第三章圆锥曲线的方程章末测评卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章圆锥曲线章末测评卷，120分钟150分，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，结合故宫提盒等文化情境与实际应用，适配单元复习，全面考查概念理解与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|椭圆离心率、双曲线渐近线、抛物线焦点|基础概念辨析，如椭圆方程参数范围判断| |多项选择|3/18|椭圆焦点三角形、双曲线几何性质|多角度考查性质，部分选对给分，如椭圆面积最值| |填空|3/15|椭圆标准方程、双曲线定义|强调定义应用，如双曲线焦点距离计算| |解答题|5/77|椭圆方程与最值、直线与椭圆位置关系、抛物线定点问题|综合代数运算与几何性质，如直线与椭圆相交参数求解，培养数学思维与运算能力|

第三章 圆锥曲线的方程 章末测评卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 3．若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 5．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 7．若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 8．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 11．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 13．是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 14．如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为_____. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知椭圆，其离心率，点为椭圆的上顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上的一个动点，求的最大值. 16．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 17．（17分）已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 18．（15分）已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. (1)求此双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 19．（17分）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 圆锥曲线的方程 章末测评卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D A B B C ABD BCD 题号 11 答案 BD 1．C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 2．B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 3．D 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由及双曲线方程中的参数结合关系求出，得到渐近线方程. 【详解】因为为双曲线的右焦点，所以， 所以， 所以的渐近线方程为， 故选：D. 4．D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率． 5．A 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 6．B 【知识点】三角形面积公式及其应用、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 7．B 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】当焦点在轴时，有 ，，则，解得； 当焦点在轴时，有 ，，则，解得， 因为，满足题意，综上所述，或. 8．C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求双曲线的焦点坐标 【详解】由题可知，所以. 9．ABD 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．BCD 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 11．BD 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 12． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. 13． 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线，得，. 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 所以． 14．2 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的方程可得到焦点坐标，再利用曲线的特征可得点的坐标，从而可求两点距离. 【详解】由抛物线的标准方程可知，焦点为，因为，，关于轴对称， 所以点的横坐标为2，则点， 所以点到C的焦点的距离为. 15．(1)； (2). 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据离心率及椭圆的参数关系和性质求参数值，即可得； （2）设，应用两点距离公式及三角函数的性质求最值. 【详解】（1）由题意，可得，故椭圆方程为； （2）设，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 16．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）结合韦达定理，由即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 17．(1) (2) (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据双曲线的离心率求的值即可. （2）根据椭圆中的关系和离心率求，，即可确定椭圆的标准方程. （3）先将直线方程与双曲线方程联立，根据方程有两个不同的解确定的取值范围，再根据与的关系求的取值范围. 【详解】（1）由已知，可得，解得． （2）由已知、， 设椭圆方程为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． （3）如图：    联立， 消去，得， 双曲线与直线相交于相异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意：， 当时，；当时，， 所以的取值范围是． 18．(1) (2) 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）设双曲线方程为，依题意求出、、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，， 由，消去整理得， 则且，则且， 所以，， 所以 ， 因为，，， 所以，即，解得，符合题意， 所以. 19．(1)； (2)8 (3)证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $