第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版2024八年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第15章轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列图形中，是轴对称图形的是() D 2.下列各命题的逆命题不成立的是() A.等腰三角形的两底角相等 B.全等三角形的对应边相等 C.对顶角相等 D.直角三角形的两个锐角互余 3.如图，在ABC中，∠C=90°，∠A=15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E,交AB于点D, AE=10cm,则BC的长度为() E A.5cm B.6cm C.8cm D.10cm 4.如图，在等边三角形ABC中，AB=4,BD⊥AB,CD∥AB,则CD的长为() B B.2 c D.3 5.如图，在7×9的正方形网格中，到∠A0B两边距离相等的点是() P.O M B A.点M B.点N C.点P D.点Q 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.在RIAABC中，∠C=90°，∠A=40°.在AB上取一点M,以点B为圆心，以BM的长为半径 (BM<BC)画弧，交BC于点N,再分别以点M,N为圆心，以BM的长为半径画弧，两弧交于点E, 连接ME,NE,BE,则∠BME的度数是() N A.1009 B.120° C.130 D.150° 7.如图， ABC中，AB=AC,∠A=30°，DE⊥AC,且DE平分∠ADC,则∠BCD的度数为() A.80° B.75° C.65 D.45° 8.如图，图形的各个顶点都在3×3正方形网格的格点上，则∠1+∠2的度数为() A.45° B.55° C.60 D.70° 9.如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为28，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E, F,若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则CDM的周长的最小值为() D M A.10 B.12 C.14 D.16 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1O.如图在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD交于点H, 下列选项正确的是() B ①AE=DC;②LDHA=60°；③连接HB,则HB平分LAHC A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.在平面直角坐标系中，点(-2,3)关于x轴对称的点的坐标为 12.如图，已知ABC的面积为8，AD平分∠BAC,且AD⊥BD于D,则△ADC的面积是 B 13.在ABC中，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,∠DAE 的度数为」 DXE 14.如图，在等边ABC中，AD=CE,BD,AE交于点P,BQ⊥AE于点Q. (1)∠PBQ的度数为 ； (2)连接CP,若CP⊥BP,则 BP 的值为 AP 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.如图，在ABC中，AC=BC,∠A=70°，直线EF分别交AB,AC和CB的延长线于点D,E,F, LF=30°，求∠AEF的度数. E D B 16.如图，等边ABC的边长是6cm,动点M、N分别从点A,点C同时出发，沿AC、CB匀速运动，点 M,点N的运动速度分别是1cm/s,2cm/s,当点M运动2s时，求点M,点N两点间的距离. 17.如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,LA=36°. B (1)尺规作图：作∠B的角平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法). (2)判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由. 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.如图，在同一地面上，有两个观测点A,B,从A,B两点观测大楼CD的楼顶点D,已知A,B,C 三点在同一条直线上，∠A=30°，∠DBC=60°，A,B两点间的距离为20m,CD⊥AC. D 口口口口 A-30° 60° B C (1)求∠BDC的度数， (2)求B,C两点之间的距离. 19.如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF ,证明： A H E D (1)CF =EB; (2)AB AF +2EB 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在 B岛的北偏西40°方向. 北 E 北 B (1)求从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？ (2)已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离. 21.在ABC中，AD,BE分别是边BC,AC上的高，AD,BE相交于点F,AE=BE· B D E (1)求证：EF=EC; (2)连接DE,若DE平分∠ADC,当EC+CD=AD时，求LEBC的度数. 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图，点D在ABC的边BC上，连接AD. 4 M B- D D 图1 图2 (1)如图1，M为AD的中点， ①若CD=3BD,记△ABD,△CMD的面积分别为S。ABD,SCMD,求S△ABD:S△CMD的值； ②若LB=2LBAD=&,LMCD=LMDC,求LAMC的度数.（用含a的式子表示） (2)如图2，若△ABD与△ACD的周长相等，设BC=a,AC=b,AB=c,求BD的长（用含a,b,c的式子表示）. 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.如图，点P,Q分别是等边ABC的边AB,BC上的动点（端点除外），点P,Q以相同的速度，同时 从点A,B出发 ① ② (1)如图①，连接AQ,CP,求证：△ABQ≌△CAP, (2)如图①，当点P,Q分别在AB,BC边上运动时，AQ,CP相交于点M,∠OMC的大小是否变化？若 变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 (3)如图②，当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时，直线AQ,CP相交于点M,∠QMC的大小是 否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数， 8/8命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第15章轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列图形中，是轴对称图形的是() 【答案】C 【详解】解：A该选项不是轴对称图形，不符合题意； B.该选项不是轴对称图形，不符合题意： C.该选项是轴对称图形，符合题意； D.该选项不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 2.下列各命题的逆命题不成立的是() A.等腰三角形的两底角相等 B.全等三角形的对应边相等 C.对顶角相等 D.直角三角形的两个锐角互余 【答案】c 【详解】解：A、原命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“有两角相等的三角形是等腰三角形”，：等 角对等边，逆命题成立 B、原命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形全等”，：SSS全等判定，.逆命题成 立 C、原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，：相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角）， 逆命题不成立 D、原命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，：三角形内角 和180°，两角互余则第三角为90°，.逆命题成立. 故选：C 3.如图，在ABC中，LC=90°，LA=15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E,交AB于点D, AE=10cm,则BC的长度为() 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A D B A.5cm B.6cm C.8cm D.10cm 【答案】A 【详解】解：连接BE, E :DE是AB的垂直平分线， A D AE BE =10cm, ∠A=∠ABE=15°， ∠CEB=∠A+∠ABE=30°， :∠C=90°， BC=BE=5em, 2 故选：A 4,如图，在等边三角形ABC中，AB=4,BD⊥AB,CD∥AB,则CD的长为() B D A.3 B.2 D.3 c 2 【答案】B 【详解】解：：ABC为等边三角形， ∠ABC=60°， CD∥AB, ∴∠BCD=LABC=60°， BD⊥AB, 2/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CBD=90°-∠BCD=30°， :AB=4, CD=二BC=2, 故选：B 5.如图，在7×9的正方形网格中，到∠A0B两边距离相等的点是() A PO M B A. 点M B.点N C.点P D.点Q 【答案】A 【详解】解：：A选项，点M在∠AOB的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到∠AOB两边的距离相 等； B选项，点N不在∠AOB的角平分线上，所以点N到∠AOB两边的距离不相等； C选项，点P不在∠AOB的角平分线上，所以点P到∠AOB两边的距离不相等； D选项，点Q不在∠AOB的角平分线上，所以点Q到∠AOB两边的距离不相等， 故选：A 6.在RIAABC中，∠C=90°，∠A=40°.在AB上取一点M,以点B为圆心，以BM的长为半径 (BM<BC)画弧，交BC于点N,再分别以点M,N为圆心，以BM的长为半径画弧，两弧交于点E, 连接ME,NE,BE,则∠BME的度数是() A.100° B.120° C.130° D.150° 【答案】C 【详解】解：：LC=90°，∠A=40°， ·LABC=90°-∠A=50°， 由尺规作图可得，BE平分∠ABC,BM=BN=ME=NE, 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠MEB=∠MBE= ∠1BC=250, ·∠BME=180°-∠MEB-∠MBE=180°-25°-25°=130°， 故选：C 7.如图，ABC中，AB=AC,∠A=30°，DE⊥AC,且DE平分∠ADC,则LBCD的度数为() D A.80° B.75° C.65 D.45° 【答案】D 【详解】解：：DE1AC, ∠DEA=∠DEC=90°， :DE平分∠ADC, ∴LADE=∠CDE, 又DE=DE, :.ADE≌CDE(ASA, ∴∠DCE=LDAE=30°； AB=AC, ∠ABC=∠4CB=180°-30 =75° 2 所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=75°-30°=45°. 故选：D, 8.如图，图形的各个顶点都在3x3正方形网格的格点上，则∠1+∠2的度数为() A.45° B.55° C.60° D.70° 【答案】A 4/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图所示，AB=AD=1,BC=DE=2,LABC=LADE=90°， △ABC≌△ADE(SAS), ∠AED=∠1， .∠1+∠2=∠2+∠AED=∠BEF, :EF=BF=1,∠BFE=90°， ∠BEF=45°， .∠1+∠2=∠BEF=45°， 故选：A. 9.如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为28，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E, F,若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则CDM的周长的最小值为() D B F A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】D 【详解】解：连接AD,MA. D B F ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， .AD⊥BC, SC=)BC·AD=)x4×AD=28 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得AD=14 :EF是线段AC的垂直平分线， 点A关于直线EF的对称点为点C, .MA=MC, .MC DM MA+D M 2 AD :AD的长为CM+MD的最小值， :CDM的周长最短=(CM+MD+CD=AD+BC=14+x4=16. 故选：D 10.如图在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD交于点H, 下列选项正确的是() B ①AE=DC;②∠DHA=60°；③连接HB,则HB平分LAHC A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【详解】解：：△ABD和aBCE都是等边三角形， :∠ABD=∠EBC=60°，AB=DB,BE=BC, :∠CBD=∠EBA=120°， ·△CBD≌EBA SAS), AE=DC,故①正确； :△CBD≌△EBA, ·LCDB=LEAB, 又：∠DGH=∠AGB, :∠DHG=∠ABD=60°， 即∠DHA=60°，故②正确： :△CBD≌△EBA, 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE和DC边上的高相等， 即点B到AE和DC边的距离相等， :HB平分∠AHC,故③正确： 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.在平面直角坐标系中，点(-2,3)关于x轴对称的点的坐标为 【答案】(-2，-3 【详解】解：根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数可知：点(-2,3)关于x轴对称的点的坐 标是-2，-3)： 故答案为：（-2，-3)， 12.如图，己知ABC的面积为8，AD平分∠BAC,且AD⊥BD于D,则△ADC的面积是 B 【答案】4 【详解】解：如图，延长BD交AC于点E, :AD平分∠BAC,且AD⊥BD于D, B .LBAD=LEAD,∠ADB=∠ADE, 在△ABD和△AED中， ∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABD≌△AED, :BD DE, .S△ABD=S△AED,SBcD=S.ECD, SAAD+SABCD=SAADE+SAECD=SAADC 1 1 5ac=25c=28=4, 故答案为：4. 13.在ABC中，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,∠DAE 的度数为」 DXE 【答案】20° 【详解】解：：∠BAC=100° ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80° :AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E .DB=DA,EA=EC :∠DAB=∠B,∠EAC=∠C .ZDAB+ZEAC ZB+ZC=80 ∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE=100°-80°=20° 故答案为：20°. 14.如图，在等边ABC中，AD=CE,BD,AE交于点P,BQ⊥AE于点Q. B (1)∠PBQ的度数为」 (2)连接CP,若CP⊥BP,则 BP 的值为 AP 8/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 30° 2 【详解】解：(1)：ABC是等边三角形， AB=BC=AC,∠BAC=∠ACB=60°. 在△ABD与△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠ACE=60°， AD=CE .△ABD≌△CAE(SAS) .∠ABD=∠CAE, :∠CAE+∠BAE=60°， ∠ABD+∠BAE=60°. ∴.∠BPQ=∠ABD+∠BAE=60°. BQ⊥AD, ∴.∠BQP=90° .∠PBQ=30°： 故答案为：30°； (2):∠BQP=90°，∠PBQ=30°， .BP=2PO, :∠ABD=∠CAE,∠CAB=∠ABC=60°， .∠BAQ=∠CBP, :CP⊥BP, .∠AQB=∠BPC=90°， AB=BC, ∴△AQB≌△BPC, :AO=BP, BP=2PO, .AO=2PO=2AP, .BP=2AP, BP “p2, 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.如图，在ABC中，AC=BC,∠A=70°，直线EF分别交AB,AC和CB的延长线于点D,E,F, ∠F=30°，求∠AEF的度数. E B 【答案】70 【详解】解：：AC=BC, ∠A=∠ABC=70% LC=180°-∠A-∠ABC=409 :∠AEF是△CEF的一个外角， :∠AEF=∠C+∠F=40°+30°=70° 16.如图，等边ABC的边长是6cm,动点M、N分别从点A,点C同时出发，沿AC、CB匀速运动，点 M,点N的运动速度分别是1cm/s,2cm/s,当点M运动2s时，求点M,点N两点间的距离. M B N 【答案】4cm 【详解】解：：△ABC是边长为6cm的等边三角形， .∠C=60°，AC=6cm, :点M,点N的运动速度分别是1cm/s,2cm/s,点M运动2s时 .AM=1×2=2cm,CN=2×2=4cm :CM AC-AM =6-2=4cm .CM =CN :∠C=60 :△CMN是等边三角形 :MN=CM =4cm 10/17