专题5.1 函数的概念与图像 （5大知识点+12大题型+强化训练）讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念与图像核心知识点，系统梳理函数定义（非空数集对应关系）、三要素（定义域、对应关系、值域）、定义域求法（具体与抽象函数）、值域求法（观察、配方等）及图像画法，构建从概念理解到应用的学习支架。 资料通过题型分类（如对应关系判断、定义域求参）、方法点拨与跟踪训练，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师解析例题，课后助力学生强化练习，提升数学思维与应用能力，有效查漏补缺。

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题5.1 函数的概念与图像 知识点一、函数的定义及相关概念 1、函数的定义：给定两个非空数集A，B，如果按照某种确定的对应关系f， 对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数和它对应， 那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：，. 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的相关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； 与x的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 3、同一个函数 由函数的定义可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。 知识点二、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点三、抽象函数与复合函数的定义域 1.抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2.复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 知识点四、函数的值域 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 知识点五、函数的图像 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 知识点一、函数的概念 题型01：由对应关系判断是否为函数 【方法点拨】判断一个对应关系是否为函数的方法 　 【例1】已知对应关系f：x→－.下列对应f是A到B上的函数吗？ (1)A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥－2}， (2)A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|x≥2}． (3)A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}， 【例2】集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【跟踪训练】 1.托马斯说：“函数是近代数学的思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 2.已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 3.(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 题型02：根据图形判断是否为函数 【方法点拨】(1)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【例3】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【例4】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【跟踪训练】 1.下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．  B．  C．   D．   3.（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A．B．C． D． 4.若函数y=f（x）的定义域为，且，值域为，且，则y=f（x）的图象可能是（ ） A．B．C． D． 题型03：同一函数的判断 判断两个函数是否为同一个函数的3个步骤 [注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形；(2)与用哪个字母表示无关． 【例5】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例6】下列式子表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝|x|，φ(t)＝ B．y＝，y＝()2 C．y＝·，y＝ D．y＝，y＝x－3 【跟踪训练】 1. 下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A． B． C． D． 3.下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与 ②与 ③与 ④与 A．① B．② C．③ D．④ 题型04：求函数值或由函数值求参 【例7】1.若，则_________. 2.已知，则______． 【例8】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数，则 ． 2.已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 3.已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 6．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，g(f(4))；(2)求f(g(x))． 知识点二、函数的定义域 题型05：具体函数的定义域 【例9】函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，2) D．[1，＋∞) 【例10】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2.函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 3.函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型06：抽象函数的定义域 【例11】若函数的定义域为，则函数的定义域是___________ 【例12】已知函数f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(x)的定义域是________． 【例13】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)的定义域为(0，1]，则函数f(x－1)的定义域为(　　) A．(0，1] B．(－1，0] C．(1，2] D．(1，2) 2．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f()＋f(x－2)的定义域为(　　) A．(0，2) B．(1，2) C．(2，3) D．(－1，1) 3.若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.函数的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 6.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型07：给出函数的定义域求参数的范围 【例14】已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 2. 已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 知识点三、函数的值域 题型08：常见函数的值域 【例15】函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【例16】的值域是__________. 【跟踪训练】 1．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 2.已知函数，，，则函数的值域为 　　． 3.已知函数则函数的值域是　　 A．， B．， C．， D．， 题型09：根式型与分式型函数的值域 【例17】求下列函数的值域． (1)y＝＋1； (2)y＝. 【例18】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【跟踪训练】 1. 求下列函数的值域 (1) (2) 2. 求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10：根据值域求参数的值或者范围 【例19】函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练】 1.若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 3. 已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 知识点四、函数图像的画法 题型11：函数图象的画法 【例20】作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 【跟踪训练】 1. 作出下列函数图象： (1)且； (2)． 2.先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域： （1），； （2），； （3），； （4），为正实数. 题型12：利用函数图象求值或比较大小 【例21】已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f＝1，不计算函数值求f(0)； (3)不直接计算函数值，试比较f（）与f（）的大小． 【跟踪训练】 1.已知二次函数y＝2x2－4x－6. (1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象； (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积； (3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0? 一、选择题 1．集合，下列不能表示从A到B的函数的是（  ） A． B． C． D． 2.下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 3.下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4.若函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数g(x)＝f(x＋2)＋的定义域为(　　) A．(1，2) B．(1，4) C．(1，2] D．(1，4] 5.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7.函数的值域为（　　） A． B． C． D． 8.若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9.下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 10.下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝ B．f(x)＝－1与g(x)＝|x|－1 C．f(x)＝与g(x)＝x－2 D．f(x)＝与g(x)＝·　 11.下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 12.已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（   ） A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是 三、填空题 13.函数的定义域为 ． 14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 15.已知函数的定义域为，则实数k的值为 ． 16.已知，则函数的值域为 ． 四、解答题 17.已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 18．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 19. 已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 20.求下列函数的值域 ①； ②； ③； 21．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题5.1 函数的概念与图像 知识点一、函数的定义及相关概念 1、函数的定义：给定两个非空数集A，B，如果按照某种确定的对应关系f， 对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数和它对应， 那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：，. 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的相关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； 与x的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 3、同一个函数 由函数的定义可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。 知识点二、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识点三、抽象函数与复合函数的定义域 1.抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 2.复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 知识点四、函数的值域 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 知识点五、函数的图像 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 知识点一、函数的概念 题型01：由对应关系判断是否为函数 【方法点拨】判断一个对应关系是否为函数的方法 　 【例1】已知对应关系f：x→－.下列对应f是A到B上的函数吗？ (1)A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥－2}， (2)A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|x≥2}． (3)A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}， 解：(1)当x≥1时，－2≤－<0，因为{x|－2≤x<0}{x|x≥－2}，所以f是A到B上的函数． (2)当x＝0时，－没有意义，所以f不是A到B上的函数． (3)当x≤－1时，0<－≤2，当x≥1时，－2≤－<0，所以f是A到B上的函数． 【例2】集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解答过程】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 【跟踪训练】 1.托马斯说：“函数是近代数学的思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，可知函数的定义域为， 对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误； 对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误； 对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确； 对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误. 故选：C. 2.已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能； 对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能； 对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能； 对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能. 故选：C 3.(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【答案】　AD 【解析】对于A，可构成函数关系； 对于B，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 对于C，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；对于D，可构成函数关系． 题型02：根据图形判断是否为函数 【方法点拨】(1)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【例3】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 【例4】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 【跟踪训练】 1.下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】由函数定义：任意自变量有且仅有一个函数值与之对应，排除第三个图； 第一个图中定义域不为，第二个图值域不为， 所以，只有最后一个图满足题设. 故选：B 2. 已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 3.（多选）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A．B．C． D． 【答案】ACD 【分析】由函数的定义，对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，即可判断. 【详解】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中， 对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象， 选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象. 故选：ACD. 4.若函数y=f（x）的定义域为，且，值域为，且，则y=f（x）的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，选项A，D的定义域不是，且，故AD错误； 对于选项C，图象中有一部分自变量对应两个函数值，故C错误； 由函数的定义可知，B正确； 故选：B 题型03：同一函数的判断 判断两个函数是否为同一个函数的3个步骤 [注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形；(2)与用哪个字母表示无关． 【例5】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．故选：D. 【例6】下列式子表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝|x|，φ(t)＝ B．y＝，y＝()2 C．y＝·，y＝ D．y＝，y＝x－3 【答案】　AC 【解析】A，f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数； B，y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一个函数； C，y＝· 的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一个函数； D，∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是同一个函数． 【跟踪训练】 1. 下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B. 2.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数定义域是，而定义域是，A不是； 对于B，函数定义域是，而定义域是，B不是； 对于C，函数定义域是，定义域是，，即对应法则也相同，C是； 对于D，函数定义域是，定义域是，而对应法则不同，D不是. 故选：C 3.下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与 ②与 ③与 ④与 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于①：定义域为，所以， 又，函数解析式不相同，故不是同一函数， 对于②：定义域为，，函数解析式不相同，故不是同一函数， 对于③：定义域为，定义域为， 定义域不相同，故不是同一函数； 对于④：与，定义域相同， 函数解析式也一致，故是同一函数；故选：D 题型04：求函数值或由函数值求参 【例7】1.若，则_________. 【答案】 【解析】由题意得.故答案为： 2.已知，则______． 【答案】6 【解析】因为， 所以， 故答案为：6. 【例8】已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 【跟踪训练】 1.已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求出，即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，，， 故答案为：. 2.已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】B 【分析】直接代入即可. 【详解】令，则. 故选：B. 3.已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 4.已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 5.已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 6．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，g(f(4))；(2)求f(g(x))． 解：(1)f(3)＝＝－， f(4)＝＝－，g(f(4))＝g(－)＝－. (2)因为g(x)＝，所以f(g(x))＝f()＝＝. 知识点二、函数的定义域 题型05：具体函数的定义域 【例9】函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，2) D．[1，＋∞) 【答案】A　 【解析】函数f(x)＝有意义，则有解得x≥1且x≠2， 所以原函数的定义域是[1，2)∪(2，＋∞).故选A. 【例10】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零次幂底数不为0，分母不为0，二次根式被开方数非负列不等式求解即可. 【解答过程】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故选：D. 【跟踪训练】 1. 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据根号和分式定义去求解. 【解答过程】由得，，解得, 由得，，解得, 综合两个条件，函数的定义域为. 故选：C. 2.函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解题思路】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【解答过程】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 3.函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义， 则有，解得且， 所以其定义域为．故选：C. 题型06：抽象函数的定义域 【例11】若函数的定义域为，则函数的定义域是___________ 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，所以， 所以，解得：， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 【例12】已知函数f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(x)的定义域是________． 　【答案】[－1，8] 【解析】根据f(x2－1)的定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，所以x2－1∈[－1，8]，即f(x)的定义域为[－1，8]． 【例13】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【解答过程】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)的定义域为(0，1]，则函数f(x－1)的定义域为(　　) A．(0，1] B．(－1，0] C．(1，2] D．(1，2) 【答案】C 【解析】由于函数f(x)的定义域为(0，1]，令0<x－1≤1，解得1<x≤2， 故函数f(x－1)的定义域为(1，2]．故选C. 2．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f()＋f(x－2)的定义域为(　　) A．(0，2) B．(1，2) C．(2，3) D．(－1，1) 解析：选B.由题意知解得1<x<2. 3.若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 5.函数的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数 的定义域为 所以，即，所以 解得： 所以的定义域为，故选：D. 6.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 题型07：给出函数的定义域求参数的范围 【例14】已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【解答过程】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 【跟踪训练】 1. 若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 2. 已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 知识点三、函数的值域 题型08：常见函数的值域 【例15】函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是定义域上的增函数 所以时， ， 所以值域为：，故选：A. 【例16】的值域是__________. 【答案】 【解析】因为， 所以当时，，当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 2.已知函数，，，则函数的值域为 　　． 【分析】先将函数的解析式配方，确定函数的对称轴，由二次函数的性质求解即可． 【解答】解：函数， 故函数的对称轴为，， 所以函数的最大值为（3）， 的最小值为（1）， 所以函数的值域为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数值域的求解，二次函数性质的应用，要掌握常见的求解函数值域的方法，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题． 3.已知函数则函数的值域是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据二次函数对称轴和定义域可以判断． 【解答】解：，对称轴为， 则最大值为（2）， 最小值为（5）， 值域为，， 故选：． 【点评】本题考查二次函数值域，属于基础题． 题型09：根式型与分式型函数的值域 【例17】求下列函数的值域． (1)y＝＋1；(2)y＝. 【解析】(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞). (2)因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1， 所以0<≤2，则y∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1]. 【例18】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； （2），由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为． 【跟踪训练】 1. 求下列函数的值域 (1) (2) 【解析】（1），因为， 所以函数的值域是； （2）设，， 所以 ， 当时，函数取得最小值1，所以函数是值域是 2. 求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【解析】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 题型10：根据值域求参数的值或者范围 【例19】函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点；；解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为： 【跟踪训练】 1.若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果. 【解答过程】当时，，即值域为，满足题意； 若，设，则需的值域包含， ，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 2.已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【解题思路】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解答过程】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 3.已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)函数定义域为， 对任意都成立， 当时，显然不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为 (2)函数值域为， 能取遍所有正数， 1：，解得， 2：， 符合题意 实数的取值范围为 知识点四、函数图像的画法 题型11：函数图象的画法 【例20】作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 【解析】 (1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]. (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]. (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图象可得函数的值域是[－1，8]. 【总结】 【跟踪训练】 1.作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解答过程】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 2.先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域： （1），； （2），； （3），； （4），为正实数. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析； 【解析】（1）列表如下： 所以值域为：； （2）列表如下： 因为在上单调递增，，，所以值域为； （3）列表如下： 因为在上单调递减，，，所以值域为； （4）定义域为， 列表如下： 由图知在上单调递增，，所以值域为. 题型12：利用函数图象求值或比较大小 【例21】已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f＝1，不计算函数值求f(0)； (3)不直接计算函数值，试比较f（）与f（）的大小． 【解析】f(x)＝3x2＋2x＋1＝3+. (1)顶点坐标为(-,)，对称轴是x＝－. (2)因为f＝1，又＝，|-＝， 所以结合二次函数的对称性可知f(0)＝f＝1. (3)由f(x)＝3＋知二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝－， 所以离对称轴越近，函数值越小．又|--|<|-|，所以f（）<f（）. 【跟踪训练】 1.已知二次函数y＝2x2－4x－6. (1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象； (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积； (3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0? 【解析】(1)配方，得y＝2(x－1)2－8. ∵a＝2>0，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8). 列表： x －1 0 1 2 3 y 0 －6 －8 －6 0 描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示． (2)由图象得，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6). S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12. (3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1<x<3时，y<0. 一、选择题 1．集合，下列不能表示从A到B的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解析】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 2.下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 对于A，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A不符合题意； 对于B，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B不符合题意； 对于C，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C不符合题意； 对于D，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，故D符合题意； 故选：D． 3.下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 4.若函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数g(x)＝f(x＋2)＋的定义域为(　　) A．(1，2) B．(1，4) C．(1，2] D．(1，4] 解析：选C.因为函数f(x)的定义域为[0，4]，对于函数g(x)＝f(x＋2)＋，则解得1<x≤2，所以函数g(x)＝f(x＋2)＋的定义域为(1，2]．故选C. 5.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解答过程】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，故， 若函数有意义，则，解得. 则函数的定义域为. 故选：B 7.函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 8.若函数的值域为，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数与函数的关系，即可求得值域． 【详解】因为的值域是［1，2］， 而与函数定义不同，值域相同， 所以的值域是［1，2］， 所以的值域为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题． 二、多项选择题 9.下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ 解析：选AC.A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B中两函数对应关系不同；C中两函数的定义域、对应关系相同，所以是同一个函数；D中两函数对应关系不同． (2)写出一个与函数y＝|x|的定义域与值域均相同的不同函数________． 解析：由题意可知，函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，＋∞)，因为函数y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)， 所以y＝x2与函数y＝|x|的定义域与值域均相同，但对应关系不同，不是同一个函数． 答案：y＝x2(答案不唯一) 10.下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝ B．f(x)＝－1与g(x)＝|x|－1 C．f(x)＝与g(x)＝x－2 D．f(x)＝与g(x)＝·　 【解析】　对于A，f(x)＝＝1与g(x)＝＝1的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；对于B，f(x)＝－1＝|x|－1，定义域为R，与g(x)＝|x|－1的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠－2}，而g(x)＝x－2的定义域为R，所以不是同一个函数；对于D，f(x)＝的定义域为{x|x≥2，或x≤1}，而g(x)＝·的定义域为{x|x≥2}，所以不是同一个函数．故选AB. 【答案】　AB 11.下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【解析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 12.已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（   ） A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】根据图象逐项分析即可. 【详解】对A，由图可知，，所以，A正确； 对B，易知直线与的图象有两个交点，所以时，不一定为0，B错误； 对CD，由图可知，函数的定义域为，值域为，C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题 13.函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意可得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，则在中，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 15.已知函数的定义域为，则实数k的值为 ． 【答案】0 【详解】函数的定义域为使的实数的集合. 由函数的定义域为 当时，函数，函数定义域为， 因此符合题意； 当时，无解，   即,不等式不成立. 所以实数的值为0. 故答案为：0. 16.已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图像，由函数图像可以得到函数值域. 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 四、解答题 17.已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 【答案】(1)的定义域为，的定义域为； (2)，； (3) 【解题思路】（1）根据分母不为零可得的定义域，易知的定义域为； （2）将分别代入计算即可； （3）先计算出的值，再代入即可. 【解答过程】（1）对于可得，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）易知， ； （3）易知， 所以. 18．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【解析】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 19. 已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【分析】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【解析】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 20.求下列函数的值域 ①； ②； ③； 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用抽象函数定义域求法求解即可. （1）①②利用配方法，借助二次函数求出值域；③利用分式函数求值域的方法求解即得. 【解答过程】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 21．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)2；(3). 【分析】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $