第三章 圆锥曲线的方程 单元测评-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线单元测评，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过情境化问题与分层设计，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|椭圆离心率（第1题）、双曲线定义（第2题）、抛物线焦点（第8题）|第1题以“圆的变形”创设情境，第5题结合角平分线与对称考查直观想象| |填空题|3题/15分|椭圆概率（第12题）、双曲线周长最值（第13题）、抛物线夹角范围（第14题）|第13题利用定义转化求最值，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|轨迹方程（第15题）、直线与椭圆位置关系（第16题）、定点证明（第19题）|第19题通过垂直关系探究定值，培养数学表达与创新意识，贴合高考命题趋势|

第三章 圆锥曲线的方程 单元测评-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的.下列椭圆中，形状更接近圆的是（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 2.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cos∠F1F2P＝（　 ） A. B. C. D. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为（　 ） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.“0＜m＜2”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的（　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知O是坐标原点，F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆的第一象限上的点，且cos∠F1PF2＝，M是∠F1PF2的平分线上的动点，则｜MF1｜＋｜MO｜的最小值为（　 ） A. B. C.2 D.3 6.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线与C，D两点，若｜CD｜＝｜AB｜，则双曲线的离心率为（　 ） A. B. C.2 D.3 7.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线l：3x－4y＋3c＝0与双曲线C的右支交于点P，若△PF1F2的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（　 ） A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 8.设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（－1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn＝（　 ） A.3 B.2 C.－3 D.－2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点M，若斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1（b＞0）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为（1，－），点P在椭圆C上，则的值可能为（　 ） A. B. C. D. 10.若椭圆C1：＋＝1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：＋＝1（a2＞b2＞0）的焦点相同，且a1＞a2，则下列结论正确的是　　（　 ） A.－＞－ B.＜ C.a1－a2＜b1－b2 D.椭圆C1和椭圆C2没有公共点 11.设双曲线C：－＝1（a＞0），直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法正确的是（　 ） A.双曲线C离心率的最小值为4 B.离心率最小时双曲线C的渐近线方程为x±y＝0 C.若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则｜AC｜＝｜BD｜ D.若a＝1，则斜率为2且过双曲线的右顶点的直线与双曲线只有一个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是 . 13.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为（0，6），则△APF周长的最小值为 . 14.设A，B为抛物线y2＝2px（p＞0）上不同象限内的两点，且直线AB的斜率为1.记O为原点，则∠AOB的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，点P（0，1）到双曲线C的渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）过点P（0，1）的动直线l交双曲线C于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程. 16.（15分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. （1）求椭圆的方程； （2）若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 17.（15分）如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋（y－1）2＝1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点. （1）求点A，B的坐标； （2）求△PAB的面积. 18.（17分）在平面直角坐标系中，已知F1，F2，动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2，若点P的轨迹为曲线C. （1）求C的方程. （2）过点F1的直线l（斜率存在且不为0）与曲线C相交于M，N两点. ①若MN的中点为Q，设直线MN和OQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值； ②若满足＝2，求直线l方程. 19.（17分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）. （1）求C的方程. （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值. 解析版 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的.下列椭圆中，形状更接近圆的是（　B　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：方法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，，，，B选项最小. 方法二：当椭圆的方程中a＝b时可看成圆，越趋近于1，椭圆的形状更接近圆.A、B、C、D四个选项中分别为，，，，B选项最接近1.故选B. 2.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cos∠F1F2P＝（　D　） A. B. C. D. 解析：因为e＝，所以c＝a，则a＝b，不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1，设｜PF2｜＝m（m＞0），则｜PF1｜＝2＋m，所以m2＋（m＋2）2＝（2）2，解得m＝－1（m＝－－1已舍去），所以在Rt△PF1F2中，cos∠F1F2P＝＝. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为（　C　） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：因为△AF1B的周长为12，所以4a＝12，所以a＝3. 又＝，所以c＝1，b2＝8，所以C的标准方程为＋＝1. 4.“0＜m＜2”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的（　C　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”等价于 即0＜m＜2， 所以“0＜m＜2”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件.故选C. 5.已知O是坐标原点，F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆的第一象限上的点，且cos∠F1PF2＝，M是∠F1PF2的平分线上的动点，则｜MF1｜＋｜MO｜的最小值为（　A　） A. B. C.2 D.3 解析：由椭圆定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4， F1（－，0），F2（，0）， 由余弦定理可得cos∠F1PF2＝ ＝， 解得｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝1， 所以PF2⊥x轴，即P（，1）， 如图，设∠F1PF2的平分线与x轴相交于N（x0，0）， 由三角形角平分线定理，得＝， 所以N（，0）， 从而∠F1PF2的平分线的方程为x－y－1＝0， 原点O（0，0）关于∠F1PF2的平分线对称的点设为O1（x1，y1）， 经计算O1（，－）， 则｜MF1｜＋｜MO｜＝｜MF1｜＋｜MO1｜≥｜F1O1｜＝＝. （或：F1关于∠F1PF2的平分线的对称点在PF2的延长线上，记为Q（x0，y0），且｜PF1｜＝｜PQ｜＝3，｜PF2｜＝1， 所以｜F2Q｜＝2，＝3， （x0－，y0－1）＝3（0，－1）， 解得x0＝，y0＝－2，即Q（，－2）， 或由勾股定理知PF2⊥x轴，得Q（，－2）， 所以｜MF1｜＋｜MO｜＝｜MO｜＋｜MQ｜≥｜OQ｜＝＝.） 故选A. 6.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线与C，D两点，若｜CD｜＝｜AB｜，则双曲线的离心率为（　A　） A. B. C.2 D.3 解析：根据题意知，抛物线准线方程为x＝－，故＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴｜AB｜＝，｜CD｜＝， ∵｜CD｜＝｜AB｜，∴c＝b， 又∵c2＝a2＋b2，∴a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝. 7.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线l：3x－4y＋3c＝0与双曲线C的右支交于点P，若△PF1F2的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（　B　） A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 解析：因为左焦点F1（－c，0），l：3x－4y＋3c＝0，所以直线l过点F1，由双曲线的定义知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，设△F1PF2的内切圆与各边的切点为A，B，D，如图所示，连接AC，BC，CD， 则＝，＝， ＝， 所以－＝2a，设D（x0，0）， 则x0－（－c）－（c－x0）＝2a，解得x0＝a. 又△F1PF2内切圆的半径为，所以△F1PF2内切圆的圆心为（a，）， 因为直线l过点F1，设圆心到直线l的距离为d， 则d＝＝，解得a＝c， 又b＝，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x. 故选B. 8.设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（－1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn＝（　C　） A.3 B.2 C.－3 D.－2 解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x＝－1， 设直线l的方程为x＝ty＋1，由消去x并整理得y2－4ty－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4t.又以AB为直径的圆过点P（－1，2），点P在准线上，故P为切点，故AB中点的纵坐标为2.因此＝2t＝2，即t＝1.所以直线l的方程为x＝y＋1，圆心为（3，2），半径为4，因此圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16.令y＝0，得x2－6x－3＝0，易知m，n为此方程的两根，故mn＝－3. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点M，若斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1（b＞0）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为（1，－），点P在椭圆C上，则的值可能为（　BCD　） A. B. C. D. 解析：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B在椭圆C：＋＝1（b＞0）上，则有＋＝1，＋＝1， 两式相减，化简得＋＝0， 依题意，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－，＝1，代入上式，解得b＝1，即椭圆方程为＋y2＝1. 设点P（m，n），则＋n2＝1，即n2＝1－，则＝＝＝＝，因为－2≤m≤2，所以≤＋≤9，故｜PM｜∈［，3］.故选BCD. 10.若椭圆C1：＋＝1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：＋＝1（a2＞b2＞0）的焦点相同，且a1＞a2，则下列结论正确的是　　（　BCD　） A.－＞－ B.＜ C.a1－a2＜b1－b2 D.椭圆C1和椭圆C2没有公共点 解析：由已知条件可得，－＝－，可得－＝－，故A错误；∵－＝－＞0，a1＞a2，∴＜，－＜－，则＞，＞，即＜，故B正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0， ∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，又（a1＋a2）（a1－a2）＝（b1＋b2）（b1－b2），可得a1－a2＜b1－b2，故C正确；∵－＝－，而a1＞a2，则b1＞b2，可知两椭圆无公共点，故D正确. 11.设双曲线C：－＝1（a＞0），直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法正确的是（　BCD　） A.双曲线C离心率的最小值为4 B.离心率最小时双曲线C的渐近线方程为x±y＝0 C.若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则｜AC｜＝｜BD｜ D.若a＝1，则斜率为2且过双曲线的右顶点的直线与双曲线只有一个交点 解析：由题知，e2＝＝a＋≥4，当且仅当a＝2时等号成立，所以e2的最小值为4，e的最小值为2，故A错误； 当a＝2时，双曲线方程为－＝1， 此时渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，故B正确； 若直线l的斜率不存在，由对称性可知｜AC｜＝｜BD｜； 当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m， A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），CD的中点为N（x3，y3）， 则 由点差法可得k·＝， 所以k·＝， 所以x0＝， 又双曲线渐近线方程为y＝±x，联立y＝kx＋m分别求解可得 xC＝， xD＝， 所以x3＝（＋ ）＝＝x0， 所以M，N重合，如图，则｜AC｜＝｜MC｜－｜MA｜＝｜MD｜－｜MB｜＝｜BD｜，或｜AC｜＝｜MC｜＋｜MA｜＝｜MD｜＋｜MB｜＝｜BD｜，故C正确； 若a＝1，则双曲线方程为x2－＝1，渐近线方程为y＝±2x， 故斜率为2且过双曲线右顶点的直线与双曲线的一条渐近线平行，故与双曲线只有1个交点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是　　. 解析：由题意，得（a，b）共有8种不同情况，其中满足“曲线ax2＋by2＝1为椭圆”的有（1，2），（3，1），（3，2），共3种情况，故所求概率P＝. 13.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为（0，6），则△APF周长的最小值为　32　. 解析：如图，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F（3，0），F1（－3，0）.当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，｜PF｜－｜PF1｜＝2，所以｜PF｜＝｜PF1｜＋2，从而△APF的周长为｜AP｜＋｜PF｜＋｜AF｜＝｜AP｜＋｜PF1｜＋2＋｜AF｜.因为｜AF｜＝＝15为定值，所以当｜AP｜＋｜PF1｜最小时，△APF的周长最小.由图可知，此时点P为线段AF1与双曲线的交点，则△APF的周长为｜AP｜＋｜PF1｜＋2＋｜AF｜＝＋2＋15＝32. 14.设A，B为抛物线y2＝2px（p＞0）上不同象限内的两点，且直线AB的斜率为1.记O为原点，则∠AOB的取值范围是　（0，）　. 解析：设直线AB的方程为y＝x－m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由消去x得y2－2py－2pm＝0，Δ＝4p2＋8pm＞0， y1＋y2＝2p，y1y2＝－2pm＜0，则m＞0，x1＋x2＝y1＋y2＋2m＝2p＋2m， x1x2＝＝m2，＝x1x2＋y1y2＝m2－2pm， ｜｜｜｜＝ ＝ ＝ ＝m ＝m， cos∠AOB＝＝，令m－2p＝t，则m＝t＋2p，t＞－2p， cos∠AOB＝，当t＝0时， cos∠AOB＝0， 当－2p＜t＜0，即＜－时，cos∠AOB＝－∈（－，0）， 当t＞0，即＞0时， cos∠AOB＝∈（0，1）， 因此－＜cos∠AOB＜0，而0＜∠AOB＜π，解得0＜∠AOB＜， 所以∠AOB的取值范围是（0，）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，点P（0，1）到双曲线C的渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）过点P（0，1）的动直线l交双曲线C于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程. 解：（1）双曲线C的实轴长为2a，由已知，得2a＝2，则a＝1， 因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx－ay＝0， 点P（0，1）到双曲线C的渐近线的距离为，所以＝＝， 所以c＝a＝，所以b2＝c2－a2＝5－1＝4，所以双曲线C的方程是x2－＝1. （2）易知直线l的斜率存在，设直线l为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），M， 联立直线l与双曲线C的方程，得消去y，得x2－2kx－5＝0. 由Δ＝4k2＋20＞0且4－k2≠0，得k2＜5且k2≠4. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝. 所以x0＝＝，y0＝kx0＋1＝＋1＝. 由消去k，得4－＋y0＝0. 由k2＜5且k2≠4，得y0≥1或y0＜－4. 所以点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0，其中y≥1或y＜－4. 16.（15分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N. （1）求椭圆的方程； （2）若｜MN｜＝，求直线MN的方程. 解：（1）由题意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2， 解得a＝，b＝，c＝，所以椭圆的方程为＋＝1. （2）由直线MN过点B且与椭圆有两个交点，可设直线MN的方程为y＝k（x－3），代入椭圆方程整理得（2k2＋1）x2－12k2x＋18k2－6＝0，由Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1.设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 由｜MN｜＝ ＝ ＝ ＝， 解得k＝±，满足k2＜1， 所以所求直线MN的方程为y＝±（x－3）. 17.（15分）如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋（y－1）2＝1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点. （1）求点A，B的坐标； （2）求△PAB的面积. 解：（1）由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k（x－t）， 由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0， 由于直线PA与抛物线相切，则Δ＝16k2－16kt＝0，得k＝t. 因此，点A的坐标为（2t，t2）. 易知圆C2的圆心为C2（0，1）， 设点B的坐标为（x0，y0）， 由题意知点B，O关于直线PC2对称， 故解得 因此，点B的坐标为（，）. （2）由（1）知｜AP｜＝t·，直线PA的方程为tx－y－t2＝0. 点B到直线PA的距离是d＝. 设△PAB的面积为S，所以S＝｜AP｜·d＝. 18.（17分）在平面直角坐标系中，已知F1，F2，动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2，若点P的轨迹为曲线C. （1）求C的方程. （2）过点F1的直线l（斜率存在且不为0）与曲线C相交于M，N两点. ①若MN的中点为Q，设直线MN和OQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值； ②若满足＝2，求直线l方程. 解：（1）由已知F1，F2，动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2＜｜F1F2｜， 则动点P满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义， 即点P的轨迹为以F1，F2为焦点，实轴长为2的双曲线， 即轨迹方程为C：－＝1. （2）①设点M（x1，y1），N（x2，y2），中点Q， 则k1＝，k2＝， 又点M，N在曲线C上， 则作差可得－＝0， 即－＝0， 则k1·k2＝＝. ②设直线MN：x＝ty＋3， 联立直线与双曲线得（t2－2）y2＋6ty＋3＝0， Δ＝－12（t2－2）＝24t2＋24＞0恒成立， 且y1＋y2＝－，y1y2＝， 又＝2，＝，＝， 则y1＝－2y2， 则y1＋y2＝－y2＝－，所以y2＝，y1＝－， 所以y1y2＝－＝， 解得t2＝，t＝±， 即直线方程为x＝±y＋3， 即5x－y－15＝0或5x＋y－15＝0. 19.（17分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）. （1）求C的方程. （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值. 解：（1）由题设，得＋＝1， e2＝＝， 解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1. （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）. 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，消去y并整理得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－，x1x2＝.① 由AM⊥AN，知 ＝0， 故（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，整理得（k2＋1）x1x2＋（km－k－2）（x1＋x2）＋（m－1）2＋4＝0. 将①代入上式，可得（k2＋1）－（km－k－2）·＋（m－1）2＋4＝0. 整理得（2k＋3m＋1）（2k＋m－1）＝0. 因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0， 故2k＋3m＋1＝0，k≠1. 于是直线MN的方程为y＝k（x－）－（k≠1）. 所以直线MN过点P（，－）. 若直线MN与x轴垂直，可得N（x1，－y1）. 由＝0，得（x1－2）（x1－2）＋（y1－1）（－y1－1）＝0. 又＋＝1，可得3－8x1＋4＝0， 解得x1＝2（舍去），x1＝. 此时直线MN过点P（，－）. 令Q为AP的中点，即Q（，）. 若D与P不重合，则由题设知，AP是Rt△ADP的斜边，故｜DQ｜＝｜AP｜＝. 若D与P重合，则｜DQ｜＝｜AP｜＝. 综上，存在点Q（，），使得｜DQ｜为定值. 页 学科网（北京）股份有限公司 $