1.1《空间向量及其运算》经典题型分类训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《空间向量及其运算》同步练以六大题型45题构建"概念-运算-应用"三阶巩固路径，分层设计适配新授课，强化空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|空间向量概念、线性运算基础|以正方体、长方体为情境，通过单选、多选辨析相等向量、共线向量等概念，培养空间观念| |运算深化|加减/数乘运算、共线共面判定|结合三棱锥、平行六面体进行向量分解与线性表示，设置多空题与多选题，提升运算能力| |综合应用|数量积运算及长度求解|在正四面体、斜棱柱中综合运用数量积求模长、证垂直，融入解答题与证明题，发展推理意识|

《空间向量及其运算》经典题型分类训练 （六大题型，共45小题） 题型一：空间向量的有关概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，则与向量相反的向量为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（　　） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 5．（多选）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 6．给出下列命题： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．②若空间向量，满足||＝||，则． ③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有． ④若空间向量，，满足，，则． ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是　 　 ． 7． 如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别为棱AA′，AB的中点，与相等的向量为　 　 ，与相反的向量为　 　 ，与共线的向量为　 　 ． 题型二：空间向量的加减运算 8．如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，（　　） A． B． C． D． 9．如图，在三棱锥A﹣BCD中，（　　） A． B． C． D． 10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 12．（多选）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 13．（多选）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（　　） A． B． C． D． 14．（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 15．如图，在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中． （1）化简：　 　 ； （2）化简：　 　 ． 16．在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，化简，并在图中标出化简结果． 题型三：空间向量的数乘运算 17．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 18．如图，在四面体O﹣ABC中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 19．如图，三棱锥O﹣ABC中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（　　） A． B． C． D． 20．（多选）如图，点M是四面体OABC的棱BC的中点，点N是三角形OBC的重心，点P在线段AN上，且，设，，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在四面体O﹣ABC中，点M满足，N为BC的中点，若，则5x+y+z＝ 　 　 ． 22．已知四面体ABCD中，点M在面ABC内，若，则实数a的值为　 　 ． 23． 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且，若，则　 　 ． 题型四：空间向量的共线与共面 24．已知空间向量（1，﹣2，2），，若，则x的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 25．已知向量（1，x2，2），（0，1，2），（1，0，0），若，，共面，则x等于（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或0 26．已知向量（2，1，3），（﹣1，2，﹣2），（7，6，λ），若向量，，共面，则实数λ等于（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 27．已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ 　 　 ． 28． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PE＝BE，PF＝2FC，DG＝2PG，，若E，F，G，H四点共面，则λ＝　 　 ． 29．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）； （3）O、G、C三点共线． 题型五：空间向量的数量积的有关运算 30．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 31．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD中点，则（　　） A．0 B． C． D． 32．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（　　） A． B． C． D． 33．如图已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则（　　） A． B．3 C． D．2 34．（多选）在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．在上的投影向量为 D． 35． （多选）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，M为AC与BD的交点，则（　　） A． B． C．A、A1、B1、M四点共面 D．C1C⊥BD 36．如图，在棱长为1的正四面体中，E，F分别是AB，AD的中点，求： （1）； （2）； （3）； （4）•． 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 37．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M为A1C1的中点，，则（　　） A． B． C． D． 38．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则BD1的长为（　　） A． B．2 C． D．6 39．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°，则的模长为（　　） A． B． C． D． 40．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2A1A＝2，点D为棱BC的中点，点E为棱AB的中点，点F在棱AC上．若A1D⊥EF，则线段AF的长度为（　　） A． B．1 C． D．2 41． 如图，二面角α﹣l﹣β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D．若，则AB＝（　　） A． B．7 C．8 D．9 42．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（　　） A． B． C． D． 43．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB，AD＝1，AA1＝2，∠A1AB＝45°，∠A1AD＝60°，则||＝　 　 ． 44．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝2，，∠BAD＝60°，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，则AC1的长度为　 　 ． 45．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，且，． （1）分别求AC1，BD1的长； （2）证明：AC1⊥BD 1 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《空间向量及其运算》经典题型分类训练 （六大题型，共45小题） 题型一：空间向量的有关概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误． 【解答】解：对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了向量的相关概念及向量的性质，属于基础题． 2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【解答】解：作出示意图如下： 由正方体性质可知与相等的向量有． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的概念，属基础题． 3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，则与向量相反的向量为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案． 【解答】解：因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点， 所以作出示意图如下： 则EF∥A1B且，A1B∥D1C，A1B＝D1C， 所以与向量相反的向量为． 故选：C． 【点评】本题考查空间向量的应用，属基础题． （多选）4．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（　　） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【分析】根据题意，利用向量、相等向量的定义依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A：由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，A正确； 对于B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错误； 对于C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错误； 对于D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错误． 故选：BCD． 【点评】本题考查向量的定义，涉及相等向量的定义，属于基础题． （多选）5．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用向量的相等的定义求出结果． 【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中与向量相等的向量有和． 故选：BC． 【点评】本题考查的知识点：向量的相等的定义，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 6．给出下列命题： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． ②若空间向量，满足||＝||，则． ③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有． ④若空间向量，，满足，，则． ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是　3　 ． 【分析】根据相向相等的定义，逐一分析五个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故①错误； ②若空间向量，满足||＝||≠0，但方向不相同，则，故②错误； ③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与方向相同，长度相等，故，故③正确； ④若空间向量，，满足，，则，故④正确； ⑤空间中任意两个单位向量，方向可能不同，故不一定相等，故⑤错误． 其中错误的个数为3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题． 7．如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别为棱AA′，AB的中点，与相等的向量为　，，　 ，与相反的向量为　，，，　 ，与共线的向量为　，，，，　 ． 【分析】直接利用由相等向量的定义；相反向量的定义；共线向量的定义判断结果． 【解答】解：空1：由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量， 与相等的向量为，，； 空2：由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量， 与相反的向量为，，，； 空3：由共线向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为共线向量， 与共线的向量为，，，，． 故答案为：，，； ，，，；，，，，． 【点评】本题考查的知识点：向量的相等向量，向量的共线向量，向量的相反向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 题型二：空间向量的加减运算 8．如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，（　　） A． B． C． D． 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得． 【解答】解：由题意可知，． 故选：B． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 9．如图，在三棱锥A﹣BCD中，（　　） A． B． C． D． 【分析】由向量的线性运算计算即可求得． 【解答】解：由向量的线性运算可得． 故选：C． 【点评】本题考查向量的线性运算，属于基础题． 10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可． 【解答】解：由已知得． 故选：C． 【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，相等向量的定义，是基础题． 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解． 【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， ， 故，故B正确． 故选：B． 【点评】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题． （多选）12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【分析】按照空间向量的加法法则和减法法则去逐个判断即可． 【解答】解：选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，错误． 故选：AB． 【点评】本题主要考查空间向量的运算，属于基础题． （多选）13．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（　　） A． B． C． D． 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可． 【解答】解：由题意可得． 故选：CD． 【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． （多选）14．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解． 【解答】解：因为E，F分别为BC，CD的中点， 所以由，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； E为BC的中点， 故， 则，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于中档题． 15．如图，在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中． （1）化简：　　 ； （2）化简：　　 ． 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解． 【解答】解：（1）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中， 由空间向量坐标运算法则得： ． （2）由空间向量坐标运算法则得： ． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题考查空间向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，化简，并在图中标出化简结果． 【分析】根据图形进行空间向量加减法运算，并作图即可． 【解答】解：如下图所示： 在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以． 同理，，由正六棱柱性质可知， 所以． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 题型三：空间向量的数乘运算 17．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 18．如图，在四面体O﹣ABC中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由平面向量的线性运算求解． 【解答】解：连接ON，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在四面体O﹣ABC中，，，， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题． 19．如图，三棱锥O﹣ABC中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】解：由于三棱锥O﹣ABC中，，，，点N为BC中点，点M满足，则． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． （多选）20．如图，点M是四面体OABC的棱BC的中点，点N是三角形OBC的重心，点P在线段AN上，且，设，，，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用向量的线性运算判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：由于点M是四面体OABC的棱BC的中点，点N是三角形OBC的重心，点P在线段AN上，且，设，，， 则，故A正确； ，故B错误； ，，故C错误； 由于，所以，整理得，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 21．如图，在四面体O﹣ABC中，点M满足，N为BC的中点，若，则5x+y+z＝ 　﹣3　 ． 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参． 【解答】解：在四面体O﹣ABC中，点M满足，N为BC的中点， 根据空间向量的加法法则和中线向量可得： ， 因为， 所以， 则5x+y+z＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了空间向量的加法及数乘运算和空间向量基本定理，属于中档题． 22．已知四面体ABCD中，点M在面ABC内，若，则实数a的值为　　 ． 【分析】根据四点共面的充要条件即可求解． 【解答】解：因为点M在面ABC内，且， 则M，A，B，C四点共面，所以1，解得a． 故答案为：． 【点评】本题考查四点共面的充要条件，属于基础题． 23．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且，若，则　　 ． 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可． 【解答】解：依题意，， 又因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题． 题型四：空间向量的共线与共面 24．已知空间向量（1，﹣2，2），，若，则x的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】根据空间向量的共线定理求解． 【解答】解：因为∥， 所以，解得x＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题． 25．已知向量（1，x2，2），（0，1，2），（1，0，0），若，，共面，则x等于（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或0 【分析】利用共面向量定理直接求解． 【解答】解：∵向量（1，x2，2），（0，1，2），（1，0，0）， ，，共面， ∴，m≠0，n≠0， ∴（1，x2，2）＝（n，m，2m）， ∴，解得x2＝m＝1， ∴x＝±1． 故选：C． 【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 26．已知向量（2，1，3），（﹣1，2，﹣2），（7，6，λ），若向量，，共面，则实数λ等于（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【解答】解：∵向量，，共面，∴存在实数m，n使得mn． ∴⇒，∴λ＝10． 故选：A． 【点评】该题考查空间向量的线性计算及共面向量之间的关系，属于基础题． 27．已知t∈R，A、B、C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若，且A、B、C、P四点共面，则t＝ 　　 ． 【分析】根据空间共面定理得到若A，B，C，P四点共面，则，且x+y+z＝1，从而得到方程，解得即可． 【解答】解：已知：， 整理得， 即， 因为A，B，C，P四点共面，所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PE＝BE，PF＝2FC，DG＝2PG，，若E，F，G，H四点共面，则λ＝　　 ． 【分析】根据条件用表示向量，然后根据四点共面的充要条件即可求出λ的值． 【解答】解：根据题意：，， 所以，且E，F，G，H四点共面， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，四点共面的充要条件，是中档题． 29．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）； （3）O、G、C三点共线． 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证． 【解答】证明：（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以O、G、C三点共线． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 题型五：空间向量的数量积的有关运算 30．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】空间向量的线性运算求出，，再利用数量积运算即可求解． 【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1， ∴（）， ， ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， ∴（）•（）•••1， 故选：C． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算与数量积运算，属于中档题． 31．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD中点，则（　　） A．0 B． C． D． 【分析】欲求，先把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱所在向量为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱向量之间的关系，因为棱长及其夹角可知，从而得到结果． 【解答】解： 故选：D． 【点评】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算． 32．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】利用空间向量数量积运算可解． 【解答】解：根据题意在棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，， 令，则的模长均为1，且夹角均为， 由题意得，， ， 则（）（）， 故选：D． 【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题． 33．如图已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则（　　） A． B．3 C． D．2 【分析】根据空间向量的线性运算以及数量积相关知识可解． 【解答】解：根据题意，，， 则（）（） ＝0+1+23． 故选：B． 【点评】本题考查空间向量的线性运算以及数量积相关知识，属于中档题． （多选）34．在棱长为2的正四面体A﹣BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【分析】AB利用基底和数量积的运算律化简；C利用公式计算；D利用向量的加法和减法运算化简． 【解答】解：在棱长为2的正四面体A﹣BCD中， 根据空间向量数量积公式可得； 对于A选项，根据向量的减法运算和数量积公式可得，故A选项正确； 对于B选项，因为E，F分别是AD，BC的中点， 所以根据向量的加法运算和中点向量可得， 根据空间向量数量积公式可得 ，故B选项正确； 对于C选项，由B选项得， 根据投影向量公式可得在上的投影向量为，故C选项正确； 对于D选项，因为E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心， 所以根据向量的加法和减法运算可得 ，故D选项错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查了向量的加法与减法运算、投影向量公式和空间向量数量积的运算，属于中档题． （多选）35．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，M为AC与BD的交点，则（　　） A． B． C．A、A1、B1、M四点共面 D．C1C⊥BD 【分析】利用空间向量的加法法则结合模的性质判断A，利用空间向量的加法法则并结合题意判断B，根据异面直线的性质得到四点不共面判断C，利用空间向量的减法法则和数量积的运算律判断D即可． 【解答】解：对于A，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，， 所以，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 对于C，因为B1B∥A1A，B1B∩B1M＝B1，B1B⊂平面BB1D1D，B1M⊂平面BB1D1D， 所以A1A∥平面BB1D1D，从而AA1，B1M为异面直线，所以A，A1，B1，M四点不共面，故C选项错误； 对于D，因为，所以C1C⊥BD，故D选项正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，空间向量数量积运算，四点共面的判定，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题． 36．如图，在棱长为1的正四面体中，E，F分别是AB，AD的中点，求： （1）； （2）； （3）； （4）•． 【分析】易知，然后根据数量积的计算求解即可． 【解答】解：由于E，F分别是AB，AD的中点，则， （1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题考查平面向量数量积的计算，考查运算求解能力，属于基础题． 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 37．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M为A1C1的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案． 【解答】解：因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 又，， 所以 ． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于中等题． 38．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则BD1的长为（　　） A． B．2 C． D．6 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长． 【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 则， 由， 得， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的运算，属于基础题． 39．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°，则的模长为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用向量的加法将转化为与已知向量相关的形式，再根据向量的模长公式进行计算． 【解答】解：由题意，， ，， 又， 则 2， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的线性运算和数量积运算，属基础题． 40．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2A1A＝2，点D为棱BC的中点，点E为棱AB的中点，点F在棱AC上．若A1D⊥EF，则线段AF的长度为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系，用表示出，由A1D⊥EF知，求出λ，即可求出线段AF的长度． 【解答】解：由题意知，点D为棱BC的中点， 所以（）， 又因为点E为棱AB的中点，点F在棱AC上，设λ， 所以λ， 因为∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2A1A＝2， 所以•0，•1×21，•1×21， 因为A1D⊥EF， 所以•（）•（λ）＝0， 所以， 即λ×04﹣λ×11λ×4＝0，解得λ， 因为AC＝2，所以AF＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了空间向量的数量积运算与应用，是基础题． 41．如图，二面角α﹣l﹣β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D．若，则AB＝（　　） A． B．7 C．8 D．9 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解． 【解答】解：二面角α﹣l﹣β的大小为，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，， 依题意，， 而， 所以． 故选：D． 【点评】本题主要考查了空间向量数量积的运算，属于基础题． 42．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用，，表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【解答】解：由题意可知，四边形BCC1B1是平行四边形， ∴（（）， ∴（）， ∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，AA1＝3，AB＝AC＝2， ∴，9，•0，•2×3×cos60°＝3， ∴2（）2 （222） （4+4+9+2×0+2×3+2×3）， ∴，， 则线段AO的长度为． 故选：A． 【点评】本题主要考查空间向量的运算，考查运算求解能力，属于中档题． 43．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB，AD＝1，AA1＝2，∠A1AB＝45°，∠A1AD＝60°，则||＝　　 ． 【分析】用基底表示，再根据空间向量数量积运算律求出． 【解答】解：记，以为基底，如图所示： 由题意，||，||＝1，||＝2，，90°， ，60°，，45°， 所以•||||cos90°＝0，•||||cos45°＝2，•||||cos60°＝1， ， 所以2•2•2•12+222×1﹣2×0﹣2×2＝5， 所以||． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间向量的数量积运算与应用，是基础题． 44．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝2，，∠BAD＝60°，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，则AC1的长度为　　 ． 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果． 【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，， ． 因为||2＝4，||2＝2，22， ， ， 所以||2＝4+4+2+2×2+2×2+2×2＝22， 即||． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，向量数量积的性质及运算，属于基础题． 45．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，且，． （1）分别求AC1，BD1的长； （2）证明：AC1⊥BD． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明． 【解答】解：（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，且， 则， 又， 故 ， 由于，， 所以 ； （2）证明： ， 则， 所以AC1⊥BD． 【点评】本题考查空间向量线性运算，向量数量积运算性质，属于中档题． 声明：试题解析著作权属 学科网（北京）股份有限公司 $