第三章 圆锥曲线的方程 单元测评-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 单元测评-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

时间：120分钟　满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的.下列椭圆中，形状更接近圆的是（　   ）

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1

2.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cos∠F1F2P＝（　   ）

A. B. C. D.

3.已知椭圆C：＋＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为（　   ）

A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1

4.“0＜m＜2”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的（　   ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知O是坐标原点，F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆的第一象限上的点，且cos∠F1PF2＝，M是∠F1PF2的平分线上的动点，则｜MF1｜＋｜MO｜的最小值为（　   ）

A. B. C.2 D.3

6.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线与C，D两点，若｜CD｜＝｜AB｜，则双曲线的离心率为（　   ）

A. B. C.2 D.3

7.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线l：3x－4y＋3c＝0与双曲线C的右支交于点P，若△PF1F2的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（　   ）

A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x

8.设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P（－1，2），且与x轴交于M（m，0），N（n，0）两点，则mn＝（　   ）

A.3 B.2 C.－3 D.－2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知点M，若斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1（b＞0）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为（1，－），点P在椭圆C上，则的值可能为（　   ）

A. B. C. D.

10.若椭圆C1：＋＝1（a1＞b1＞0）和椭圆C2：＋＝1（a2＞b2＞0）的焦点相同，且a1＞a2，则下列结论正确的是　　（　   ）

A.－＞－

B.＜

C.a1－a2＜b1－b2

D.椭圆C1和椭圆C2没有公共点

11.设双曲线C：－＝1（a＞0），直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法正确的是（　   ）

A.双曲线C离心率的最小值为4

B.离心率最小时双曲线C的渐近线方程为x±y＝0

C.若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则｜AC｜＝｜BD｜

D.若a＝1，则斜率为2且过双曲线的右顶点的直线与双曲线只有一个交点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是            .

13.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为（0，6），则△APF周长的最小值为            .

14.设A，B为抛物线y2＝2px（p＞0）上不同象限内的两点，且直线AB的斜率为1.记O为原点，则∠AOB的取值范围是            .

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，点P（0，1）到双曲线C的渐近线的距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P（0，1）的动直线l交双曲线C于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

16.（15分）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆的方程；

（2）若｜MN｜＝，求直线MN的方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

17.（15分）如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋（y－1）2＝1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.

（1）求点A，B的坐标；

（2）求△PAB的面积.

                

                

                

                

                

                

                

18.（17分）在平面直角坐标系中，已知F1，F2，动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2，若点P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程.

（2）过点F1的直线l（斜率存在且不为0）与曲线C相交于M，N两点.

①若MN的中点为Q，设直线MN和OQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值；

②若满足＝2，求直线l方程.

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

19.（17分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程.

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值.

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

解析版

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的.下列椭圆中，形状更接近圆的是（　B　）

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋y2＝1

解析：方法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，，，，B选项最小.

方法二：当椭圆的方程中a＝b时可看成圆，越趋近于1，椭圆的形状更接近圆.A、B、C、D四个选项中分别为，，，，B选项最接近1.故选B.

2.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cos∠F1F2P＝（　D　）

A. B.

C. D.

解析：因为e＝，所以c＝a，则a＝b，不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1，设｜PF2｜＝m（m＞0），则｜PF1｜＝2＋m，所以m2＋（m＋2）2＝（2）2，解得m＝－1（m＝－－1已舍去），所以在Rt△PF1F2中，cos∠F1F2P＝＝.

3.已知椭圆C：＋＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为（　C　）

A.＋y2＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

解析：因为△AF1B的周长为12，所以4a＝12，所以a＝3.

又＝，所以c＝1，b2＝8，所以C的标准方程为＋＝1.

4.“0＜m＜2”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的（　C　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”等价于

即0＜m＜2，

所以“0＜m＜2”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件.故选C.

5.已知O是坐标原点，F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆的第一象限上的点，且cos∠F1PF2＝，M是∠F1PF2的平分线上的动点，则｜MF1｜＋｜MO｜的最小值为（　A　）

A. B. C.2 D.3

解析：由椭圆定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，

F1（－，0），F2（，0），

由余弦定理可得cos∠F1PF2＝

＝，

解得｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝1，

所以PF2⊥x轴，即P（，1），

如图，设∠F1PF2的平分线与x轴相交于N（x0，0），

由三角形角平分线定理，得＝，

所以N（，0），

从而∠F1PF2的平分线的方程为x－y－1＝0，

原点O（0，0）关于∠F1PF2的平分线对称的点设为O1（x1，y1），

经计算O1（，－），

则｜MF1｜＋｜MO｜＝｜MF1｜＋｜MO1｜≥｜F1O1｜＝＝.

（或：F1关于∠F1PF2的平分线的对称点在PF2的延长线上，记为Q（x0，y0），且｜PF1｜＝｜PQ｜＝3，｜PF2｜＝1，

所以｜F2Q｜＝2，＝3，

（x0－，y0－1）＝3（0，－1），

解得x0＝，y0＝－2，即Q（，－2），

或由勾股定理知PF2⊥x轴，得Q（，－2），

所以｜MF1｜＋｜MO｜＝｜MO｜＋｜MQ｜≥｜OQ｜＝＝.）

故选A.