专题5.2 函数的表示方法讲义同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数的表示方法这一核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种基本表示形式，衔接配凑法、待定系数法等解析式求法，进而延伸至分段函数的概念及应用，构建从基础表示到综合应用的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如体温变化、地铁计费）培养数学眼光，通过分类题型（如列表法比较函数值、分段函数解不等式）训练数学思维，用函数模型解决实际问题提升数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后通过跟踪训练与综合练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题5.2 函数的表示方法 知识点一、函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 知识点二、分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 知识点一、函数的表示法 题型01：列表法表示函数 【例1】已知函数和的定义如下表格所示，则不等式的解为（       ） x 1 2 3 f(x) 2 3 1 g(x) 3 2 1 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数如下表所示． x 0 1 2 3 2 2 1 0 若，则_______． 2.已知函数，部分与的对应关系如表：则（       ） A． B． C． D． 3. 已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（  ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 4. 根据列表中的数据选择合适的模型，则（  ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 题型02：图像法表示函数 【例2】一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（　　） A．  B．  C．   D．   【跟踪训练】 1. 周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 2. 某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．  B．  C．   D．   题型03：解析法表示函数 【例3】为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6 km（含6 km）票价3元；6至16 km（含16 km）票价4元；16 km以上每6 km（不足6 km时按6 km计）票价递增1元，但总票价不超过8元． (1)试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：km）的函数的大致图象； (2)某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少？ 【跟踪训练】 1. 如图，在等腰梯形中， ，且.已知为定值，腰与直线的夹角为，设等腰梯形的面积为，高为，则关于的函数解析式为 . 2. 购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 3. 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 知识点二、求函数的解析式 题型04：待定系数法求解析式 【例4】根据下列条件，求函数的解析式； （1）已知是一次函数，且满足； （2）已知函数为二次函数，且，求的解析式； 【例5】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【跟踪训练】 1．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 2.已知一次函数满足f(f(x))＝2x－1，则函数的解析式是 3.已知是一次函数，且，则的解析式是 ． 4.已知函数是一次函数，若，则的解析式是___________________； 5.已知是二次函数，且，，则 ． 6.已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 7.已知二次函数满足，则________________ 题型05：换元法求解析式 【例6】已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，则的解析式为______________． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4.已知，求的解析式； 5.已知，求函数的解析式； 题型06：配凑法求解析式 【例7】已知，求的解析式； 【跟踪训练】 1.已知，求的解析式； 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 4.已知函数，则（ ） A． B． C． D． 题型07：方程组求解析式 【例8】已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立； 【跟踪训练】 1.已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.已知，求的解析式． 3.已知函数满足，则函数的解析式为_______ 4.已知函数满足，则的解析式为_______________． 5.已知函数满足，则 . 题型08：求解析式中的参数值 【例9】已知函数满足，则实数________． 【跟踪训练】 1.函数满足，则常数____________． 2.已知，，若，则a＝_____． 知识点三、分段函数 题型09：求分段函数的解析式或函数值 【例10】已知函数则等于（       ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【跟踪训练】 1.已知函数，则的值为　　． 2.设，则的值为（ ） A．16 B．18 C．21 D．24 3.已知f(x)= ，，则f(g（2）)=（ ） A．-3 B．-2 C．3 D．-1 4.已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 题型10：已知分段函数的值求参数或自变量 【例11】设函数，若，则t的值是（ ） A．2 B．0 C．0或 D． 【跟踪训练】 1.已知函数，若，则a的值是______ 2.已知函数若，则________ 3.已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______. 4.已知函数，若，则 ______________. 5.已知函数 ． （1）求的值； （2）若求a的值. 题型11：求分段函数的定义域、值域（最值） 【例12】已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例13】定义，已知，，记函数，则的最大值是 . 【跟踪训练】 1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知函数的解析式． (1)若，求的值； (2)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）． 题型12：分段函数与不等式 【例14】已知，若，则实数a的取值范围是 ． 【例15】设函数，则不等式的解集为 . 【跟踪训练】 1.已知函数，则不等式的解集为 ． 2.记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 3.已知函数f(x)= 求：（1）画出函数f(x)的简图(不必列表)； （2）求f(f（3）)的值； （3）当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合． 4.已知函数f(x)= x+|2x+4|. (1)画出函数的图象； (2)求不等式f(x)<1的的解集. 5．已知函数，，． （1）在图中画出函数，的图象； （2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 一、选择题 1．已知函数，用列表法表示如下： 则（       ）A． B． C． D． 2.已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ） A．B．C． D． 3.水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． D． 4.若函数是二次函数，满足，则=（  ） A． B． C． D． 5．已知，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 6.已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 7.设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 8．设函数，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（   ） x 2 3 4 5 A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是{2，3，4，5} 10．已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 11．下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在上的函数满足，则 12.已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 三、填空题 13.若函数，则 . 14.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 15.已知函数满足，且，则 . 16.设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 四、解答题 17.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 18.已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 19.已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 20．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 21.已如函数 (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图像． 22．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题5.2 函数的表示方法 知识点一、函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 知识点二、分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 知识点一、函数的表示法 题型01：列表法表示函数 【例1】已知函数和的定义如下表格所示，则不等式的解为（       ） x 1 2 3 f(x) 2 3 1 g(x) 3 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由表格知： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上，的解为.故选：C 【跟踪训练】 1.若函数如下表所示． x 0 1 2 3 2 2 1 0 若，则_______． 【答案】0或1 【解析】由函数列表可知：，而，∴，结合列表知：或.故答案为：0或1 2.已知函数，部分与的对应关系如表：则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由表知，，则．故选：D． 3. 已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（  ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解析】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 4. 根据列表中的数据选择合适的模型，则（  ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【解析】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 题型02：图像法表示函数 【例2】一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可. 【解析】依题意亮亮在早上时体温大于，随着药物的作用，亮亮的体温逐渐下降，到中午时体温接近， 下午体温又逐渐上升到晚上体温渐渐下降直到半夜体温接近的正常温度，故符合题意的函数图象为C. 故选：C 【跟踪训练】 1. 周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【解题思路】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【解答过程】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 2. 某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【解答过程】由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 题型03：解析法表示函数 【例3】为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6 km（含6 km）票价3元；6至16 km（含16 km）票价4元；16 km以上每6 km（不足6 km时按6 km计）票价递增1元，但总票价不超过8元． (1)试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：km）的函数的大致图象； (2)某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少？ 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）先求出关于的解析式，利用分段函数的性质，即可求解结果； （2）利用（1）中结果，即可求解结果. 【解析】（1）由题知，作出图象，如图所示， （2）由（1）得该乘客乘车的路程不能超过. 【跟踪训练】 1. 如图，在等腰梯形中， ，且.已知为定值，腰与直线的夹角为，设等腰梯形的面积为，高为，则关于的函数解析式为 . 【答案】 【分析】用表示，，结合梯形面积公式计算即可. 【解析】如图，过点作的垂线，交于点.易知. 在中，，所以. 因为，所以，所以， 所以. 答案 2. 购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 【答案】， 【分析】根据正比例关系即可求解. 【解析】根据题意可得，， 故答案为：，. 3. 某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【解析】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 知识点二、求函数的解析式 题型04：待定系数法求解析式 【例4】根据下列条件，求函数的解析式； （1）已知是一次函数，且满足； （2）已知函数为二次函数，且，求的解析式； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）设，则 所以解得：所以； （2）设 ，解得： 【例5】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【解析】根据题意设，则， 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 【跟踪训练】 1．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 2.已知一次函数满足f(f(x))＝2x－1，则函数的解析式是 【解答】或； 【分析】由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得 或 ∴所求函数解析式为或 3.已知是一次函数，且，则的解析式是 ． 【答案】或 【解析】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 4.已知函数是一次函数，若，则的解析式是___________________； 【解答】或； 【分析】设，则， 又，所以，，解得或， 因此，或； 5.已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【解析】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 6.已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【解答】． 【分析]，则， ，即， 即，所以，解得. 因此，. 7. 已知二次函数满足，则________________ 【解析】设， 因为， 所以， 化简可得：， 所以，所以，所以， 所以，所以， 题型05：换元法求解析式 【例6】已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据换元法，求函数解析式即可. 【详解】令，则，且，代入原式得， 所以函数解析式为． 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知，则的解析式为______________． 【答案】 【解析】令，则，∴，故答案为：． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求函数解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 3.已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，所以， 所以，所以， 故选：B. 4.已知，求的解析式； 【答案】； 【解析】由题意得：定义域为 设，则 5.已知，求函数的解析式； 【答案】； 【解析】设，则，，即，∴， ∴． 题型06：配凑法求解析式 【例7】已知，求的解析式； 【解析】因为，所以，所以， 【跟踪训练】 1.已知，求的解析式； 【解析】 ， 令，由双勾函数的性质可得或， ，或 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以. 故选：A. 3.已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 所以． 故选：B． 4.已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，. 故选：B. 题型07：方程组求解析式 【例8】已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立； 【答案】； 【解析】将代入等式得出， 联立，变形得：，解得 【跟踪训练】 1.已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 2.已知，求的解析式． 【解答】（1）；（2） （2）由…①得：…② ①②联立消去得： 3.已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【解析】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 4.已知函数满足，则的解析式为_______________． 【答案】. 【解析】因为， 所以，所以， 则的解析式为. 故答案为：. 5.已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 题型08：求解析式中的参数值 【例9】已知函数满足，则实数________． 【答案】1 【解析】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 【跟踪训练】 1.函数满足，则常数____________． 【答案】 【解析】恒成立，即恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 2.已知，，若，则a＝_____． 【答案】1 【解析】∵，， ∴， 又， ∴， 解得． 故答案为：1． 知识点三、分段函数 题型09：求分段函数的解析式或函数值 【例10】已知函数则等于（       ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据分段函数可知：故选：A 【跟踪训练】 1.已知函数，则的值为　　． 【分析】在这段上代入这段的解析式求出，将结果代入对应的解析式，求出函数值即可． 【解答】解：因为：， （1）． 故答案为：． 2.设，则的值为（ ） A．16 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 3.已知f(x)= ，，则f(g（2）)=（ ） A．-3 B．-2 C．3 D．-1 【答案】C 【解析】因为，所以，所以．选：C 4.已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 【答案】（1）；（2）图象见解析. 【解析】（1），，则； （2）函数的图象如下图所示： 题型10：已知分段函数的值求参数或自变量 【例11】设函数，若，则t的值是（ ） A．2 B．0 C．0或 D． 【答案】D 【解析】由题意，函数，可得， 又由，即，可得当，，即t的值是.故选：D. 【跟踪训练】 1.已知函数，若，则a的值是______ 【解析】由函数， 当时，，解得 ， 当 时，，解得， 综上：或. 2.已知函数若，则________ 【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的等式，即可解得实数的值 【详解】当时，，当时，， 因为，所以，即，所以， 所以，即，解得． 故选： 3.已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______. 【答案】5 【解析】，， 所以，解得故答案为：5， 4.已知函数，若，则 ______________. 【答案】0 【解析】令，则， （1）当时，，所以 ； 当时，（舍去）， 当时，； （2）当时，，所以 ； 当时，，显然此时方程无实数解， 当时，，显然此时方程无实数解， 综上所述：. 故答案为：0 5.已知函数 ． （1）求的值； （2）若求a的值. 【答案】（1）18，0；（2）2. 【解析】（1）函数， 则，，； （2）对于， 若，则，解可得，不符合题意，舍去； 若，则，解可得，不符合题意，舍去； 若，则，解可得或，其中不符合题意，舍去； 故. 题型11：求分段函数的定义域、值域（最值） 【例12】已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 【例13】定义，已知，，记函数，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】先根据题意求出解析式，然后求出每一段上函数的值域，从而可求出的值域，进而可求出的最大值. 【详解】由，得，化简得， 解得或， 所以， 在上递增，所以， 在上递减，所以， 在上递减，所以，得， 综上，， 所以的最大值是. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分段求函数值域，根据原函数值域为，求实数的取值范围. 【解答过程】若，在上，函数单调递增，所以； 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 因为函数的值域为，所以，结合得. 若，则的值域为； 若，在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以； 所以函数的值域不可能为； 若，则函数在上，函数单调递减，所以（）； 在上，函数单调递增，， 此时函数的值域不可能为. 综上可知：当时，函数的值域为. 故选：D. 2.已知函数的解析式． (1)若，求的值； (2)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）． 【解析】（1）若解得， 若解得（舍）， 若解得， 综上的值或3. （2）作图如下， 由图可得，当时，函数有最大值为6， 所以值域为. 题型12：分段函数与不等式 【例14】已知，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，解得； 当时，，解得； 综上所得， a的取值范围是. 故答案为：． 【例15】设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 2.记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【解析】作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 3.已知函数f(x)= 求：（1）画出函数f(x)的简图(不必列表)； （2）求f(f（3）)的值； （3）当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合． 【答案】（1）答案见解析；（2）11；（3）． 【解析】（1）由分段函数可知，函数f(x)的简图为： （2）因为， 所以； （3）当时，， 当时， 当时,， 时，取值的集合为． 4.已知函数f(x)= x+|2x+4|. (1)画出函数的图象； (2)求不等式f(x)<1的的解集. 【答案】(1)图象见解析；(2)(-5,-1). 【解析】(1)由题设，， -5 -4 -2 0 1 0 -2 1 4 (2)由（1）得：，可得；，可得；综上，的解集为(-5,-1). 5．已知函数，，． （1）在图中画出函数，的图象； （2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 【答案】（1）图象见解析；（2）；图象见解析. 【解析】（1），的图象如下图所示： （2）当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：. 图象如下图所示： 一、选择题 1．已知函数，用列表法表示如下： 则（       ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由列表可知.故选：B. 2.已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ） A．B．C． D． 【解题思路】观察选项ACD中函数的值域即可排除，观察分析选项B中函数的定义域与值域，从而得解. 【解答过程】A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误； B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确； C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误； D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误. 故选：B. 3.水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． D． 【解题思路】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【解答过程】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 4.若函数是二次函数，满足，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 5．已知，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【解析】令， 由， 则，即. 故选：C. 6.已知函数若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，再分和两种情况，代入解方程即可． 【解答过程】当时，，解得或（舍）， 当时，，解得（舍）. 故选：A. 7.设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解答过程】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 8．设函数，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，则， 不等式，当时，，解得，因此； 当时，，即，解得或，因此或， 所以不等式的解集是. 故选：B 二、多项选择题 9．下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（   ） x 2 3 4 5 A． B．若，则 C．函数的定义域是 D．函数的值域是{2，3，4，5} 【解题思路】根据表格中的函数关系逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，，选项A正确； 若，则，选项B错误； 函数的定义域为，选项C正确； 函数的值域是{2，3，4，5}，选项D正确. 故选：ACD. 10．已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 【解题思路】分与两种情况，列方程求解的值即可. 【解答过程】当时，得，解得或（舍去）； 当时，得，解得. 故选：BC. 11．下列说法正确的是（ ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在上的函数满足，则 【解题思路】直接求出的表达式，可判断A选项；利用换元法可判断B选项；利用待定系数法可判断C选项；利用方程组法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，令，则且， 所以，，故，B错； 对于C选项，因为一次函数满足，设， 则， 所以，，解得或， 因此，或，C错； 对于D选项，定义在上的函数满足①， 可得②， 由①②可得，D对. 故选：AD. 12.已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【解题思路】分和两种情况求解即可. 【解答过程】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. 三、填空题 13.若函数，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； 【解析】函数，又的值域为， ， 故答案为：. 14.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】解析法表示函数、图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 15.已知函数满足，且，则 . 【答案】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 16.设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，，可得，进而求解，判断选项. 【解答过程】根据题意，, 由，得，则， 从而，解得. 故选:B． 四、解答题 17.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】(1)， (2)行驶的最大速度为70千米时． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，求解，的值即可； （2）令求出的取值范围即可． 【解析】（1）由图象可知，点，在函数图象上， ，解得， ，； （2）令，得， 解得， 又，    ， 即行驶的最大速度为70千米时． 18.已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【解析】（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 19.已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【解析】（1）由解得或， 画出的图象如下图所示， 而表示中的较小者，所以函数的图象如下图所示： （2）由，解得或， 结合图象可得的解析式： . 20．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题意可知时，，代入即可求得的值； （2）根据题意可知，由此化简可得； （3）分段讨论的最小值，从而得到的最小值及的值. 【解析】（1）依题意得，当时，， 因为，所以当时，， 所以，解得， 故的值为. （2）依题意可知， 又由（1）得，， 所以. （3）当时，，显然在上单调递减， 所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，故； 综上：，此时， 所以当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 21.已如函数 (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图像． 【解析】（1）易知 （2）当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 22．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)，；(2)或1或；(3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $