第1章 空间向量与立体几何 单元学能测评-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步练习册（人教A版）

铺重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 第一章单 考试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)》 1.已知向量a=(4,一2，-4)，b=(6,一3,2)，则下 列结论正确的是(). A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.a|=6 2.已知向量p=(1,3,入)，a=(2,-1,3),b= (-1,4,一2)，若p与a,b共面，则实数入= (). A.-2 B.-1C.1D.2 3.已知平面a的法向量n=(一1,1,0)，平面β的 法向量m=(1,0,一1)，则平面a与平面3的夹 角为(). A.30° B.60° C.60°或120° D.120 4.已知a=(2,3,1),b=(1,一2，-2)，则a在b上 的投影向量为(). A.2b R-2hC号b n号b 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D 中，E为CD的中点，则点D'到平面AEC'的距 离为(). D B A D 号 B 1 3 3 D 6 3 6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3，底 面边长为2，则直线AB1与侧面ACC1A1所成 角的正弦值等于(). A B①30 13 c号 8 元学能测评 试卷满分：150分 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为BC的中点，点P在线段DE上，点P 到直线AA1的距离的最小值为( D B A46 B26 C36 5 5 5 D 15 5 8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底 面ABCD,AB∥CD,2AB=BC=CD,BC⊥ CD,侧面A1ABB1为正方形，设点O为四棱锥 A1-CC1D1D外接球的球心，E为DD1上的动 点，则直线AE与OB所成的最小角的正弦值为 (). 号 a25c29 D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分) 9.已知向量a=(-2,-1,3),b=(1,-3,2),d= (2,1,x),则下列命题中正确的是(). A若a⊥c,b⊥c,c|=√3，则c=(1,1,1) B.以a,b为邻边的平行四边形的面积是7√3 C若x<日，则a,d之间的夹角为钝角 D.若>号，则a,d之间的夹角为锐角 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,G分别为棱A1D1,AA1,CD的中点， 则( D E A.BE.BF=6 B.B1G⊥平面BEF C.EF⊥BF D点B,到平面BEF的距离为夸 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB= 90°，AC=CB=CC1=4,P为棱B1C1的中点， Q为棱BB1上的动点，平面APQ与棱A1C1 交于点R,则下列说法中正确的是( R A.存在点Q,使得A1Q⊥AP B.线段C1R长度的取值范围是[0,2] C.当点Q与点B重合时，四棱锥C-AQPR的 体积为16 D.设截面AQPR,△APR,△APQ的面积分 「97 别为51S2S则SS€4,2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b,PC= c,若BE=xa+yb十c,则x十y十之= 3,如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，者B之 k,且AB1与BC1所成角的大小为60°，则k的 值为 A 第一章空间向量与立体几何铺 14.已知空间向量OA,0,0心的模均为1,0A· 0成-2,0成.0心-0A.0心--2若存在 非零实数入，4，使得OA+O=OM,BC- BN,且OM·MN=BN·MN=0,则λ-4 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD,PD=DA= 2,DC=1,M是BC的中点，点Q在PM上，且 PQ=2QM. (1)求证：DQ⊥平面PAM; (2)求平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值. 16.(15分)已知在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面 ABCD,PD=CD=2,AD=AB=1,AB_ DA,AB//CD. (1)求证：平面PAD⊥平面PCD; (2)设M是棱PC上的点，若二面角M-BD-A 的余弦值为一 ,试求直线BC与平面 3 BDM所成角的正弦值. B 9 用重难点手册高中数学选择性必修第-册RJA 17.(15分)在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC= 90°，AD=2BC=2CD=2,E为AD的中点， 如图1.将△DEC沿EC折起至△PEC的位 置，使平面PBE⊥平面ABCE,如图2. 图1 图2 (1)求证：PE⊥平面PBC; (2)若F为线段PB上的点（不含端点），且BF =λBP,设二面角B-CF-E的平面角为O, 且1eas1=,求A的值 18.(17分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 正方形，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD, PO=3,AB=2,平面PAB∩平面PCD=L. (1)求证：l∥AB (2)如图，M∈l且PM=1,求点M到平面 PBC的距离. (3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q,在 线段PB上是否存在点E,使得直线PQ与 平面AEC所成的角的正弦值为3105 7 35 若存在，请确定点E的位置；若不存在，请 说明理由. 10 19.(17分)如图1，在梯形ABCD中，AB/∥CD,E 是线段AB上的一点，BE=CD=CE=√2， BC=2,将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置. E -E1 B 图1 图2 B 图3 (1)如图2，若M分别是BC的中点，二面角P ED-B为直二面角，求证：ME⊥平面 PED: (2)如图2，若二面角P-ED-B为直二面角， M,N分别是BC,PE的中点，若直线MN 6,求平面 与平面PBC所成角为0，sin9> PBC与平面PEC所成锐二面角的余弦值 的取值范围； (3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线 叫作两条异面直线的公垂线，如图3，K为 线段CE的中点，G,H分别在线段PK, CD上（不包含端点），且GH为PK,CD的 公垂线，记四面体CKGH的内切球半径为 ,求证：>2(kG+a)C℃1B2为中间的两个平面，易知A2为AC1的中点，B2为 O,B的中点.因为正方体ACB01A,CB,O的棱长为32 2 2A42=32 所以0，A=32 3W/1 4 ,所以点A到04A的距离为0A·A42_3四 OA2 10 所以每相邻平行平面间的距离为3，故C正确.建立如 10 图所示的空间直角坐标系，则A(,0.o0),00o,32）, 8(o,32o,c(9,32,32）设点Q,由 Q0=2Qa1可得产+y+(。-82)°=[(-32) 十y+],化简可得(x-22)2+2+(+号）=4，可 知点Q的轨迹是平面ABC与以点M(2W2,0,-)为球 心，2为半径的球的截面圆上，店-(3,30)C- (o,要，号）设平面ABC的法向量为m-红，y则 m=-39+,=0.衣m3g,3g 2y+2x=0, 取x=1y=1e=-1则m=11,-D,a7=(受0，号）， 所以点M到平面ABC的距离为m一后=S,所以 m 截面圆的半径为，22- =,所以线面圆的周长 为230 3 ，故D正确.] A 方法总结 解决与球相关的切、接问题 (1)定球心：如果是内切球，球心到切，点的距离相等且 为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为 半径 (2)作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽 可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的 关系)，达到空间问题平面化的目的 (3)求半径，下结论：根据作出截面中的几何元素，建立 关于球半径的方程，并求解 第一章单元学能测评 1.D 2.C[由共面定理可知，存在非零实数x,y满足p=xa十yb, 1=2x-y, x=1, 则3=一x+4y,解得y=1,] λ=3x-2y, -1. 3.B[由cos(m,n）= m·n (-1,1,0)·(1,0,-1) m|n|√/+1+0X√/1+0+1 专得m,m〉行，所以平面e与平面8的夹角为受，即 3 60.] 406鼎6--2222 Γ12+(-2)2+(-2)2 6=2=6-2.6= 9 ·6,故a在b上的投影向量为号.] 2 3 5.D[分别以AB,AD,AA为x轴、y轴、之轴正方向建立如 图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(合，1,0， C'11,1,D0,11DA2=(分1,0)，aC-=11,1. D B A D AE.n=0, 设平面AEC的法向量n=(x,y,之)，则 得 AC.n=0, 2x+y=0, 取y=1,得n=(-2,1,1),又D'C=(1,0, x十y十之=0， Q),所以点D'到平面AEC'的距离为n·C- 6.A[取A1C1的中点D1,连接B1D1,则由正三棱柱的性质 可知B1D1⊥平面ACC1A1,设AC的中点为D,分别以 D1B1,D1C1,D1D所在的直线为x轴、y轴、之轴建立如图 所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,3),B1(√3,0,0)，平面 ACC1A1的法向量n=(1,0,0),AB1=(W5,1,-3),设AB1 与平面ACC1A1所成的角为0，则sin0=|cos(AB1,n)= 1×√131 15 7.A[以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系. B 则D1(0,0,2),E(1,2,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),可得D1E (1,2,-2),AA1=(0,0,2).设D1P=AD1E=(a,2A,-2), 入∈[0,1]，所以P(a,2λ，2-2)，A1P=(a-2,2λ，-2)，所 以点P到直线AA1的距离为A1P12 /AP·AA1l2 √/a-2)2+4以2+42--4以) =√5入2-4以+4= √6()+≥停-5，即点P到直线A,距肉 2 的最小值为智] 一当=后（满足题意）时，等号成立 8.D[以CD,CB,CC1分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示 的空间直角坐标系，设AB=1,则A(1,2,0),C(0,0,0), B(0,2,0) HA 球心0在平面CDD,G的投影坐标为(1,0，），设球心 0(1h,2)则aA=0c,即，√a-+h-23+() √下++（合），解得h=子所以0(1，子，）设E2 0a),则EA=(-1,2,-a),0成=(-1，，-2)，所以 ￥ae[0,1 lcos (EA,OB) IEA.OBI 1+号+ IEAIOBI va+5×35 5 71 2+2a 14+2a Va+5×3,535×Va+ ,设7十a=t,则a=7 4 14+2a 2t t,t∈[7,8]，所以 3√5×√a2+535×√2-14t+54 气，当：=时，有最大值为 16 2 5 25,此时直线AE与OB所成的角最小，对 5 35×入√54 应的正弦值为。1一（ 26) 5 -51 9.BD [设c=(a,b,c),由a⊥c,b⊥c,得 -2a-b十3c=0, 化简得a=b=c.因为c=√3，所以c= a-3b+2c=0, (1,1,1)或c=(-1,一1，-1)，故A错误.由a=(-2,一1， 3),b=(1,-3,2),得a·b=一2+3+6=7，a=/14, a·b 7 1 |b1=4,所以os(a,b>=1ab-/4X√-2’ 即ab=音，所以sm《a,b)-号所以以a,6为都边的 平行四边形的面积S=a·bsim〈a,b)=14X5 73,故B正确.若x=-3,则d=(2,1,-3)=-（-2,-1, 3)=-a,即a,d共线反向，故c错误若x>号，则a·d= -4-1+3x=-5十3x>0,此时a,d之间的夹角为锐角， 故D正确.] a与d不会同向共线/ 10.ABD[以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，则D(0,0,0),F(2,0,1),E(1,0,2),B1(2,2,2), B(2,2,0),G(0,1,0) D BE=(-1,-2,2),BF=(0,-2,1),B1G=(-2,-1,-2), E乎=(1,0，-1)，BB1=(0,0,2),B正.BF=6,故A正确。 因为BE·BG=0,BF.BG=0,BF·EF≠0，所以BE⊥ B1G,BF⊥BG,直线BF与直线EF不垂直，又因为BE∩ BF=B,所以B,G⊥平面BEF,故B正确，C错误.点B1 到平面BEF的距离为 函B在-合D正确了 IB 11.BCD[以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为 x轴、y轴、x轴建立如图1所示的空间直角坐标系. R B A丝 x 图1 则A(4,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,4, 4),C1(0,0,4),P(0,2,4),设点Q(0,4,a),R(b,0,4),其 中0≤a≤4,0≤b≤4.若存在点Q,使得A1Q⊥AP,且 A1Q=(-4,4,a-4),AP=(-4,2,4),由A1Q·AP-16+ 8十4(a一4)=0，得a=-2,不符合题意，故A错误.设AR= mAP+AQ,其中m,n∈R,则(b-4,0,4)=m(-4,2,4)+ -4m-4n=b-4, n(-4,4,a),即2m+4n=0, 得6=5。+4因为 4m+an=4, 0≤a≤4，所以-8≤a-8≤-4，所以6=216g十4∈[0,2]！ 故B正确.当点Q与点B重合时，a=0,则b=1,此时点R 为A1C1的中点，如图2所示 图2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，则 AB∥A1B1且A1B1=AB,所以P,R分别为B1C1,A1C 的中点，所以PR/A,B,且PR=A,B1,所以PR/AB 且PR=AB.同理C,RAC且CR=AC,CP/BC 且CP=号C,所以器-能-8=之：放几何体 ABC-RPC,为三棱台.因为Sam=号AC·BC=8, 国为平面PCR惮面ABC,由对应边成比例得到AR,BP, CC1必交于一点，放几何体ABC-RPC1为三棱台 SACR=2CP,CR=2,所以VAR RPC1=3(S△Ac十 SA十/MESE)·0C,=号×14X4=9, 3 Ve匹=号Sa·0C,=专×2X4=号，所以ee 1 VARC-RPC,-VeRPC,.=16,故C正确.因为AP=(-4,2,4), AQ=(-4,4,a),所以点Q到直线AP的距离为d1= |AQ12 /AP·AQl\2 IAPI √5a2-68a-1,A求=(b 3 4,0,4),则点R到直线AP的距离为d2= AR·AP2 4W5a2-68a-1 API 3(8-a) ，所以5 d2=4 SS+s2-++2=8a 8-a故s5 4十 S2S3 S3 S2 8-g+2,令t=8-a,0≤a≤4，则t∈[4,8]，则y= 4大 严由对匀函数的性质可知 专+2因为y=生+冬十2在：[4，止单调通增，所以 当：=4时y=4:当：=8时m=号则，∈ [4,]故D正确] 12-分[因为酝=P啦-P店=Pò-P店=P心+ C而)-P店-？P元+BA)-P店-？(P元+PA-P) 成=号i-成+2P元-a2b+,所以x= y==所以x十y十= 1a受.[如图，分别取BC,BC的中点M,N,易知MN山 平面ABC,MA,MBC平面ABC,所以MN⊥MA,MN⊥ MB,又△ABC为正三角形，所以AM⊥BC,所以MA, MB,MN两两垂直. y/B 建立如图所示的空间直角坐标系，令BB=1,则AB= AC=BC=,则A(侵，0,0)，B(0,含0)，c(0,-号 d）B(o,含).c(o,合)，a-(-,冬1) BC=(0,-k,1),|AB,I=1BCI=√2+， 所以cos60=1 cos(AB,BC)1=AB·BC_ IABIBCI （9含小o, + √2+1·√2+1 14.0.[由BN=u(O成-O)=BC=O元-OB,得ON= +(1-),所以o成.-0成.O贰-o0 -oi.o成-a=oi+o·[+(1- O-(（货)》(0i+o)=0,得+-3因为B甙· M=B成.o-o=od-o·[+(1- )成-可耐+0】]=0，得是+兰-a由 解得X==号，所以X-=0.] 17 15.(1)以D为坐标原点，直线DA,DC,DP所在直线分别为 x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),D(0,0,0),C(0,1,0),M(1,1,0),P(0,0, 2,Q(号号，号)： D A B 方法一 D=(号，号）Ai=(110a2=(-2, 0,2). :DQ·AM=0,.DQ⊥AM. :DQ·AP=0,.DQ LAP. .AM∩AP=A,且AM,APC平面PAM， .DQ⊥平面PAM. 方法二AM=(-1,1,0),AP=(-2,0,2). 设n=(x,y,z)是平面PAM的法向量， n·AM=-x十y=0, x=1, 则 n.AP=-2z+22=0, 取x=1,有y=1, z=1, ∴.n=(1,1,1). -(号，号，)，Dà-号，即成a, ∴.DQ⊥平面PAM. (2②)由(1)可知平面PAM的-个法向量为D过-（号，号， 号)[地可为m=11,11 平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0), cos(m,Da)=m·Dd =3 3 ImDQI 1×233, 3 二平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为 3 16.(1)PD⊥平面ABCD,.PD⊥AD. AB⊥DA,ABCD,.CD⊥DA. 又CD∩PD=D,CDC平面PCD,PDC平面PCD, ∴AD⊥平面PCD. ADC平面PAD, ∴.平面PAD⊥平面PCD. (2)由(1)得DA,DP,DC两两垂直，所以以D为坐标原 点，以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 18 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2), PC=(0,2,-2). x 由PM=λPC(0≤λ≤1)，得点M(0,2λ，2-2λ) 可取平面ABCD的一个法向量为DP=(0,0,2). 设n=(x,y,之)为平面BDM的法向量，国为PD1平 因为D8=1,1,0),DM=(0,2A,2-2x),面ABCD n·DB=0,nx十y=0, 所以( 即 n·DM=0,2λy+(2-2a)z=0, 令x=1,则y=-1z=-入， 入 m=(1-1产)月 ·二面角M-BD-A的余弦值为-5， 3 n·DP 1-λ 解得入=2 故有P成i=号P元，此时M为线段PC的中点。 设直线BC与平面BDM所成的角为O,平面BDM的一个 法向量为m=(1,-1,1), B元=(-1,1,0)， .∴.sin0= |m·BC -2 6 mBC 5X√2 3 即直线BC与平面BDM所成角的正弦值为 17.(1)如图，过点P作BE的垂线PO交BE于点O, 因为平面PBE⊥平面ABCE,又POC平面PBE, 所以PO⊥平面ABCE. 因为BCC平面PBE, 所以PO⊥BC. 因为DE=7AD=1,BC=1,AD/BC,∠ADC=90, DEBC且DE=BC,所以□BCDE是矩形，所以BCLBE. 又POC平面PBE,BEC平面PBE,PO∩BE=O, 所以BC⊥平面PBE. 因为PEC平面PBE,所以BC⊥PE. 因为PC⊥PE,/由折叠黄CDLDE可得 又BC∩PC=C,BCC平面PBC,PCC平面PBC, 所以PE⊥平面PBC. B (2)由(1)知，BC⊥平面PBE,PBC平面PBE,BEC平面 PBE, 所以BC⊥PB,BC⊥BE, 在△PBC中，PB=√PC-BC=√(W2)2-1=1, 在△PBE中，PE=PB,PO⊥BE 所以△PBE是等腰三角形， 所以PO是等腰三角形PBE的高，故PO= 2 由(1)知，OP,BC,BE两两垂直，过点O作OG∥BC交AB 于点G, 所以OG,OP,BE两两垂直， 以O为坐标原点，以BE,OG,OP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则a受，o.o(号ooc悟，-1oP(o.o,》 由萨-得r侵a-0.0,号)0， 面-@-10.亦-(9o号) 设平面BCF的法向量为m=(c1,y1,之1)， m·BC=0,-y1=0, 则 即2 m.BF=0, √2 一2x1十21=0, 令x1=1=1y1=0,故m=(1,0,1). 设平面F的法向量为A=少测。·应=0。 n·EF=0, y2-√2x2=0, 令h=2,x2=2,,=E从-2》 所以平面CF的法向量为n=（2,22C1-2) 2+②Q-2) 所以|cos1 m·n mn 2 E·6+ √2（λ-2） /14 7 令二2 2+√2t √14 t,得 2·√6十(W2t)2 7, 解得t=子或t=-5, 叫=号安-5得A=3或4=日 140<λ<1 所以入=3 18.(1)四边形ABCD为正方形，.ABCD AB中平面PCD,CDC平面PCD,∴.AB平面PCD. 又ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=I,,.L∥AB. (2)如图，取BC的中点N,连接ON,则ON⊥OA. M D O N y x ,PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,ONC平面ABCD, .PO⊥OA,PO⊥ON, .以O为原点，OA,ON,OP所在直线分别为x轴、y轴、 之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,√3)，B(1,2,0),C(-1,2,0),M(0,1,√3)，A(1, 0,0), 于是PB=(1,2,-3),BC=(-2,0,0),MP=(0,-1,0). 设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1), PB·n=0,mx1+2y1-3z1=0, 则{ 得 BC·n=0,-2x1=0, 令y1=√3，解得x1=0,z1=2,即平面PBC的一个法向量 为n=(0,W3,2), ·点M到平面PBC的距离为MP·m_一1=√2红 n √7 7 (3)存在点E,使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦 值为3v105 35 ,QA=QB=QC=QD,且四边形ABCD为正方形， ·点Q在底面上的射影是四边形ABCD的中心 设Q(0,1,h),则PQ=AQ, 1+h-)2=1+1+h,解得h= 3 即Q1.）.0-(01,2）」 设PE=λPB,A∈[0,1]， ∴E(a,2x,3-31),AE=(A-1,2,3-3),AC (-2,2,0). 设平面AEC的法向量为n2=(x2,y2,z2), AE·n2=0,(a-1)x2+2λy2十(W3-3λ)z2=0, 则 得 AC·n2=0,-2x2+2y2=0, 令x2=3(1-1),解得y2=3(1-1),z2=3入-1， 19 即平面AEC的一个法向量为n2=(W3(-1),W3(一1)， 3入-1) 设直线PQ与平面AEC所成的角为0， 则sin0=lcos(P,ngl=PQ·nzl IPQIIn21 3a-1)-23 3 ·(3入-1) -3√105 35 ·√6(a-1)2+(3入-1)2 化简得90x2-129λ十46=0，解得入= 号或易 “当成=号P或P成-%P成时，直线PQ与平面ABC 所成角的正孩位为严 19.(1)由题意知∠BEC=∠ECD=∠AEC=90°，∠PED= ∠AED=45°， 而BE=CE,M是BC的中点，所以ME⊥ED. 又平面PED⊥平面BCDE, 平面PED∩平面BCDE=DE,MEC平面BCDE, 所以ME⊥平面PED. (2)如图，在平面PDE内作ED的垂线作为之轴，所以 ME⊥z轴. D y BM C 以E为坐标原点，分别以EM,ED为x轴、y轴正半轴建 立如图所示的空间直角坐标系. 因为BE=CD=CE=√2，BC=2,设PE=t(t>0), 所以E(0,0,0),M(1,0,0),B(1,一1,0)，C(1,1,0),D(0 2,0), 则P(o号，)Nb,,, 所以-(1，号)驴-（←1，号+1）， -02o成-(o号)成-1,10 设平面PBC的法向量n1=(x1y1,之1)， fn1·BC=2y1=0, 测。…萨-+停+)+号-0， 取m=(经0,1小。 2,2 n1·MN 4 所以sin0= MNI 1 1 √1+2× 20 t V0+602+86’ 解得V2<t<2. 设平面PEC的法向量n2=(x2y2,之2)， n2·EC=x2十y2=0, 则 a-号号0， 取x2=1,得n2=(1,-1,1). 设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为a,则 √2 n1·n2 t+1 + cos a= Inn2 3 1 /1+22 3 2 于yt+2在2,2)时单调递增，放2<士，2 1+2w∈（ 2 +1,), 3,3 t+ 所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范 固是(，） (3设S是四面体的表面积，则Vk=号S7,令KG与 面CGH所成的角为a, 则VxoW=合GH·CH·KGsm≤合GH·CH·KG, 1 Sae=CH·GH,SAae=2kKG·GH. 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离 是GH, SACO之SAKCH SACKH之SAcG(取不到等号)， 所以S>CH·GH+KG·GH=GH·(CH+KG), 合GH·CH·kG>GH.(CH+KG)T 所以>2(c+南) 第二章直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 变武训练 [变式1门AC[根据题意，由于倾斜角的范围是0°≤a<180°， 当0°≤a<135时，直线1的倾斜角为a十45°，当135≤a≤ 180时，直线l1的倾斜角为a一135°.] 、此时a十45°≥180°，不满足倾斜角的范围 基甜过关练 1.CD[因为直线12经过点A(1,W3),B(-2,-23),所以