第2章 直线和圆的方程 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

,第二章直线和圆的方程通 单元复习归纳 知识体系构建 直线的倾斜角（范围：0°≤a<180) 倾斜角与斜率 定义：k=tana(a≠90) 直线的斜率 公式：k=2二y(x1≠x2) x2-C1 两条直线的位置关系一相交、平行、重合 线 直线和圆的方 直线的方程一点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程 直线的交点坐标与距离公式 圆的方程一圆的标准方程、圆的一般方程 圆 直线与圆的位置关系一相离、相切、相交 圆与圆的位置关系 外离、外切、相交、内切、内含 11111111111111111110111111011111111110111101111111011111110101111011111111111 高考创新题型 1111110111101111111111111101011111111101111101111011011111111111111011110111111 例①（多选）[新定义]“曼哈顿距 以|x+ly=1. 离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基 ①当xy≠0时， 所创词汇，定义如下：在直角坐标平面 x+y=1,x>0,y>0, 上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的曼哈顿距 x-y=1,x>0,y<0, 离为d(A,B)=|x1-x2|十y1一y2.在此定 -x+y=1,x<0,y>0, -x-y=1,x<0,y<0. 义下，以下结论正确的是(). ②当x=0时，y=土1；当y=0时，x=士1作出 A.已知点O(0,0),满足d(O,M)=1的 图象如图1所示. 点M的轨迹围成的图形面积为2 外A B.已知点F1(-1,0),F2(1,0),满足 d(M,F1)+d(M,F2)=4的点M轨迹的形状 B D O 为六边形 C.已知点F1(一1,0)，F2(1,0),不存在动 点M满足方程：|d(M,F1)一d(M,F2)|=1 图1 D.已知点M在圆O:x2+y2=1上，点N 易知这是一个边长为√2的正方形，所以面积为 在直线l:2x十y-6=0上，则d(M,N)的最 (√2)2=2，故A正确. 小值为3-5 对于B,设M(x,y),因为d(M,F)+d(M,F2) 2 =4,所以|x-1+1x+1+2|y|=4. 解析对于A,设M(x,y),因为d(O,M)-1,所 ①当x≠士1且y≠0时， 91 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 -x-y=2,x<-1,y<0, 又圆心C(4,0)到直线l:y=-x的距离d= -x+y=2,x<-1,y>0, 4+0=22>2,所以圆C与直线1相离，从而圆C 1-y=2,-1<x<1,y<0, ② 1+y=2,-1<x<1,y>0, 与圆C外离. x-y=2,x>1,y<0, x+y=2,x>1,y>0. ②当x=1时，y=士1；当x=-1时，y=士1；当 y=0时，x=士2. 作出图象如图2所示， 所以点A,B的“对称距离”的最小值，即为圆C 上的点A与圆C'上的点B'的距离的最小值，也即，点 A到直线1的距离的最小值的两倍。 因为，点A到直线1的距离的最小值为圆心C到 图2 直线1的距离减去半径，即2√2一2， 所以，点M的轨迹是一个六边形，故B正确. 所以所求最小值为2(2√2-2)=4√2一4. 对于D,因为架深→MD-70I 答案D OT 例B[新定义]定义：M是圆C上一动点， (65-1×3 \5 √5 N是圆C外一点，记MN|的最大值为m, =3 6v5 2, MN|的最小值为n,若m=2n,则称N为圆 5 C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄 所以d(M,N)=CM+CN=MD-CD+CN≥ 金点”，则称G为圆“E-F”的“钻石点”.已知圆 D≥3-， ，故D正确 A:红十1D2+(y+1D=专，P为圆A的“黄金 答案ABD 点” 例2[新定义]已知点A(x1,y1),B(x2, (1)求点P所在曲线的方程. y2),定义√(x1+y2)+(x2十y1)2为点A,B (2)已知圆B:(x-2)2+(y-2) 的“对称距离”.若点A,B在圆C:(x一4)2十 =1,P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”. y2=4上，则点A,B的“对称距离”的最小值为 ①求直线PQ的方程. (). ②若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线 A.2 B.2√2 C.√2+1 D.42-4 1:y=x+号与圆H交于1，J两点，对于任意 解析点A(x1,y1),B(x2,y2)的“对称距离” 的实数，在y轴上是否存在一点W,使得 √(x1十y2)十(x2十y1),相当于点B(x2,y2)关于 y轴平分∠IWJ？若存在，求出点W的坐标； 直线1：y=一x的对称，点B(一y2,一x2)与点A的距 若不存在，请说明理由. 离，如图所示， 解析(1)因为点P为圆A的“黄金点”， 设圆C关于直线1的对称圆为圆C, 所以PA1+-2IPA-）, 所以当，点A,B在圆C上时，点B在圆C'上 92 ,第二章直线和圆的方程_誰 解得|PA=√3， y1),J(x2,y2),x1x2≠0. 故点P的轨迹是以A(一1，一1)为圆心、√5为半 若y轴平分∠IWJ,则w十kw=0, 径的圆， 即y1-t+y2t=0, 所以点P所在曲线的方程为(x十1)2+(y+1)2 =3. 整理得x2(y1一t)十x1(y2一t)=0. (2)①由题意得|PB|+1=2(PB|-1), 又=红，十行=十行，所以代入上式可 则PB|=3,所以P是圆(x十1)2十(y十1)2=3 (点P在圆(x-2)2+(y-2)2=9上) 得z(ex+3-i)tx(kx+写-)=0， 和(x一2)2十(y一2)2=9的交点. 因为P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”， 茎理得2xx十（得-t小，十x,)=0, 所以直线PQ即为圆(x+1)2+(y+1)2=3和 (x一2)2+(y一2)2=9的公共弦所在的直线， =红+ 由 两圆方程相减可得x十y=0, z2+y2=1, 所以直线PQ的方程为x十y=0. ②由题意得(x十1)2十(y+1)2=3的圆心为 可得+1D2+号x8=0, S(-1,-1),半径为3， △=（号）°-4+1D×(-8) (x-2)2+(y-2)2=9的圆心为T(2,2),半径 为3， =4e2+8)>0, 所以直线ST的方程为y=x,得PQ的中点坐标 为(0,0)， -8 所以x1十x2=一62+1x1工=2+1 点S到直线x十y=0的距离为2=2， 代入①并整理得-2张+号=0， 则P=√3)2-W2)2=1, 2 此式对任意的都成立，所以t=3. 所以圆H的方程为x2十y2=1, 故y轴上存在，点W(0,3),使得y轴平分 假设y轴上存在，点W(0,t)满足题意，设I(x1,:∠IWJ. 93