16.3.1平方差公式 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

课题

平方差公式

学科

数学

年级

八年级上册

教学目标

经历探索平方差公式的过程；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．

重点难点

重点：平方差公式的推导和应用

难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 

教学过程

知识链接

 1、多项式与多项式是如何相乘的？

试一试计算：（1）(a+b) (m+n)=________________

（2）（x ＋ 3)( x＋5）=_______________

 2、 问题：在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题，21×19=？和103×97=？主持人话音刚落就立刻有一名学生站起来抢答，第一题答案等于399，第二题答案等于9991，其答题之快，简直是脱口而出

同学们，你们知道他是怎么计算的吗？

合作探究

1、平方差公式

　　1．计算下列多项式的积：

　　①(x+1)(x−1)；②(m+2)(m−2)；③(2x+1)(2x−1)

　　2．提出问题：

　　观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？

　　3．特点：

等号的一边：              等号的另一边：

4．得到结论：(a+b)(a−b) = ________

　　即(a+b)(a−b) = _______，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)_________．

2、公式的几何关系

　　思考：你能根据右图中的面积说明平方差公式吗？

例1、运用平方差公式计算：

①(3x+2)(3x−2)       ③(−x+2y)(−x−2y)

例2、计算

(1) 102×98.                 (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).  

现在你能解答：21×19=？和103×97=？

自主尝试

1.   填一填：

2. 判断下列式子能否用平方差公式计算：

(1) (a+2b)(-a−2b)         

(2) (a−2b)(2b−a)  

(3) (2a+b)(b+2a) 

(4) -(a−3b)(a+3b)  

(5) (-2x+3y)(3y−2x)

3．化简：

(3)   (－3x2＋y2)(y2＋3x2)

(4)(2x＋2)(2x－2)

当堂检测

1．下列各式中，能用平方差公式计算的是(         )

①(7ab－3b)(7ab＋3b)；②73×94；

③(－8＋a)(a－8)；④(－15－x)(x－15)．

A．①③      B．②④

C．③④      D．①④

3．计算：

(1)1 007×99                   (2)2 014×2 016－2 0152.

4. 化简：

(2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)．

（3）解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2)

5.灵活的应用公式计算：

（1）(x+y)(x-y)(x2+y2)                   （2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)

6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，

(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.

(1)观察以上各式并猜想：

(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝_______；(n为正整数)

(2)根据你的猜想计算：

①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；

②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；

③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x+1)=____________