不存在点P使 ∠APB=120°，故C错误. 设P(x0y0),则yo=-1一x0,P(x0,-1一x0), 以C为直径的圆的圆心为（士，），半径为 2,-D+(一-2，所以以PC为直径的圆的方 程为(-2）+(-1}-2++， 2 4 化简得x2十y2-xox-x十xoy=1,所以AB为圆C与以 PC为直径的圆的公共弦. (x-1)2+(y-1)2=3, 联立可得 两式相减可得x Ax2+y2-xoz-z+xoy=1, x0x十x0y十2y=0,即直线AB的方程为x一x0x十x0y十 2y=0,即x(1一xo)+y(xo+2)=0,故直线AB过定点(0， 0),故D正确.] 8.A[因为6x2-6x+7y2-21+y2+6x-3|=0,所以当 y+6x-3≥0时，曲线C的方程为6x2+8y°=24，即号十 苦=1，此时y-8X-),所以6版 4≥0，解得0≤ x≤8，所以曲线C是右半椭圆. 当y2+6x-3<0时，曲线C的方程为6x2+6y2-12x-18 =0,即(x-1)2+y2=4(-1≤x<0),曲线C是以(1,0)为 圆心、2为半径的圆在y轴左侧的部分， |OQ12=x品+y品，当点Q位于椭圆部分时，最小值为3，当 点Q位于圆部分时，最小值为1，所以最小值为1，故A正确. 当P(-1,0)时，√(xp-1)+yp+√(xp+1)2+yp=2, 故B错误 当直线y=k(x一3)过点(3,0)时，若直线y=k(x一3)与曲 线C有公共点，只需该直线与椭圆部分有公共点即可，由 y=k(x-3), 得(3+42)x-24k2x+36k2-12=0, 3x2+4y2-12=0, △=(-24k2)2-4×(36k2-12)×(3+4k2)≥0，解得k2≤ 号，即-西<西，故C错误 当点P(1一√2，W2)时，曲线C在点P处的切线方程为y= x十2√2一1，此时点Q可以是(1一√2，一√2)，也可以在曲线 C的椭圆部分上，切线的斜率可以为任意实数，点Q不唯 一，故D错误.] 9.BD[动直线12：(k+1)x+ky十k=0(k∈R),即k(x十y+ 1)十x=0,令x十y+1=0,可得x=0,y=-1,则它经过定 点(0，-1). 当k=0时，可得直线12：x=0,故它的倾斜角为90°，故 A错误， 由于点(0，一1)也在直线1上，故对任意的，l1与12都有 公共点，故B正确 当1=安，即=子时，与的斜家相等，此时， 与l2重合，故C错误. 当=0时，直线2：x=0,它与直线1不重合，令k十1=一1， 及 此方程无解，故对任意的，11与12都不垂直，故D正确.] 10.AD[对于A,圆C的圆心为C(cos0,sin0),半径为1，所 以圆心C(cos0,sin0)到直线l:xcos0+ysin0+1=0的 距离d=os0+sim0+1-2>1,所以直线1与圆C相 √cos20+sin0 离，故A正确 对于B,当0=受时，直线L:y十1=0，斜率为0，存在，故B 错误 对于C,如图，x2十y2表示圆上的点Q(x,y)到原点O的距离 的平方，又圆心C(cos0,sin0)在以原点为圆心的单位圆上 运动，所以OQ|mx=2,故x2十y2的最大值为4，故C错误. 对于D,因为|PA|=√PC2一1，所以当|PC|最小时， PA|取得最小值，故当PC⊥L时，PC取得最小值d=2, 所以PA|mn=√3，故D正确.] 11.ACD[因为l1:m(x-2)一(y一1)=0与直线l2:(x十2)+ m(y十1)=0，所以直线l1,l2必过定点E(2,1),F(-2, 一1)，所以线段EF的中点为O(0,0),且EF|=2√5. 又由直线方程可知11⊥L2,点P在以EF为直径的圆O: x2十y2=5上，直线1：m(x-2)-(y-1)=0不包括直线 x=2,直线l2:(x+2)+m(y+1)=0不包括直线y=一1， 所以点P的轨迹是以EF为直径的圆O:x2十y2=5[除去 点M(2,一1)]，则OP|=√5，故A正确， 因为AB|=23,所以|AQ|=1. 又圆C:(x一3)2+(y一4)2=4上的圆心为C(3,4),半径 r=2,所以圆心C到线段AB的距离d=|CQ|= √/TCA2-AQ平=√22-(W3)2=1,0C1=√32+4= 5,则|PQm=5-5-1=4-5,故B错误. O,P,Q,C四点顺次排列并共线（满足点P与 ,点M不重合) PA·PB=(PQ+QA)·(PQ+QB)=(PQ+QA)·(PO QB)=|PQ12-QA12=|PQ12-3,则1PQ|x=5十5十 1=6十5，所以(PA·PB)mx=|PQ1-3=(6+5)2- P,0,C,Q回，点顺次排列并共线（满足点P与点M不重合） 3=38十12√5，故C正确. 设直线L3:x十y-1=0,A(x1y1),B(x2,y2),A,B,Q到 直线，的距离分别为d1,d,d,则d=+-山，d, √2 _1x+-1,由梯形中位线可知d1十d,=2d,所以 ② lx1+y1-1+|x2十y2-1=√2(d1+d2)=2W2d. 又圆心C到直线L,的距离d4=3+4一1=3w2,cQ= √2 1,所以d4-|CQ|≤d3≤d4+|CQl,即32-1≤d3≤ 32+1,则|x1+y1-1|+|x2+y2-1=2W2d3≤12+ 2√2，故D正确.] 2(年] 13.①③④.[设P(x,y),因为A(-1,0),B(2,0),PB|= 2PA|,所以√(x-2)2+y2=2√(x+1)2+y,化简可得 点P的轨迹为圆C:(x十2)2+y2=4,其圆心C为(-2， 0),半径r=2. 因为圆G:x2+y2-2x-8y十8=0可化为(x一1)2+(y 4)2=9,所以圆心G为(1,4)，半径'=3，所以圆心距为 1CG引=√32+4=5=x'十r,所以两圆外切，所以两圆有 且仅有三条公切线，故①正确 因为圆心C(-2,0)关于直线y=x的对称点为(0，-2)，所 以圆C关于直线y=x的对称圆为x2十(y十2)2=4，故② 错误 若点D(x,y)在圆C:(x+2)2+y2=4上，则直线t=x十 √3y与圆有公共点，所以圆心C(一2,0)到直线x十3y 4=0的距离d=2≤，=2，解得1∈[-6,2]，故③正 2 确.因为点P的轨迹为圆C:(x十2)2+y2=4,因为A(一1， 0),B(2,0)关于圆心C(一2,0)的对称点分别为E(一3,0)， F(-6,0),所以|PB|=|PF|,|PA|=|PE. 又PB|=2PA|,所以PF1=2PE|,所以x轴上存在异 于A,B的两点E(-3,0),F(-6,0),使得|PF|=2PE|,故 ④正确.] 142+0-》'= ,[设圆01,02,03,04的半径分别 为r1r2,r3r4, r1=r2, r1=r2=2, 由题意得n十r:=0,0:=4,解得1 +r,=0,0,=号， r=2 2r4 37 十士十诗解得= 1 1 4 由O1O4=O2O41,可知点O4在线段O1O2的中垂线 上，即y轴上， 10,04=√4+a=2+6, 设O4(0,a),由题意得 解 o,o-g-a3+日 得a=名，即圆0，的圆心0，(0，），半径r=日所以 圆0，的方程为x+6-吾)”-=6] 15.(1)直线l:a.x-y十2-a=0,整理得a(x-1)-y+2=0, 可得直线恒过点P(1,2) (2)要使点O到直线1的距离最大，则OP⊥L,可得OP|= √12+22=5， 即点0到直线L的距离d=2a=1OP1=5, w√/a2+1 两边平方得-红+十4=5，整理得4a2十a十1=（2a十 a2+1 1)2=0,所以a=-2, 1 所以-7x-y+号-0，即x+2y-5=0, 5 (3)由题意知直线的截距均不为0，结合(1)可得 A(。.0),B0,2-a,且a0a≠2 因为P(1,2) 所以PA1=√。-+0-2=2√层+1， |PB|=√1-0)2+(2-a-2)7=√a+1, 所以PA1·PB=2√层+1VG+-2(1a+ a)≥4， 当a=士1时等号成立☑ 所以当a=士1时，PA|·PB取得最小值 当a=1时，A(-1,0),B(0,1),此时△A0B的面积为2 当a=-1时，A(3,0),B(0,3),此时△A0B的面积为2 9 综上所述，△A0B的面积为号或号 16.(1)因为A(2,0),B(2,4),C(4,2),所以k4c=1,kc=一1， 所以EAB·AC=-1,所以CA⊥CB. 又因为CA=CB=2√2，所以△ABC是等腰直角三角形， 所以⊙M的圆心是AB的中点，即圆心M(2,2),半径r= AB1=2, 2 所以⊙M的方程为(x一2)2十(y一2)2=4. (2)因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2√3时， 38 圆心到直线的距离为d=√22-(W3)2=1, 当直线1与x轴垂直时，此时直线的斜率不存在， 直线l为x=1,与圆心M(2,2)的距离为1，满足条件。 当直线1的斜率存在时，设1：y一4=k(x一1)，即x一y十 4-k=0, 则圆心到直线的距离为d=12k-2+4=k+2=1, √k2+1√k2+1 解得及=一子， 此时直线1的方程为y一4子（女一D.即x十4y一19 =0, 综上可知，直线1的方程为x=1或3x十4y-19=0. 17.(1)由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆 O的方程为x2+y2=1, 轮船航线所在直线过点(2,0)，且斜率为一1， 所以航线所在直线的方程为x十y一2=0， 2 故原点到直线的距离为d= √12+12 =2>1, 所以轮船没有触礁风险. 1 (2)记直线1的倾斜角为a,直线y=2x的倾斜角为月， 由题意知a=23, 1 4 tan B=2k=tan a=tan 28-3. 直线1的方程为y=等（红-2），即4红-3y-8=0, 易知原点到直线l的距离为d= 8 √32+z一5>1，所以圆 直线1与国0相禽 3(km, 上动点P到直线1的距离的最小值为号-1= 18.(1)由题意知圆C过点M(-2,0)及原点， 则线段OM的垂直平分线方程为x=一1， x=-1, 又圆心C在直线x+y=0上，联立 x十y=0, x=-1, 解得{ 则圆心为C(一1,1)， y=1, 故半径r=OC=√2， 故圆C的方程为(x十1)2+(y-1)2=2. (2)①设P(x,y),如图，连接P℃，CQ,则PQ⊥CQ. 根据勾股定理可得1PQ2=|PC2一|CQ2, 而1PQ|=|PA|,即得(x十1)2+(y-1)2-2=(x-1)2+ (y-3)2,即得2x十2y-5=0, 即点P的轨迹方程为2x十2y一5=0. ②设C关于直线2x+2y一5=0的对称点为C(m,n), m+iX(-1)=-1, n-1 则 2x"2+2×”号-5=0， 2 3 m= 2 解得 7 即c(受） n=2' 故IIPC-|PAII=IIPC'I-|PAI|≤ICA 当P点位于CC'上时，等号成立 故PC-PA的最大值为号 19.(1)由题意，设圆心C(a,0),半径为r(r>0). 因为圆C经过点D(3,0)和E(2,√3)，可得1CD|=|CE|, 即√(a-2)2+(3)2=|a-3,解得a=1, 所以x=|CE=2, 所以圆C的方程为(x一1)2+y2=4. (2)当直线l的斜率不存在时，此时1的方程为x=0, 可得AB|=2√3， 此时△ABD的面积为Sam=号×25X3=3,不符合 题意，舍去 当直线l的斜率存在时，设直线1的方程为y=x,其中 k≠0，即kx一y=0, 可得圆心C(1,0)到直线1的距离为d1= √k2+1 由圆的弦长公式可得 1AB1=2F-d=2,/4- /kl 2 /3k2+4 √2+1/ =2√2+1 由OD|=3OC1,可设点D(3,0)到直线l的距离为d2= 3d,=3k1 √2+I 所以△ABD的面积为SAAm=2X2,√2+1 1 /3k2+4、 3 k2十1 =√I, 整理得16k4+142-11=0, 解得及“=弓或及= 11 一8（舍去）， 所以=士号所以直线能方程为y=士号 (3)当直线1的斜率不存在时，此时直线的方程为x=0, 可得A(0,√3)，B(0,一√3)， 此时△AOB为等腰直角三角形，可得|AB|=√6； 当直线I的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx,≠0， 且A(x1y1),B(x2y2), [y=kx, 联立方程组 (x-1)2+y2=4, 整理得(k2+1)x2-2x-3=0, 由一元二次方程根与系数的关系可得△>0，且x1十x2= -3 2+1x1x2中1 如图，过点A作AM⊥x轴，垂足为M,过点B作BN⊥ x轴，垂足为N, 则|AB|2=|AM|2+|MN|2+|BN|2=(x1-x2)2+y+y =(x1-x2)2+k2x+k2x号 =(k2+1)(x号十x)-2x1x2 =(k2+1)[(x1十x2)2-2x1x2]-2x1x2 -4+3X9+0-6+5-6+4 k2+1 k2+1 因为+1>1，所以6+与∈(6,16， 所以|AB|∈(6,4). 综上可得，折叠后引AB的取值范围为[V6,4). 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 变式训练 [变式1门由三角形的角平分线性质知BQ OB OPOP =2, ..BQ=2QP BQ 设点Q(x,),P(x0)(≠0)，QP=2这个等式不毫用 距离公式来翩译，而应利用 则(x一2，y)=2(x0一x,y0一y)，三点共线转化为向量的形式 3x-2 x-2=2x0-2x, [o= 2, y=2y0-2y, 3y yo=21 y0≠0，y≠0 又点P在圆O上， (32)‘+(）)°-1， 即(2-号)'+y°=告y≠0，此即点Q的轨迹方程 基础过关练 1.B 2.A[在△ABC中，因为2sinB=sinA+sinC,所以2b= 39