第九章 因式分解（单元自测·提升卷）数学新教材苏科版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章因式分解能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 2 3 4 5 6 > 8 D D D A c D D A 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.4x2y3 10.0 11.(a-1)(a2+a+1 12.x+2 156:或-6或女 14.72 15.32 16.84 17.2023 18.111353(答案不唯一) 三、解答题（共7小题，共46分） 19.(本题6分) 【详解】(1)解：24a3bc2-8ab2 =8ab3a2c2-b.…3分 (2)解：（m+3n4m-n-（m+3n)(m-7n =m+3n)4m-n-m+7n =m+3n)(3m+6n =3m+3nm+2n.…6分 20.(本题6分) 【详解】(1)解：a3+2a2+a =a(a2+2a+1) =a(a+1)2,…3分 (2)解：9x2-(x-2y)月 =(3x)2-(x-2y)2 =[3x+(x-2y)][3x-(x-2y] =4x-2y)(2x+2y =42x-y)(x+y).…6分 1/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.(本题6分) 【详解】解：-2a2b2+ab+ab=ab(a2+b2-2ab)=ab(a-b}2.3分 将a-b= F2,ab=8代入， 原式=ab(a-b)2=8× 1)2 =8×1=2.…6分 4 22.(本题6分) 【详解】(1)解：1.992+1.99×0.01 =1.99×(1.99+0.01) =1.99×2 =398;…3分 (2)解：20132+2013-20142 =2013×(2013+1-20142 =2013×2014-20142 =2014×2013-2014 =-2014.6分 23.(本题6分) 【详解】(1)解：原式=x2-6x+9-9-7 =(x-3)2-16 =(x-3)2-42 =(x-3+4)(x-3-4) =(x+1)(x-7);…3分 (2)解：原式=(3x)2+12x+4-4-5 =(3x+2)2-9 =(3x+2)2-32 =(3x+2+3)3.x+2-3) =(3x+5)(3x-1)）…6分 2/5 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 24.(本题8分) 【详解】(1)解：x2-a2+x+a=(x2-a2）+(x+a) =(x+a(x-a)+(x+a =(x+a(x-a+l;3分 (2)解：ABC为等腰三角形或直角三角形，理由如下： a4-b4+b2c2-a2c2=0, a-b4)+b2c2-a2c2）=0, (a2-b2)a2+b）+c2(b2-a2）=0, a2-b2)a2+b2-c2）=0, (a+bj(a-bja2+b2-c2）=0,…6分 :Q、b、C是ABC的三边长， .a+b>0, .a-b=0或a2+b2-c2=0, .ABC为等腰三角形或直角三角形.…8分 25.(本题8分) 【详解】(1)解：：Q(1=0, .1+a+b+12=0即a+b=-13① :0(3=0, .27+9a+3b+12=0 即9a+3b=-39② 联立①②得 [a+b=-13 9a+3b=-39 a=0 解得 b=-13 a的值为0，b的值为-13；…2分 3/5 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)得0(x=x3-13x+12, 当0(x=24时，x3-13x+12=24, x3-13x-12=0, 当x=-1时，(-13-13×(-1)-12=0， x+1是x3-13x-12=0的因式， 当x=-3时，（-3)3-13×-3)-12=0， .x+3是x3-13x-12=0的因式， 设另一个因式为x+c, 则(x+1)(x+3)(x+c=x3-13x-12, 即x3+c+4)x2+(4c+3x+3c=x3-13x-12, 解得c=-4, :x3-13x-12=0, .(x+1x+3)(x-4)=0, .x+1=0或x+3=0或x-4=0, x的值为-1或-3或4；…5分 (3)解：当x=5,Q5)=125-65+12=72, 当x=7,0(7)=343-91+12=264, :Q(x+m能写成某些正整数的平方， .72+m,264+m能写成某些正整数的平方， 不妨设72+m=k2①，264+m=k②（其中k,k都是正整数）， ②-①得：k3-k2=192,即(k+k)(k-k)=192, :192=1×192=2×96=3×64=4×48=6×32=8×24=12×16, 且k2+k,k2-k同奇同偶，且k2+k>k2-k, 所有可能情况如下： 4/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k+k=96成∫k3+k=48k3+k=32sk2+k=24「k2+k=16 =2哦{怎，-=4或-=6或-=8或医-么=12 或 或 尚负和传信9*6*伯 k=16k2=14 此时m=2137或m=412或m=97或m=-8或m=-68, :正整数m, .m=2137或m=412或m=97.…8分 5/5 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 2．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 4．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．已知实数满足，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 由已知可得，然后通过变形以及整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选D． 7．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 8．若，，则的值为 （    ） A． B．1011 C．2022 D．2024 【答案】A 【分析】将已知等式利用提公因式法变形，整理可得，进而可得，所以，由于，即，从而可得出答案． 【详解】解：∵， ， 即， 整理得， ， ∵， ， ， 即， ， ，即， ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．单项式与的公因式是________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【详解】解：与的公因式是：； 故答案为：． 10．若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 11．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键． 图②图形的体积有两种计算方法：（1）三个长方体体积相加；（2）大正方体体积减去小正方体体积，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图②分成三个长方体， 可得体积为 ， ． 故答案为：． 12．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 【答案】 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 13．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【详解】解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 14．若，则___________． 【答案】72 【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解． 【详解】解：∵， ∴ = ． 15．已知，则_______． 【答案】32 【分析】将等式的左边转化为完全平方公式的和的性质，利用非负性求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴. 16．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 17．已知，则的值为_____． 【答案】2023 【分析】本题考查了提取公因式法和平方差公式在指数式中的应用，掌握提取公因式后用平方差公式分解因式，再对比指数求解是解题的关键． 通过提取公因式和平方差公式将左边化简，再与右边对比指数得出结果． 【详解】解：左边： 右边：． 因此，， 约去非零因子 和 ，得 ， 所以 ． 故答案为：． 18．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码是_____（写出一个即可）． 【答案】111353（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的步骤是解题的关键． 对多项式进行因式分解，然后代入数值计算各因式的值，组合成密码． 【详解】解：多项式 提取公因式得 ，再利用平方差公式分解为 当 ， 时， ， 因此产生的密码可以是 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（共7小题，共46分） 19．（本题6分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（本题6分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式分解因式，每个因式再提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（本题6分）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 【答案】 【分析】先对待求式提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解，最后代入已知数值计算结果． 【详解】解：． 将，代入， 原式． 22．（本题6分）简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 23．（本题6分）阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法称为配方法． 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 24．（本题8分）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形或直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 25．（本题8分）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1,下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是() A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2+2a+1=a(a+2)+1 C.x2-2.xy+y2=(x+y)2 D.x(x+2)-(x+2)=(x-1)(x+2) 2.若多项式5x2-17x-12可因式分解为(x+a)(bx+3),其中a,b均为整数，则a+b的值是() A.9 B.-9 C.-1 D.1 3.把多项式6a2b-3ab2+l2ab因式分解时，应提取的公因式是() A.ab B.3ab C.3ab2 D.3ab 4.把多项式(x-2)-4x+8因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是() 解：原式=(x-2)+(4x-8)① =(x-2)+4(x-2)② =(x-2)(x-2+4)③ =(x-2)(x+2).④ A.① B.② c.③ D.④ 5.计算(-2)22+(-2)024的结果为() A.22024 B.22025 C.-22024 D.-2225 6.己知实数m满足m2+m-2=0,则m3+2m2-m+9=（） A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足(a2+b2)(a-b)-c2(a-b)=0,则△ABC的形状是() A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 8.若a2(b+c)=b2(a+c)=2022,a≠b,则abc的值为() A.-2022 B.1011 C.2022 D.2024 1/4 可学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.单项式8x2y与4x3y4的公因式是 10.若xy=2026,x-3y=-1,则x2y-3xy2+xy= 11.我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.观察图①， a2-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1).接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：am3-1= a-1 a a 图① 图② 12.把多项式(x+1)(x-2)-(2-x)提取公因式x-2后，另一个因式为 13.若整式9x2+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是 14.若(7-9-1-卫-8×10，则m= 15.己知x2+y2+z2-2x+6y-4z+14=0,则(x-y-z）°= 16.如图，将三个边长分别为α，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7.则 代数式ab+6ai2b2+9ab的值是 6 b b 第16题 17.已知20242025-20242023=2024×2023×2025，则a的值为 18.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是对 于多项式x4-y,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0, x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式9x3-4y2,取x=11, y=10,用上述方法产生的密码是（写出一个即可）. 2/4 可学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 三、解答题（共7小题，共46分） 19.(本题6分)因式分解： (1)24a3bc2-&ab2: (2)(m+3n)(4m-n)-(m+3n)(m-7n). 20.(本题6分)因式分解： (1)ad+2a2+a; (2)9x2-(x-2y)2. 21.(本题6分)先因式分解，然后计算求值. 1 己知a-b= 2,b=8,求-2ab2+ab+arb的值. 22.(本题6分)简便计算： (1)1.992+1.99×0.01 (2)20132+2013-20142. 23.（本题6分)阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：x2+4x+3. 解：原式=x2+4x+4-4+3 =(x+2)2-1 =(x+2+1)x+2-1) =(x+3)x+1). 上述因式分解的方法称为配方法， 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)x2-6x-7: (2)9x2+12x-5. 314 学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 24.(本题8分)阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如 x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分 分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程如下： x2-4y2-2x+4y=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2). 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-ad+x+a (2)已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a-b4+b2c2-a2c2=0,判断△ABC的形状，并说明理由. 25.(本题8分)阅读材料，回答问题. 材料一：对于关于x的多项式P,有如下结论：若x-a是P的因式，则当x=a时，P=0. 这个结论被称为因式定理.例如：若x-2是多项式P=x2-4的因式，则当x=2时，P=0. 材料二：用Q(x)表示三次多项式x3+2+bx+12,即Q(x)=x+ax2+br+12,例如：当x=2时， 0(2)=23+a×22+b×2+12」 已知Q(1)=9(3)=0,求下列问题： (1)求Q(x)=x3+2+bx+12中的a和b的值； (2)若Q(x)=24,利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数，使得Q(x)+m能写成某些正整数的平方.例如：当x=4 和x=5时，0(4)=24,9(5)=72，存在常数m=97,使得0(4)+m=24+97=121=112, 2(5)+=72+97=169=132.求当x=5和x=7时，满足结论的正整数的值. 4/4………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．若，，则的值为 （    ） A． B．1011 C．2022 D．2024 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．单项式与的公因式是________ 10．若，则____________． 11．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 12．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 13．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 14．若，则___________． 15．已知，则_______． 16．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 第16题 17．已知，则的值为_____． 18．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码是_____（写出一个即可）． 三、解答题（共7小题，共46分） 19．（本题6分）因式分解： (1)； (2)． 20．（本题6分）因式分解： (1)； (2)． 21．（本题6分）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 22．（本题6分）简便计算： (1) (2)． 23．（本题6分）阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法称为配方法． 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)； (2)． 24．（本题8分）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 25．（本题8分）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章因式分解。能力提升 : : 建议用时：60分钟，满分：120分 一、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是() : A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.+2a+1=a(a+2)+1 C.x2-2xy+y2=(x+y)2 D.x(x+2)-(x+2)=(x-1)(x+2) o 2.若多项式5x2-17x-12可因式分解为(x+a)(bx+3),其中a,b均为整数，则a+b的值是() : A.9 B.-9 C.-1 D.1 3.把多项式6ab-3ab2+12b因式分解时，应提取的公因式是() A.ab B.3a'b C.3ab2 D.3ab 4.把多项式(x-2)-4x+8因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是() 解：原式=(x-2)+(4x-8)① =(x-2)2+4(x-2)② =(x-2)(x-2+4) ③ : … =(x-2)(x+2). ④ : A.① B.② c.③ D.④ 5.计算(-2)202+（←2）2024的结果为() : : A.22024 B.22025 C.-22024 D.-22025 6.已知实数m满足m2+m-2=0,则2+2m2-m+9=() A.8 B.9 C.10 D.11 : 7.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足(d+b2)(a-b)-c2(a-b)=0,则△ABC的形状是() K A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.若a2(b+c)=b2(a+c)=2022,a≠b,则abc的值为() A.-2022 B.1011 C.2022 D.2024 : : : 试题第1页（共4页） 命学科网·上好课 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.单项式8x2y与4x3y4的公因式是 10.若xy=2026,x-3y=-1,则x2y-3xy2+y= 11.我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.观察图①， a2-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1).接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：a-1= 】 a 图① 图② 12.把多项式(x+1)(心-2)-(2-x)提取公因式x-2后，另一个因式为-· 13.若整式9x2+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是 14.若7-9-012--8×10，则m= 15.己知x2+y2+z2-2x+6y-4z+14=0,则(x-y-z)°=_ 16.如图，将三个边长分别为a,b的小长方形组成一个大长方形，己知大长方形的周长为12，面积为7.则 代数式db+6a2b2+9ab3的值是 b b b 第16题 17.已知20242025-20242023=2024×2023×2025，则a的值为_ 18.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是 对于多项式x4-y,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0, x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式9x3-4xy2,取x=11, y=10,用上述方法产生的密码是（写出一个即可）. 试题第2页（共4页） 学科网·上好课 三、解答题（共7小题，共46分） 19.(本题6分)因式分解： (1)24a3bc2-8ab2: (2)(+3n)(4-n)-(m+3n)(-7n). 20.(本题6分)因式分解： (1)a+2a2+a: (2)9x2-(x-2y)2. 21.(本题6分)先因式分解，然后计算求值， 已知a-b=，ab=8,求-2ab2+ab+amb的值. 22.(本题6分)简便计算： (1)1.992+1.99×0.01 (2)20132+2013-20142. 23.(本题6分)阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：x2+4x+3. 解：原式=x2+4x+4-4+3 =(x+2)2-1 =(x+2+1)(x+2-1) =(x+3)(x+1). 上述因式分解的方法称为配方法. 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)x2-6x-7: (2)9x2+12x-5. 试题第3页（共4页） 24.(本题8分)阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如 : x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部 分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程如下： ·: x2-4y2-2x+4y=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2). : 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： : (1)分解因式：x2-a2+x+a : (2)已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a-b+bc2-ac2=0,判断△ABC的形状，并说明理由. : 样 游 25.(本题8分)阅读材料，回答问题. .: 材料一：对于关于x的多项式P,有如下结论：若x-a是P的因式，则当x=a时，P=0. 这个结论被称为因式定理.例如：若x-2是多项式P=x2-4的因式，则当x=2时，P=0. 材料二：用Q(x)表示三次多项式x3+2+bx+12,即Q(x)=x3+ax2+br+12,例如：当x=2时， 2(2)=23+a×22+b×2+12, 己知Q(1)=Q(3)=0,求下列问题： (1)求Q(x)=x3+2+bx+12中的a和b的值： (2)若Q(x)=24,利用因式定理，求此时x的值： O 3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m,使得Q(x)+m能写成某些正整数的平方，例如：当x=4 和x=5时，Q(4)=24,Q(5)=72,存在常数m=97,使得2(4)+m=24+97=121=112, Q(5)+l=72+97=169=132.求当x=5和x=7时，满足结论的正整数m的值. : 试题第4页（共4页） 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．已知实数满足，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．若，，则的值为 （    ） A． B．1011 C．2022 D．2024 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．单项式与的公因式是________ 10．若，则____________． 11．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图①，．接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解：______________________________． 12．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 13．若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 14．若，则___________． 15．已知，则_______． 16．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是______． 第16题 17．已知，则的值为_____． 18．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码是_____（写出一个即可）． 三、解答题（共7小题，共46分） 19．（本题6分）因式分解： (1)； (2)． 20．（本题6分）因式分解： (1)； (2)． 21．（本题6分）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 22．（本题6分）简便计算： (1) (2)． 23．（本题6分）阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法称为配方法． 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)； (2)． 24．（本题8分）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： ． 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由． 25．（本题8分）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $