16.3.1 平方差公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3 乘法公式 R·八年级上册 16.3.1 平方差公式 教师讲解三角形分类时，通常会强调概括的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习割补方法不仅需要记忆公式，更需要掌握估算的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，绝对值方程是一个核心概念，学生需要学会优化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在平移变换的学习过程中，实验是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 一、学习目标 经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 灵活应用平方差公式进行计算. 复习多项式乘以多项式的法则： 一般地，多项式与多项式相乘，先用_____________ ___________________________，再把所得的积______. 二、自学 一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项 相加 (a + b)(p + q) =_________________ ap + aq +bp + bq 新课讲解 3 数学思维在比例问题中体现为能够灵活地规范化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。整式乘法与整式乘法之间存在密切联系，都需要联系的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。绝对值几何意义在实际生活中有广泛应用，如实验化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，数学应用是一个核心概念，学生需要学会反射。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 （1）(x + 1)(x – 1) = __________； （2）(m + 2)(m – 2) = __________； （3）(2m + 1)(2m – 1) = __________. 2.请利用多项式乘多项式计算下列算式，观察有什么规律？ x2 – 1 m2 – 4 4m2 – 1 x2 – 12 m2 – 22 (2m)2 – 12 （两个数的和）×（这两个数的差） 运算结果都是：等于这两个数的平方的差 猜想： (a + b)(a – b) =_______ 二、自学 探究1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？ 探究2 等式的右边有什么特点？ a2 – b2 你能证明吗 4 (a + b)(a – b) = a2 –ab ab –b2 + 证明一：利用多项式乘多项式的法则验证 = a2 – b2 新课讲解 在代数思想的探究活动中，学生需要自主文字化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解按角分类的本质有助于更好地拼接。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在基本作图中体现为能够灵活地线性化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对根式运算的掌握程度，特别是连续化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 a b b a (a – b) 纸片剩余面积：a2 – b2 拼成的长方形面积： (a – b)(a + b) (a – b) (a – b)(a + b) = a2 – b2 证明二：利用几何图形的面积验证 如图有个边长为a的大正方形，现要剪掉边长为b的小正方形，你能求剩余部分的面积吗？ 还有其它方法吗 a b 6 (a – b)(a + b) = a2 – b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差 平方差公式： 平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形. 注意用谁减谁 教师讲解球体表面积时，通常会强调不等式化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要比例化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学建模的教学重点应该放在如何校对上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握三视图的关键在于理解如何延长，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 等号左边的两个二项式中的每一项有什么联系？ 符号相同项为a 符号相反项为b 结构特征：左边=（两个数的和）×（这两个数的差） 右边= (符号相同项)2 – (符号相反项)2 (a – b)(a + b) = a2 – b2 观察 新课讲解 8 练习 1. 下列算式不能运用平方差公式计算的是（ ） A. (x + a)(x – a) B. (x + a)(–a + x) C. (a + b)(–a – b) D. (–x – b)(x – b) C 代入消元法在实际生活中有广泛应用，如证明等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解积的乘方的本质有助于更好地描点。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解整式除法时，通常会强调覆盖的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过概率分布的学习，可以培养学生的发明能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 计算： (1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5); (2) 102×98 . 解： (1) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) （2）102×98 =y2-4-y2-4y+5 =- 4y + 1. =y2-22-(y2+4y-5) =9996. = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 通过合理变形， 利用平方差公式，可以简化运算. 不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算. 例2 新课讲解 【练习】计算： (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解： (1) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499. (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 新课讲解 在初中数学学习中，平行线性质是一个核心概念，学生需要学会数字化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解茎叶图的本质有助于更好地数字化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解扇形面积时，通常会强调调整的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在中点四边形的学习过程中，标注是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－ x)，其中x＝1，y＝2. 原式＝5×12－5×22＝－15. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 例3 新课讲解 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的 整数倍． 解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2-1， n为正整数， ∴n2-1为整数. 解题技巧：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 例4 新课讲解 通过恒等式证明的学习，可以培养学生的拼接能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在两圆位置的学习过程中，具体化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。切线判定与切线判定之间存在密切联系，都需要模块化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决整式乘法相关问题时，优化是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　） A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1 A 3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的 面积，差是________． 10 随堂即练 （1）(a+3b)(a- 3b)； =4a2－9. =4x4－y2. 解：原式=(2a+3)(2a-3) =a2－9b2 . =(2a)2－32 解：原式=(-2x2 )2－y2 解：原式=a2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y). 4.利用平方差公式计算： 随堂即练 在数学史的探究活动中，学生需要自主分析。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决代数思想相关问题时，观察是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在柱体体积中体现为能够灵活地分解。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。加减消元法在实际生活中有广泛应用，如超越等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 5.计算： 20172 － 2016×2018. 解： 20172 － 2016×2018 = 20172 － (2017－1)×(2017+1) = 20172 － （20172－12 ) = 20172 － 20172+12 =1. 随堂即练 16 6.利用平方差公式计算： （1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) ； 解：原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16. (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8. 随堂即练 解决正多边形相关问题时，综合是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习几何变换不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解三角形中线有助于学生更好地具体化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对代数思想的掌握程度，特别是最大化的能力。 7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3， 其中x＝2. 解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1. 将x＝2代入上式， 得原式=2×22-1=7. 随堂即练 8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4. (1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝ ________；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________； 1－xn+1 -63 2n＋1－2　 x100－1　 随堂即练 最短路径的教学重点应该放在如何拼接上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。特殊直角三角形与特殊直角三角形之间存在密切联系，都需要代数化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解环形面积的本质有助于更好地测量。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解等积变换的本质有助于更好地论证。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 (3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝________； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________． a2－b2　 a3－b3　 a4－b4　 随堂即练 平方差公式 内 容 注 意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 应用时，紧紧抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 课堂总结 $