专题06 直线与方程18大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题06 直线与方程18大题型 题型1 斜率几何意义 题型10 三线能围成三角形问题 题型2 斜率与倾斜角 题型11 直线方程系 （难点） 题型3 斜率与倾斜角：三角范围型 （重点） 题型12 含参型直线（单定点） （重点） 题型4 斜率与倾斜角：代数值域型 题型13 含参双动直线 （双定点） 题型5 直线的方向向量 （常考点） 题型14 直线光学性质：对称 题型6 三点共线 题型15 “将军饮马型” 题型7 直线平行与垂直 题型16 平行线 题型8 截距式应用 （重点） 题型17 几何意义：构造距离 题型9 直线与坐标轴围成的三角形 题型18 几何意义：绝对值型 题型一、斜率的几何意义 （共3小题） 1．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 2．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知实数满足，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得. 【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为.    故答案为：. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 题型二、斜率与倾斜角 （共3小题） 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）经过两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为经过两点的直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：C. 5．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 6．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 题型三、斜率与倾斜角：三角范围型 （共3小题） 7．（多选）（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，求得，即可判断；对于B，由题意可得，求出的范围，即可判断；对于C，求得直线的斜率为，从而可得其倾斜角为，即可判断；对于D，由题意可得，求出其倾斜角的取值范围，即可判断. 【详解】对于A，， 故直线的斜率的取值范围为，故A错误； 对于B，因为直线的斜率为，， 即，， 即，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，直线的斜率为， 又倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，故C错误； 对于D，直线的斜率为， 由于，所以， 因此， 设直线的倾斜角为， 则有， 由于， 所以， 即倾斜角的取值范围是，故D正确． 8．（25-26高二上·云南·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是_________. 【答案】 【分析】时，倾斜角为；时，将方程化为斜截式，根据斜率的范围，求出倾斜角范围. 【详解】当时，此时直线方程为，不存在，故， 当时，方程可化为，所以， 由可得或， 即， 设直线的倾斜角为，由可得， 综上，. 故答案为：. 9．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，先算得的取值范围，再结合斜率与倾斜角的关系求解即得. 【详解】依题意，直线的斜率，则，所以. 故答案为： 题型四、斜率与倾斜角：代数值域型 （共3小题） 10．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 11．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可. 【详解】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 题型五、直线的方向向量 （共3小题） 13．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方向向量计算斜率，结合倾斜角与斜率的关系及倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，根据倾斜角的定义可知. 已知直线的一个方向向量为，则. 又，可得. 因为，解得. 14．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：A． 15．（25-26高二上·湖北·期中）直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定.设直线经过点，它的一个方向向量是，是直线上的任意一点，则存在唯一的实数，使，即，我们把这个方程称为直线的参数方程.已知直线的参数方程为（为参数），则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的方向向量，即可求出斜率，从而求出倾斜角. 【详解】因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的方向向量， 所以直线的斜率，又，则. 故选：D 题型六、三点共线 （共3小题） 16．（25-26高一下·天津·期末）已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，， 则， 由，，三点共线， 则，共线，故， 解得． 17．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）记坐标原点为，已知，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由三点共线得关系，进而将表示为的二次式，由二次函数性质求最值. 【详解】不妨设，则， 由三点共线可得，即，， 此时， 当且仅当时等号成立． 即的最小值为． 18．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知，，，若、、三点共线，则______. 【答案】/ 【分析】根据向量共线可得，即可根据正切的二倍角公式求解. 【详解】,由于、、三点共线，故共线， 因此，故， 则 题型七、直线平行与垂直 （共3小题） 19．（25-26高二上·上海·期中）设，若直线与直线垂直，则___________． 【答案】2 【分析】根据直线垂直得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 故，解得. 故答案为：2 20．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线，，若，则实数的取值为______. 【答案】 【分析】根据两直线平行时系数的关系，列出方程，求出a值，检验即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，，即， 此时两直线重合，故舍去， 当时，，，符合题意， 综上，a的值为1. 故答案为：1 21．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）已知直线与直线平行，则实数的值为________. 【答案】 【详解】因为与平行， 故，整理得，解得或. 验证是否重合： 当时，化简为，化简为，两直线重合，不符合要求，舍去； 当时，为，为，两直线斜率相等且截距不同，满足平行条件. 综上，实数的值为. 题型八、截距式应用 （共3小题） 22．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 23．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）直线经过点且与两坐标轴的正半轴分别交于两点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】确定直线方程，由点在直线上得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】根据已知设直线方程为，得：， ，当且仅当时取等号. 故选：D 24．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据已知，讨论截距是否为0，分别设直线为、，结合所过的点求参数，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，令直线为，则，故， 当截距不为0时，令直线为，则，故， 所以，所求直线为或. 故选：D 题型九、直线与坐标轴围成的三角形 （共3小题） 25．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，则，解方程再结合题意可求出，即可得出答案. 【详解】直线的斜率为，可设l的方程为. 令，得，由题可知:，得， 由于在第一象限与坐标轴围成三角形，所以，所以选C项． 故选：C. 26．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先判断直线与坐标轴相交的前提，求出直线在轴和轴上的截距，判断一元二次方程的实根个数，不同的实根对应不同的直线，实根个数即为满足条件的直线条数。 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意，， 所以或， 所以或， 设，则或，则或， 解得或， 即或， 所以这样的直线有条. 27．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】若直线与两坐标轴的正半轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取直线与坐标轴围成的面积的最小值， 当直线过第一象限、第二象限、第三象限或过第一象限、、第三象限、第四象限时， 直线与坐标轴围成的面积的取值范围为, 因为过共有4条不同的直线与坐标轴围成的面积为，故. 故选：C . 题型十、三线能围成三角形问题 （共3小题） 28．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 29．（多选）（26-27高二上·河南新乡·开学考试）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 30．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 题型十一、直线方程系 （共3小题） 31．（21-22高二上·全国·课后作业）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故两点和所确定的直线方程是， 故选:A. 32．（24-25高二上·安徽·阶段检测）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故直线的方程是. 故选：A. 33．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 【答案】平行 【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】由题意可得， 则方程， 即， 它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等， 故表示与平行的直线， 故答案为：平行 ． 题型十二、含参型直线（单定点） （共3小题） 34．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时， 当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为， 所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为. 故选：B 35．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析直线经过定点，再利用两点间的距离求点到直线的距离的最大值. 【详解】对直线：， 由. 即直线经过定点. 所以点到点的距离就是点到动直线的最大值， 所以. 故选：C 36．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 题型十三、含参双动直线 （双定点）（共3小题） 37．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再由两条直线的位置关系可得，进而利用基本不等式求解即得. 【详解】直线过定点，直线，即过定点， 又，即直线与直线垂直， 因此，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为5. 故选：C 38．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 39．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________. 【答案】1 【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果. 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 题型十四、直线光学性质：对称 （共3小题） 40．（24-25高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【详解】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 41．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B 42．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点为的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以， 又因为，所以，解得或， 故或. ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点， 此时. ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点， 此时，与选项不符，舍去. 综上，可知的值为. 故选：C 题型十五、平行线 （共3小题） 43．（25-26高二上·湖北十堰·期末）若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题知直线与直线平行，进而得，再根据配方求最值即可. 【详解】因为关于，的方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，即， 所以,即的最小值为. 故选：B 44．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 45．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值为 【答案】1 【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可. 【详解】由，可得直线与平行， 故，解得， 故答案为： 题型十六、“将军饮马型” （共3小题） 46．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 47．（多选）（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 48．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 题型十七、几何意义：构造距离 （共3小题） 49．（22-23高二上·四川南充·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图像是轴对称图形；    ②函数在上单调递减； ③函数的值域是；    ④方程有4个不同的实数解． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误. 【详解】表示x轴上的点到，和的距离之差的绝对值. 对于①，当点在左右对称位置时，到，和的距离之差的绝对值相等，所以的图象是轴对称图形，①正确； 对于②，时，点从左向右靠近，到，和的距离之差的绝对值变小，所以在上单调递减，②正确； 对于③，当点在时，，取最小值0，又因为，所以值域为，③正确； 对于④，由③得，当时，，所以在上有两个不同的解，，和各有两个解，故有4个实数解，④正确. 故选：D. 【点睛】④中方程解的个数问题，注意的值域为，所以的解需在上，才能有两个解. 50．（多选）（22-23高一上·浙江·阶段检测）已知函数，下列四个判断正确的是（    ） A．的值域是 B．的图象是轴对称图形 C．的图象是中心对称图形 D．方程有解 【答案】AB 【分析】根据两点间距离公式，结合函数对称的性质逐一判断即可. 【详解】， 设，则， 对于A，因为与x轴不相交（即P、A、B三点不共线），所以等号不成立， 因为，所以，所以的值域是，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，显然不正确，（若C正确，则结合B可得为周期函数，矛盾），故C错误； 对于D，因为，而且0和值域，即不存在或者， 所以方程无解，故D错误. 故选：AB． 【点睛】关键点睛：根据两点间距离公式进行求解是解题的关键. 51．（多选）（22-23高一上·四川成都·期末）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，设，，，则．下列关于函数的描述正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形； B．的图象是中心对称图形； C．方程无实数解； D．函数的值域为． 【答案】ACD 【分析】利用函数对称性的定义可以判断A；利用两点之间线段最短判断选项D；利用函数的值域进行判断选项BC. 【详解】 ， 对于A， ， ， ， 的对称轴为，故A正确； 对于D，由题知，， ，， 故函数的值域为，故D正确. 对于B，根据选项D，函数的值域为， 则的图像不可能是中心对称图形，故B错误； 根据选项D，对于C，设，方程 等价于，即 ，解得 或，， 当或时，不成立，即方程无解， 故C正确； 故选：ACD 题型十八、几何意义：绝对值型 （共3小题） 52．（23-24高二上·湖北荆门·期末）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为 . 【答案】 【分析】对已知变形为，然后转化为仅有三条直线满足和到直线（不过原点）的距离t相等，然后对进行分类讨论求解即可. 【详解】由已知得，，整理得， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离t相等； 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线. （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等， 注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数t为，，，它们的和为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用以及方程组解的个数问题解法，解题的关键是把问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线（不过原点）的距离t相等，属于难题. 53．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】将转化成，由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，则题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，分类讨论即可得出答案. 【详解】将转化成， 由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等， 题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等， 设直线，，， 易得解析式为， 因为，所以直线不过原点， ， 若，则直线为线段的垂直平分线或者与平行， 若直线为线段的垂直平分线，设，中点为，则， 因为，，所以， ，即； 若直线与平行，则，令，， 则， 由点到直线距离公式可得， 解得或，代入得或， 恰有三个不同的实数对满足关系式； 若，如图所示，对于固定的，存在四条不同的直线使得条件成立， 要排除掉其中一种情况，则某一条直线过原点， 若直线过原点且过，则解析式为，则，符合题意； 若直线过原点且与平行，则解析式为，则，符合题意； 将，以及进行比较得. 54．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与方程18大题型 题型1 斜率几何意义 题型10 三线能围成三角形问题 题型2 斜率与倾斜角 题型11 直线方程系 （难点） 题型3 斜率与倾斜角：三角范围型 （重点） 题型12 含参型直线（单定点） （重点） 题型4 斜率与倾斜角：代数值域型 题型13 含参双动直线 （双定点） 题型5 直线的方向向量 （常考点） 题型14 直线光学性质：对称 题型6 三点共线 题型15 “将军饮马型” 题型7 直线平行与垂直 题型16 平行线 题型8 截距式应用 （重点） 题型17 几何意义：构造距离 题型9 直线与坐标轴围成的三角形 题型18 几何意义：绝对值型 题型一、斜率的几何意义 （共3小题） 1．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 2．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知实数满足，且，则的最小值为__________. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型二、斜率与倾斜角 （共3小题） 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）经过两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．1 D．3 5．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 题型三、斜率与倾斜角：三角范围型 （共3小题） 7．（多选）（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角的取值范围是 8．（25-26高二上·云南·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是_________. 9．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 题型四、斜率与倾斜角：代数值域型 （共3小题） 10．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为______． 11．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 题型五、直线的方向向量 （共3小题） 13．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）若直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·湖北·期中）直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定.设直线经过点，它的一个方向向量是，是直线上的任意一点，则存在唯一的实数，使，即，我们把这个方程称为直线的参数方程.已知直线的参数方程为（为参数），则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型六、三点共线 （共3小题） 16．（25-26高一下·天津·期末）已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）记坐标原点为，已知，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知，，，若、、三点共线，则______. 题型七、直线平行与垂直 （共3小题） 19．（25-26高二上·上海·期中）设，若直线与直线垂直，则___________． 20．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线，，若，则实数的取值为______. 21．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）已知直线与直线平行，则实数的值为________. 题型八、截距式应用 （共3小题） 22．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 23．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）直线经过点且与两坐标轴的正半轴分别交于两点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 24．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 题型九、直线与坐标轴围成的三角形 （共3小题） 25．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的斜率与直线的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 26．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 27．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十、三线能围成三角形问题 （共3小题） 28．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 29．（多选）（26-27高二上·河南新乡·开学考试）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 30．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 题型十一、直线方程系 （共3小题） 31．（21-22高二上·全国·课后作业）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·安徽·阶段检测）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（    ） A． B． C． D． 33．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是 ． 题型十二、含参型直线（单定点） （共3小题） 34．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 题型十三、含参双动直线 （双定点）（共3小题） 37．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 38．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 39．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________. 题型十四、直线光学性质：对称 （共3小题） 40．（24-25高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 42．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十五、平行线 （共3小题） 43．（25-26高二上·湖北十堰·期末）若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 44．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 45．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值为 题型十六、“将军饮马型” （共3小题） 46．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 47．（多选）（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 48．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 题型十七、几何意义：构造距离 （共3小题） 49．（22-23高二上·四川南充·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图像是轴对称图形；    ②函数在上单调递减； ③函数的值域是；    ④方程有4个不同的实数解． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（多选）（22-23高一上·浙江·阶段检测）已知函数，下列四个判断正确的是（    ） A．的值域是 B．的图象是轴对称图形 C．的图象是中心对称图形 D．方程有解 51．（多选）（22-23高一上·四川成都·期末）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，设，，，则．下列关于函数的描述正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形； B．的图象是中心对称图形； C．方程无实数解； D．函数的值域为． 题型十八、几何意义：绝对值型 （共3小题） 52．（23-24高二上·湖北荆门·期末）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为 . 53．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 54．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 2 / 24zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $