专题2 阿波罗尼斯圆和“隐圆问题-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

,第二章直线和圆的方程通 专题2阿波罗尼斯圆和“隐圆”问题 一、阿波罗尼斯圆 2.阿波罗尼斯圆的性质 1.阿波罗尼斯圆的定义 A,B为平面上两个已知点，M,N分别为 在平面上给定相异两点A,B,设点P在 线段AB的定比为入（入>0且入≠1）的内、外分 时-平面上且满足险-，当X≥0且入1 点.（点M在线段AB上，且 MB =入，点N在线段AB(或 时，点P的轨迹是个圆，我们把这个轨迹称之 BA)的走长线上，且治=A 为阿波罗尼斯圆（当入=1时，点P的轨迹是线 性质1设点P与点A,B在同一平面上， PA (特别地，若A(-a,0),B(a,0)(a为常数)，则点P的 =λ台点P在以MN为直径的圆O上. 款运走以（公0）为国e合 则PB 为半径的圆) (假设入>1) 证明（充分性)：如图1，已知 PA 段AB的中垂线)： PBI=A, 例①如图，在平面直角坐标系Oxy中，点 当点P与点M,N重合时，点P在以MN A(0,3),直线l:y=2x一4，设圆C的半径为 为直径的圆O上。 1,圆心在L上，若圆C上存在点M,使|MA= 当，点P不与，点M,N重合时，在△PAB中， 2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. PAMA IPBIMBI →∠1=∠2（三角形内角平 y 分线判定定理)， 路-8>3-∠4三商老外商干 分线判定定理)， ∴.∠MPN=90°，∴.点P在以MN为直 解析(M既在圆C上，又在以A,O为定点的阿波罗尼 斯圆上，从而问题转化为两圆有公共点》 径的圆O上， 设圆心C(a,2a一4)， ∴.点P在以MN为直径的圆O上 .MA=2MO,∴.设M(x,y), 则Wx2+(y-3)=2√x2十y2, M B 整理得x2十(y十1)2=4，设为圆D, ∴.点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和 图1 圆D有交点， (必要性)：如图2，已知，点P在以MN为 .|2-1≤Wa2+[(2a-4)-(-1)≤|2+1l, 直径的圆O上， 由5a2-8a十8≥0得a∈R,由5a2-12a≤0得 设|AB|=a,∠POA=a,则|AM|= 12 5MA通0药半径r λa a 0<a≤5 综上所述，a的取值范围为0，写： 127 AOI=AM十r三20=xx,BO1 87 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA =-1BM=x27天 的上方)，且|AB|=2. .'.PA2=AO2+r2-2AOlXrcos a =(λ2+1)x2-2λr2c0sa, PB2=BO2+r2-2BO Xrcos a= 侵+1r2_2rosa (1)圆C的标准方程为 (2)过点A任作一条直线与圆O:x2+ PA=Pg附-A y2=1相交于M,N两点，下列三个结论： DINAIMAI NBIMA TNB-MB:② NAMBI =2; ③/NBL MA TNAT十1wMB=2W2. 图2 其中正确结论的序号是 综上所述，PBX台点P在以MN为 解析(1)依题意，设C(1,)(r为圆C的半径)， 因为|AB=2,所以r=√12+12=√2， 直径的圆O上」 所以圆心C(1,√2)，故圆C的标准方程为(x一 特别地，当入>1时，点B在圆O内，点A 1)2+(y-√2)2=2. 在圆O外； 当0<入<1时，点A在圆O内，点B在圆 (2)易求得A(0,w2-1),B(0,W2+1),设圆O与 O外. y轴交于E,F两点（点E在点F的上方），可得EA 性质2 圆心O与两定点A,B共线，且半 =2-√2，|EB|=√2，|FA|=√2，|FB=2十2， AB 器0-1 径r= λ2- 由阿波罗尼斯圆的性质1知，圆O上任意一点到 性质3直线PM平分∠APB,直线PN :A,B两点的距离之比为√2一1. 平分∠APB的外角. ..INAI IMAI --1, MA NBI MB IMBI 性质4|OA·OB|=r2,|OA=λ2· 1 1OB引.（点0为圆心） √2-1 -(2-1)=2,NA NB MA 1 MB√2-1 性质5如图，过点B作圆O的不与MN (W2-1)=2√2， 重合的弦EF,则点M是△AEF的内心，AB 故正确结论的序号是①②③. 平分∠EAF. 答案(1)(x-1)2+(y-√2)2=2. (2)①②③. 二、“隐圆”问题 在直线与圆的问题中，题设条件通常不明 确给出圆的相关信息，而是需要通过分析、转 例2如图，圆C与x轴相切于点T(1, 化等途径发现其中隐含的圆，再利用圆的性质 0),与y轴正半轴交于A,B两点（点B在点A:解决问题，我们称这类问题为“隐圆”问题，此 88 第二章直线和圆的方程通 类问题在近年来的高考及模考中经常出现，难 (2)由动点到定圆的切线所成的角为定值 度为中高档，解决此类问题的关键是能够从题 构造“隐圆” 干中挖掘出“隐圆” 例⑤(2026·湖北武汉第十一中学检测) 1.利用圆的定义确定“隐圆” 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x一a)2+ 例3已知A,B为圆O:x2+y2=4上的 (y一2)2=2，若圆M上存在点P,过点P作圆 两动点，|AB|=2√5，P是圆C:(x+3)2+ O的两条切线，切点分别为A,B,使得PA⊥ (y一4)2=1上的一点，则|PA+PB|的最大值 PB,则实数a的取值范围是 是() 解析根据题意，PA,PB为圆O的两条切线，切 点分别为A,B,连接OA,OB,则OA⊥PA,OB⊥PB. A.10 B.12 C.14 D.16 因为PA⊥PB, 解析设M是AB的中，点，则PA+PB=2PM, 所以四边形OAPB为正方形，则OP|一2. 于是|PA+PB|=2|PM.由于|AB=2√3，则由垂 所以，点P的轨迹是以O为圆心、√2为半径的圆， 径定理得|OM=√4-3=1，于是，点M在以O为圆 其方程为x2十y2=2. 心、1为半径的圆上.又|PO|mx=OC|十1= 若圆M上存在这样的点P,则圆M与圆x2十y2 √32十4+1=6，故|PMmx=|PO|mx十1=6+1= =2有公共点，则有√2一√2≤√a2十4≤√2十√2，解得 7,因此PA+PB|mx=2×7=14. -2≤a≤2， 答案C 即a的取值范围为[-2,2]. 2.利用圆的几何性质 答案[-2,2]. (1)由动点到两定点的张角为直角构造 3.与两定点相关的“隐圆” “隐圆” (1)若动点P满足|PA|=λPB|(>0, 例④（多选）已知圆C:(x一3)2十(y一 λ≠1)，则点P的轨迹是圆（此圆为阿波罗尼斯 4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0), 圆，简称阿氏圆) 若圆C上存在一点P,使得∠APB=90°，则m (2)若动点P满足PA·PB=λ(AB2+ 的取值可能为(). 4>0),则动点P的轨迹是圆. A.5 B.6 C.7 D.8 例⑥(2026·江西宜春中学模拟)已知点 解析圆C:(x一3)2十(y一4)2=1的圆心C的 A(-1,-1),B(1,-1),若圆(x-a)2+(y 坐标为(3,4)，半径为1. 2a+4)2=1上存在点M满足MA·MB=3, 圆心C到点O(0,0)的距离为5， 则实数a的取值范围是 ∴.圆C上的，点到，点O的距离最大值为6，最小值 解析设M(x,y),则MA=(-1-x,-1-y), 为4. MB=(1-x,-1-y),MA·MB=(-1-x)(1-x) 再由∠APB=90°，可得出以AB为直径的圆和 +(-1-y)2=3,即x2+(y+1)2=4, 圆C有交点， 故，点M在以(0，一1)为圆心、2为半径的圆上，由 又P01=AB1=m,则4长m≤6， 题意可知，该圆与圆(x-a)2十(y-2a十4)2=1有公 共点，所以2-1≤√/(0-a)2+(-1-2a+4)2≤2+1， 结合选项可得m的取值可能为6和5. 答案AB 解得0Ca< 89 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 答案6，. (3)动点P满足|PA2+|PB|2=λ(AB2 <2λ)，则动点P的轨迹是圆， B O 例7如图，△ABC是边长为1的 答案C 正三角形，点P在△ABC所在的平面 三、利用“隐圆”求变量的最值或取值范围 内，且|PA|2+|PB|2+|PC|2=a(a 例8已知直线l1:x十y=0与直线l2: 为常数)，则下列结论中正确的是( x一ky十2k一2=0(k∈R)相交于点A,点B在 A.当0<a<1时，满足 圆N:(x+2)2+(y+3)2=2上，则|AB|的最 大值为 条件的点P有且只有一个 解析由条件知直线11过原点O,直线12过，点 B.当a=1时，满足条 P(2,2),且11⊥l2,连接OP,则点A的轨迹是以OP 件的点P有三个 为直径的圆，即圆M:(x一1)2+(y一1)2=2，圆心为 C.当a>1时，满足条件的点P有无数个 M(1,1),半径为√2.如图，圆N的圆心为(-2，一3)，半 D.当a为任意正实数时，满足条件的点总 径为√2，|MN=√(1+2)2+(1+3)2=5，则|AB|m 是有限个 =|MN|+√2+√2=5+2W2. 解析如图，以BC所在直线为x轴，BC的中，点为 原点，建立平面直角坐标系，则A(0,）,B(-号0， c(号o.设P(红)则1Pi=2+(） P2=(x+2)+y,P=(x-2》°+.因 答案5十2√2 归纳总结】 为P+P+P心=a,所以x+(-》 常见的“隐圆”类型 (1)“定义圆”：在平面内，{M|MA|=r},其中 +(e+2)+y2+(-)》°+y2-a,化简得3x2+ M为动点，A为定点，r>0为定值， (2)“斜率圆”：在平面内，{M|M·kMB 3y2-8y+号 -a=0,即x2+y2- 5 a 一1}，其中M为动点，A,B为定点，且点M的横坐 3y+i23 标不等于A,B的横坐标 0方择+(-}-a-1以 (3)“平方圆”：在平面内，{MMA|2+MB|2 ① =入，且|AB|2<2},其中M为动点，A,B为定点， 当a<1时，方程①的右边小于0，故不存在满足 入为定值 条件的点P,故A,D错误.当a=1时，方程①表示点 (4)“向量圆”：在平面内，{MMA·MB=入， 且|AB|2+4λ>0}，其中M为动，点，A,B为定点， (o,得），故B错误当a>1时，方程①表示以 入为定值. 特别地，若A,B为定点，且MA·MB=0,则 1 (,得)为圆心√a一D为半径的圆，故C正确。 点M的轨迹是以AB为直径的圆. 90