专项训练(1)空间向量应用的综合问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

易知平面AA1B的法向量为m■(0,0,1)， 设平面CAB,与平面AA1B1的夹角为a, m·n 2 7 所以cosa=cos(m,n川-m1·m-1X/3干7 所以平面CA,B,与平面AM,B,的失角的余按值为2 7 (2)由(1)得B,C=(-2,13),CC=AA=(0,3,0), 国为P为棱BC1上的一个动点（包含端点）， 设PC1-AB1C=(-2a,AwW3A)(0≤A≤1)， 则P元=PC+C,C=(-2A,A+3,3A), 设平面AB,C的法向量为4=(xy,z), 所以A君·u=2x=0, B,C,·4=-2x+y+3x=0, 取y=√3，则x=0, 2=-1,故4=(0N3,-1), 因为直线CP与平面A1PB1所成的角为0， 其中平面A,PB,与平面A1BC:共面， 所以si血0=lcos(P吃，r1=P心，L PC·μ 1√5(a+3)-√31 33 √4+(a+3)+3就×22√/8+6a+9 对于y=8+6+9=8+音）》广+0(0<<1. 所以y=8以2十6队十9在[0,1]上单调巡增， 所以9≤8λ1+6A十9≤23， 则3≤ 3w3 2√232√8+6a+925 <35p3<血< 46 2 所以sin0的取值范围为 「36g3 46,2」 专项训练（一）》 答案速对 C AC 3[] 4 试题精折 1C[如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设CP =a(0<a<1), 则P(0,0,a),M(0,a,0),N(a,0,0),A(1,1,0),A(1,1,1), B(0,1,0),D1(1,0,1), D D N 所以MN=(a,-a,0),PM=(0,a,-a),AM=(-1, a-1,-1),AD=(0,-1,1),BD=(1,-1,1), 168 设平面PMN的一个法向量为n■(x,y,x), 划n-ar-ay-0 In.PM=ay-az=0, 取x■1，别y=x=1, 即n=(1,1,1), 所以点A,到平面PMN的距离 d-Ai.ml_la-3到 3 由a∈0,1)→d∈（ 5易知号∈(55)小即存在 点P,使得点A,到平面PMN药E高为子，即D正确： 设直线MN与AD,所成的角为e(e∈(O,])】: 剥cosa=cos(M,ADi)1= IMN AD, MNI·IAD 2X吃行所以。-音中四正确： 显然BD1·n=1≠0，即BD1与平面PMN不平行，故③错 误.综上，正确的说法有2个，故选C.] 2AC时于A周为BM-气所以M在以B为桌心，停为 半径的球上 又M为侧面AA:D:D上的点，所以M在球被平面AA:D:D 藏得的交线上 因为AB⊥平西AAD,D,AB=1,BM=5 2” 所以AM-VBN-B-名： 所以M在以A点为司心，号为半径的国上，如图1，别M的 秋速长定为宁×2：×号-子成A医精： M 图1 对于B,如图1，AM.⊥AD,到AM-号M到直线A,D的 露高的录小维为号子成B错 对于C,如图2，连接AC,AD1, D 图2 周为CC1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CC,⊥BD. 又BD⊥AC,ACC平面ACC,CC,C平面ACC1,AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1,又AC,C平面ACC1, 所以BD⊥AC1,同理可得，A:D⊥AC1: 又BDC平面A1BD,A,DC平面A1BD,AD∩BD=D, 所以ACL⊥平面A1BD 文B:N⊥AC1,B,E平面A1BD,所以直线B:N∥平面 A1BD,故C正确： 对于D,以D为坐标原点，分别以DA,D心，DD,的方向为 x,y?轴的正方向， 图3 建立空间直角坐标系，加图3，别D(0,0,0),A1(1,0,1), B(1,1,0),B1(1,1,1),DA1=(1,0,1),Di=(1,1,0), DB-(1,1,1). 图为M∈A1D,设DM=ADA=(A,0,A)(0≤A≤1)， B,M=DM-DB,=(A-1,-1,A-1). 设n1=(x1y1z1)是平面A,BD的一个法向量， 对n·D时=0p压+-0， 即 n1·Di=0,x,+y1-0 取x1=1,则y1=x1=一1，n1=(1,-1,-1)是平面A,BD 的一个法向量， 剥cosn,B,=n,·B,应 n·B,M A-1+1-(a-1) 1 3×√a-1)+1+(a-1)F3×√2a-4+3 又2以2-4十3=2（从-1）2+1≥1，当A=1时，有最小值1， 5×V2-+3后3，即osm,B,M≤5， 所以 1 3 所以B,M与平面A!BD所成角的正孩值的最大值为，故 D错误.故选AC.] 3[后] [不妨设PA=AB=2,以A为坐标原点，建立如 图所示的空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,02) 由题意得G为PC的中点，所以G(0,1,1). 设Ci=C克，A∈R,得Ci=1(W3,-1,0)=(W31,-1,0), 则AD=AC+Ci=(0,2.0)+(6W3x,-A,0)=(3x,2-X,0), 图为BC=(-5,0,1), 所以cos0= AD.BG Ai1·BG -3A 92 =（2√3m+(2- =16a1-λ+1) 当A=0时，c088=0. 9 当A≠0时，c0s29= 9 o[股》+习 3 得0Kms0<9w上，0<os0< 21 4. 8V105 105 [连接AC,BD,设AC∩BD=O, 由题意，以0为坐标原点，O心，O市的方向分别为工，y轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， A D 4 C 别C(1,0.0),D(0,2,0),D1(0,2.4),E(0,-2,2) CD,=(-1,2,40,DE=(0,-4,2),CD=(-1,2,0). 夜与CD,D症都垂直的向量为n-(x,yz), 别n·CD1=n·DE=0, 0-21- 所以n=(10,1,2)为与CD,DE都垂直的一个向量， 别线段MN的长度的最小值为 “旅」 5.解：(1)证明：在正方形ABCD中，BC⊥CD, 周为平面ABCD⊥平面CDE,BCC平面ABCD, 平面ABCD∩平面CDE=CD,所以BC⊥平面CDE, 因为DEC平面CDE,所以BC⊥DE,因为E在以CD为克 径的半圆上，所以DE⊥EC, 义因为BC∩CE=C,BC,CEC平面BCE, 所以DE⊥平面BCE, 文DEC平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE (2)因为AD∥BC,DE⊥BC,所以DE⊥AD, 又因为AD⊥DC,所以∠EDC为二面角E-AD-C的平面角， 所以∠EDC=60°，同理可得∠FCD=60 在梯形EFCD中，DE=CF=2. 取CD的中点O,以O心方向为y轴正方向，以平行于CB的 方向为x梅正方向，以平面CDE内垂直于OC的方向为g轴 正方向，建立空间直角坐标系， 则A(4,-2,0),B(4,2,0),C(0,2,0),E(0,-13), 设P(a,一2,0)，A∈[0,4]， 则A心=(-4,4,0)，CE=(0,-33),PB=(4-A,4,0), 授平面ACE的法向量为n=(x,y,x), 69Ⅱ AC·n=-4x+4y=0, 则《 C求·m=-3y十3x=0, 令x=1,则y=1,x=3,所以n=(1,1W3), 设直线PB与平面ACE所成的角为a, 则na=cos(Pi,m=P店，n PB1· 4-入+4 8-A 5×√(4-)+165×√4-)+161 设t■4-1∈[0,4]， 4+1 1 02+16+81 则sina= 5×√+165 ×√+16 8t 令g()= +161∈[0,4小，当4=0时g0)=0. 8t 当1≠0时，g(0)=8 6, ◆A-4+5e0,61, 易知h(:)在1∈(0,4]上单调递减， 故hae[8,+o),所以g0=8∈0,1. 所以g0=平6eol. 所以直线PB与平面ACE所戒角的正孩值的取值范围 为悟 6,解：1)易知市-合A店+2AB=A店+AA A,B-+号a+是×号-吾+ -号×号+0x号at+1×号am-[层01]： 又m=网-正-名+d -名×店+0x花+1xa不-[-名o1], EC-AC-A正-AA =0×号i+0x号A花+2x2AM=[00,2], 周此F不·元=-[层0]00,2 -号×2xco60+1X2-号 (2)易知Ei=[2,-2,0],EA1=[0,-2,2], 设平面A:ED的法向量为n-[x,yz], ED.n=2x+y+:-z-2y--0, 有 EA·n=-x-2y-x+x十y+2x=0, =y 令y=1,可得x=1,x=1,所以n=[1,1,1]. (亦=本-A市-音+Am-号店=专+ 170 m-×号+0x号ad+1xam-[20时]， 4…D亦-11·[20,1]-1x+1x1×as60+1 ×7Xcos60+1x1Xcos60+1X×cos60+1X1-31 ln=6. 设点F到平西A,ED的距高为d,则d=ln:D_3 n√6 要SaD=名XA,EXA,DX血0=， 所ao一言×dX5a-号×号x后-号 分层作业（八） 答案速对 123456711 BCD D DA DD 8.-29.[0,2] 2. -213.25-3 148分 试题精析 1,BCD[对于A,当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故 A错误： 易知B正确： 对于C,若一条直线的倾斜角为a(a≠90)，则该直线的钟率 为tana,故C正确， 对于D,当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角是90°，当直线 与y轴垂直时，直线的倾斜角是0°， 即与坐标轴垂直的直线的领斜角是0或90°，故D正确.] 2.D[由题图知直线11的领斜角为纯角，所以k:<0, 又困为直线2，山，的领斜角均为锐角，且直线2的领斛角 较大， 所以0<k,<k,又k1<0,所以1<k,<k1.救选D.] 38[更线的外丰为咨二-厅，设直线的餐件身为。 a∈[0，，则ana-,所以直线1的倾斜角为.故选R] 4.D[由斜单的定义，可得k8=tan45°， 中2二2=1，解释m=-子] 一m一2 5.D[因为经过两，点A(3,y十1)，B(2,一1)的直线的领针角 为经 所以m子=中=-1，将得=-成选D] 6.A[因为症线l的斜率为k,且一3<k≤1， 所以一√5<tana≤1.因为a∈[0，x), 所以a的取位范国是[0]U(停)故选A]智学分层作业 重难专项训练（一） 空间向量应用的综合问题 (满分：50分) 1.(5分)如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B,C1D1中，P,M,N分别为棱CC1,CB, CD上的动点（点P不与点C,C1重合）.若CP =CM=CN,则下列说法正确的个数是() D ①存在点P,使得点A,到平面PMN的距离 品 ②直线MN与AD,所成的角为行： ③BD1∥平面PMN. [A]0 [B]1 [c]2 [D]3 2.(6分)（多选题）已知正方体ABCD- A:B,C1D1的棱长为1，M为侧面AA,D1D 上的动点，N为侧面CC,D1D上的动点，则下 列结论正确的是 EA]若BM=Y ,则M的轨迹长度为 EB]若BM=5 ,则M到直线A,D的距离的 最小值为号 [c1若B,N⊥AC1,则N∈CD,且直线B,N∥ 平面ABD [D]若M∈A1D,则B1M与平面A,BD所成 角的正弦值的最小值为写 0口■0口■▣■口0 ■口■▣D□ 学 刀▣四初2 题卡信息 年级： 刀幻 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 60000四 姓名： 口口口02口 HH 909口9切9▣9g 3.(5分)在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三 角形，PA⊥平面ABC,PA=AB,G为△PAC 的外心，D为直线BC上的一动点，设直线AD 与BG所成的角为8，则0的取值范围为 □ 4.(5分)在直四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，底面 ABCD为菱形，AC=2,BD=AA1=4,E为棱 BB1的中点，M,N分别为直线DE,CD1上的 动点，则线段MN的长度的最小值 为 口 19876543210+0. 5.(14分)边长为4的正方形ABCD所在平面与 半圆弧CD所在平面垂直，四边形EFCD是半 圆弧CD的内接梯形，且CD∥EF. (1)证明：平面ADE⊥平面BCE: (2)设EF=2,且二面角E-AD-C与二面角 D-BC-F的大小都是60°，当点P在棱AD(包 含端点)上运动时，求直线PB与平面ACE所 成角的正弦值的取值范围. 15 19876543210+0.5 6.(15分)（创新拔高题）空间中，两两互相垂直且 有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果 坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐 标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系， 它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐 标系称为“空间斜60°坐标系”.类比空间直角坐 标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60 坐标：i,j,k分别为“空间斜60°坐标系”下三条 数轴(x轴，y轴，z轴)正方向的单位向量，若 向量n=xi十yj十k,则n与有序实数组(x, y,x)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x,y, x],记作n=[x,y,x].在棱台ABC-A,B,C 中，AB=AC=3,AA1=A1B1=2,∠BAC= ∠BAA1=∠CAA,=60°，AD=2Di,Ai 2EC.如图，以仔得A店，号AC,号A4为基底建 立“空间斜60°坐标系”. (1)若B下=FB1,求向量FA,的斜60°坐标，并 求FA,·EC,的值； 16 智学分层作业 (2)通过(1)中数量积的求值过程，求平面 A1ED法向量的斜60°坐标； (3)若F满足(1)中条件，求三棱锥F-ADE的 体积.