专题2.6 分式方程的应用（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦分式方程的应用这一核心知识点，先系统梳理列分式方程的步骤及工程、利润、行程等常见等量关系，再通过10种题型的例题与变式题构建“知识点-题型-变式”学习支架，衔接分式方程解法与实际应用。 资料亮点在于题型贴近生活，如汉服加工、世界杯吉祥物等情境，引导学生用数学眼光观察现实世界。例题变式梯度设计，培养运算能力与推理意识，通过建立方程模型发展模型意识与应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题2.6 分式方程的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 工程问题】 2 【题型2 行程问题】 5 【题型3 利润与销售问题】 9 【题型4 浓度与配比问题】 13 【题型5 数字与数位问题】 16 【题型6 几何图形问题】 18 【题型7 古文问题】 23 【题型8 比例与分配问题】 25 【题型9 素材问题】 28 【题型10 方案选择与最值问题】 35 考点1 分式方程的应用 知识点 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【题型1 工程问题】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． (1)方程①中表示： ；方程②中表示： ； (2)任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 【答案】(1)甲组每小时加工的件数；甲组加工200件所用的时间 或 乙组加工240件所用的时间 (2)甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件 【分析】（1）由可得方程①中表示：甲组每小时加工的件数；由可得方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）分别解两个方程，进一步可得答案. 【详解】（1）解：方程①中表示：甲组每小时加工的件数；方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）解：方程①：， 解得：， 经检验：是原方程的解 ，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件； 方程②：， 解得： ， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路100米 【分析】设甲工程队每天修路x米，根据两工程队修建这段公路共用50天，列方程解答． 【详解】解：设甲工程队每天修路x米，则乙工程队每天修路米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天修路100米． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）【文化背景】 “中国有礼仪之大，故称夏；有服章之美，谓之华．”华夏衣冠承载着千年的文明密码与审美意趣．在2026年央视春晚上，创意节目《贺花浓》以其如诗如画的意境，考究复原的汉服形制，惊艳了全国观众． 【数学问题】 某非遗汉服工坊有甲、乙两个团队加工同一款马面裙，已知甲团队比乙团队每天多加工1件，且甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍． (1)分别求甲、乙两个团队每天加工马面裙的件数； (2)现有一份加工60件马面裙的订单，该工坊计划完成该订单的总工作时长不超过14天（总工作时长=甲团队的工作天数+乙团队的工作天数），试问：甲团队至少需要工作多少天？ 【答案】(1)甲团队每天加工件马面裙，乙团队每天加工件马面裙 (2)甲团队至少需要工作天 【分析】（1）设乙团队每天加工件马面裙，甲每天加工件马面裙，根据甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍列方程，解方程即可求解； （2）设甲团队需要工作天，根据马面裙件数和计划完成该订单的总工作时长不超过14天，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设乙团队每天加工件马面裙，甲每天加工件马面裙， 由题意列方程，得， 解方程得，， 经检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：甲团队每天加工件马面裙，乙团队每天加工件马面裙； （2）解：设甲团队需要工作天， 由题意得，， 解不等式得，， 答：甲团队至少需要工作天． 【变式1-3】为了扎实推进“四好农村路”建设，打造推进乡村振兴“快车道”，我市某区不断优化以乡镇为中心、村组为网点的农村公路交通网络，积极解决农村公路基础设施不足的问题，强化农村公路管养水平，以交通发展全面功推农村经济高质量发展现需收造一段连接，，三个村镇的农村公路，其中，两村镇间的公路长度比，两村镇间的公路长度长米甲施工队计划每天施工米，恰好可以用天完成全部公路的改造工程． 求，两个村镇间的公路长度为多少米 实际施工时，由甲施工队负责，两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责，两村镇间的公路改造工程甲施工队施工天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚天完成公路改造工程乙施工队每天施工多少米 【答案】解：设，两个村镇间的公路长度为米，则，两个村镇间的公路长度为米． 由题意，得， 解得． 答：，两个村镇间的公路长度为米． 设乙施工队每天施工米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：乙施工队每天施工米．  【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用． 设，两个村镇间的公路长度为米，则，两个村镇间的公路长度为米，列出方程即可解答 设乙施工队每天施工米，列出分式方程，即可解答． 【题型2 行程问题】 【例2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【答案】(1)甲走前半段步道的速度为千米/时； (2)，乙先到达终点． 【分析】（1）设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时，根据题意列得分式方程，据此求解即可； （2）根据题意分别求得，，计算得到，据此分析求得，即可判断乙先到达终点． 【详解】（1）解：设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解； 答：甲走前半段步道的速度为千米/时； （2）解：甲前千米速度为千米/时，后千米速度为千米/时， ∴， 乙把总时间小时分成两半，每段小时，总路程千米， ∴， 整理得， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴乙先到达终点． 【变式2-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【答案】(1)③ (2)；小卢和小吴行驶速度分别为和． 【分析】（1）根据路程除以时间等于速度，结合可得答案； （2）设小卢车速度为，利用小卢用时小吴用时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的表示小卢和小吴行驶时间； （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：小卢和小吴行驶速度分别为和． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图是某路口斑马线的示意图，该段斑马线横跨双向行车道，其中米，点处为两侧车道中间的绿化隔断（宽度忽略不计）．为保证安全，行人应在绿灯亮时快速通过．小明根据路口红绿灯计时器发现，自己本次穿越斑马线共用时15秒，其中通过段时，因为担心绿灯时长不足，于是以段速度的2倍快速跑过． (1)小明通过段斑马线时的速度是多少米每秒？ (2)已知标准交通信号灯的变换顺序为“…→绿灯→黄灯→红灯→绿灯→…”，该路口的红灯和绿灯时长均为30秒，黄灯时长为3秒．小亮在与路口尚有一段距离时发现绿灯亮了，为了在节省时间的同时兼顾安全需要（绿灯亮时才能通行），他是应该跑步赶上本轮绿灯，还是应该等下一轮绿灯时再通过？请你帮他妥善安排，并说明理由．（小亮跑步的平均速度为3米每秒） 【答案】(1)小明通过段斑马线时的速度是米每秒 (2)解：小亮跑过整个斑马线所需的时间为：秒， ∵标准交通信号灯的变换顺序为“…→绿灯→黄灯→红灯→绿灯→…”，且该路口的红灯和绿灯时长均为30秒，黄灯时长为3秒， ∴本轮绿灯剩余时间最多为30秒， 设小亮与路口的距离为， 由题意得，， 解得， ∴当小亮与路口的距离小于等于60米时，应该跑步赶上本轮绿灯；当小亮与路口的距离大于60米时，小亮应该等下一轮绿灯时再通过，这样符合安全通行规则． 【分析】（1）设小明通过段斑马线时的速度是米每秒，则通过段的速度为米每秒，根据题意，列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）先计算出小亮跑过整个斑马线所需的时间为：秒，分析可知本轮绿灯剩余时间最多为30秒，本轮绿灯剩余时间最多为30秒，可设小亮与路口的距离为，从而得到，，解得，即可分析得到，当小亮与路口的距离小于等于60米时，应该跑步赶上本轮绿灯；当小亮与路口的距离大于60米时，小亮应该等下一轮绿灯时再通过，这样符合安全通行规则． 【详解】（1）解：设小明通过段斑马线时的速度是米每秒，则通过段的速度为米每秒， 由题意得，， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小明通过段斑马线时的速度是米每秒； （2）略 【变式2-3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 【题型3 利润与销售问题】 【例3】（25-26八年级下·广东深圳·期末）深圳大鹏半岛、梧桐山、深圳湾红树林是本地知名文旅地标，“深圳城市纪念徽章”深受游客喜爱．旅游旺季期间，某深圳文创商铺店主备货售卖城市纪念徽章．店主第一次采购一批纪念徽章，总花费元；再次补货时，第二批徽章单枚进价比第一批贵元，采购总费用元，采购数量是第一批的倍． (1)求第一批、第二批纪念徽章每枚的进价分别是多少元？ (2)求第一批、第二批分别采购了多少枚纪念徽章？ (3)店主统一标价售卖全部徽章，仅最后枚打八折优惠；销售期间额外人工、场地成本合计元．若全部卖完后总利润不低于元，求单枚纪念徽章标价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批每枚进价为元，第二批每枚进价为元 (2)第一批采购数量为枚，第二批采购数量为枚 (3)元 【分析】（1）设第一批每枚进价为元，则第二批进价元，依据第二批采购数量是第一批倍列分式方程求解，检验后可得到两批徽章进价； （2）利用“采购数量采购总费用单价”，分别代入第一批进价算出第一批数量，再乘得到第二批采购数量； （3）设徽章标价为元，结合枚按标价售卖、最后枚八折售卖得出总销售额，总采购费用加上额外场地人工费用得到全部成本，根据总利润不低于元列出一元一次不等式，求解可得标价最小值． 【详解】（1）解：设该老板采购第一批“深圳城市纪念徽章”时，每枚进价为元，则第二批每枚进价为元， 第二批采购数量是第一批的倍， ， 两边同时乘以得， 合并同类项并移项得， 解得， 检验，当时，，故是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：第一批每枚进价为元，第二批每枚进价为元； （2）解：第一批采购数量为（枚）， 第二批采购数量为（枚）， 答：第一批采购数量为枚，第二批采购数量为枚； （3）解：设每枚“深圳城市纪念徽章”的标价为元， 两批总数量为（枚）， 按标价售出的数量为（枚）， 总销售额为（元）， 总成本为采购费用加额外成本，即（元）， 根据利润不低于元可得，解得， 答：每枚“深圳城市纪念徽章”的标价至少是元． 【变式3-1】（25-26八年级下·山西晋中·期末）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 (2)购进鸮卣毛毡背包至少个 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； （2）解：设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少个． 【变式3-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）年足球世界杯于月日月日在美国、加拿大、墨西哥三国举行，作为世界体坛最具影响力的赛事之一，它的周边产品（吉祥物）深受球迷喜爱．这个吉祥物：克拉奇（）、梅普尔（）、萨尤（）分别是个国家的象征．现有、两种型号的吉祥物套装，已知型吉祥物套装比型套装贵元，用元购买型套装与用元购买型套装的数量相同． (1)每套型吉祥物套装与型吉祥物套装的售价分别是多少元？ (2)某学校足球队决定用不超过元购买、两种型号的吉祥物套装共套作为礼物送给校队队员，则最多能购买型吉祥物套装多少套？ 【答案】(1)型每套元，型每套元 (2)最多能购买型吉祥物套装套 【分析】（1）设每套型套装售价为元，则型每套元，根据“元买型数量元买型数量”列分式方程，即可求解； （2）设购买套型，则型套，根据“总费用不超过元”列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每套型套装售价为元，则型每套元， 根据题意可得， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， 则型单价：（元） 故型每套元，型每套元． （2）解：设购买套型，则型套， 根据题意可得， ， ， ， ∵为正整数，故最大取， 故最多能购买型吉祥物套装套． 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 某品牌坚果有桶装和袋装两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的，且用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件． 【问题解决】 (1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； (2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15元，每件袋装坚果的利润为9元，全部销售完他希望总利润不少于1500元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2倍还多6件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 【答案】(1)每件桶装坚果的价格为40元，每件袋装坚果的价格为24元 (2)小赵至少需要购买44件桶装坚果 【分析】（1）设每件桶装坚果的价格为元，则每件袋装坚果的价格为元，根据用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件建立方程求解即可； （2）设购买桶装坚果m件，则购买袋装坚果件，根据总利润不少于1500元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每件桶装坚果的价格为元，则每件袋装坚果的价格为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每件桶装坚果的价格为40元，每件袋装坚果的价格为24元． （2）解：设购买桶装坚果m件，则购买袋装坚果件， 由题可得：， 解得， ∵为整数， 的最小值为44， 答：小赵至少需要购买44件桶装坚果． 【题型4 浓度与配比问题】 【例4】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知糖水的浓度．一杯糖水的总质量为，其中含糖． (1)这杯糖水的浓度= ． (2)若要将该杯糖水的浓度变为，只需加糖多少克？（用分式方程解决） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式计算，即可求解； （2）设加糖克，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：这杯糖水的浓度 （2）解：设加糖克，根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意 答：要将该杯糖水的浓度变为，只需加糖． 【变式4-1】某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的2倍．取原液加水稀释用于衣物消杀，再取原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位） 【答案】该消毒液用于环境消杀的浓度为 【分析】消毒液用于环境消杀的浓度为，则用于衣物消杀的浓度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：消毒液用于环境消杀的浓度为，则用于衣物消杀的浓度为 由题意可得： 解得： 经检验是分式方程的解． 答：该消毒液用于环境消杀的浓度为． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键． 【变式4-2】化学实验室一容器内的a克盐水中含盐b克（盐水的浓度＝含盐质量÷盐水质量×100%）． （1）若加入4克盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（用数学的方法书写过程） （2）若a＝50，b＝5，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍？ （3）若a＝50，b＝5，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍． 【答案】（1）食盐水的浓度比原来增加了，理由见解析；（2）克；（3）25克 【分析】（1）分别求得原来食盐水的浓度和加入4克盐以后的食盐水浓度，然后进行分式的减法计算； （2）设加入克盐，根据容器内的盐水浓度提高到原来的2倍列方程求解； （3）设蒸发克水，根据容器内的盐水浓度提高到原来的2倍列方程求解． 【详解】解：（1）由题意可得，容器内原有盐水的浓度为：， 加入4克盐后，容器中盐水的浓度为， ， 食盐水的浓度比原来增加了， （2）设加入克盐后，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍， 由题意可得：， 当，时， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 加入克盐，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍， （3）设蒸发克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍， 由题意可得：， 当，时， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 蒸发25克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍． 【点睛】本题考查分式混合运算的应用和分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 【变式4-3】阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=×100%． (1)公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为__________； (2)拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍； (3)解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程)． 【答案】(1)25% (2)25克 (3)浓度变大，理由见解析 【详解】（1）解：公式应用：由题意，得 ， 故答案为：25%； （2）解：设需要蒸发x克水，根据题意，得 ， 解得：x=25， 经检验，x=25是分式方程的解，也符合题意， 所以需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍； （3）解：设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐， 则该容器内原盐水浓度为，容器内加盐后，盐水浓度为 由题意，知，a>b>0，c>0， ∴ac>bc， ∴ab+ac>ab+bc， ∴a(b+c)>b(a+c)， ∴， ∴， 即若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度变大．. 【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式性质的应用，理解题意，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 【题型5 数字与数位问题】 【例5】一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是，原来得两位数是______． 【答案】63 【分析】设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答． 【详解】解：设这个两位数个位上的数为x， 则可列方程：， 整理得66x＝198， 解得x＝3， 经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63， 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【答案】34 【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，两位数是，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 则：， 解方程得：， 经检验：是原方程的根， 所以个位上的数字为：＝3＋1＝4， 所以这个两位数是：3×10＋4＝34． 答：这个两位数是34． 【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程． 【变式5-2】有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是__． 【答案】 【分析】由分子加1，分子则比分母少2可知，原来分子比分母少，如果设原来的分子是x，则分母是，又由分母加1，则分数值等于即可列出方程，由此解答即可． 【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是，由题意列出方程 所以， 所以， 解得：，经检验符合题意； 所以； 因此这个分数是； 故答案为： 【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，关键是找出等量关系，设出未知数，列方程解答比较简便． 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设十位上的数字为x，则个位数字为，根据这两位上数字的倒数和是列出方程即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 【题型6 几何图形问题】 【例6】（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 (1)填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） (2)求m的值； (3)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【答案】(1)； (2)m的值为8 (3)制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完 【分析】（1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量 （2）根据（1）中结果，结合两者数量关系列出分式方程求解； （3）先根据第（1）问算出正方形木板20块、长方形木板60块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【详解】（1）解： 根据题意得：，； （2）解：根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． m的值为8． （3）解：由（2）可知，， 即正方形木板有20块，长方形木板有60块． 设制作竖式木箱x个，横式木箱y个． 由题意，得， 解得 答：制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完． 【变式6-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【变式6-2】李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米． 【答案】 1 或 【分析】设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，则，解得，由题意知是正整数，设为正整数），解得，将为正整数代入即可得出结果． 【详解】解：设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米， 则， 解得：， 经检验，a=1是原方程的解， 由题意得：是正整数， 设为正整数）， 解得：， 当时，，舍去）； 当时，，舍去）； 当时，； 当时，． 故答案为：1，或． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键． 【变式6-3】（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成．    (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 【答案】(1)200个 (2)11 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系是解题的关键． （1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个，根据题意列出分式方程求解即可； （2）首先表示出切割出的侧面的数量为个，切割出的底面的数量为个，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个． 根据题意，得 整理得， 解得或（舍去）． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工厂每天生产该配件200个． （2）根据题意可知用A方法切割的长方形金属板为m块，用B方法切割的长方形金属板为块， 则切割出的侧面的数量为个， 切割出的底面的数量为个． ∵每个图1的配件中，侧面与底面数量的比为， ． 解这个方程得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：m的值为11． 【题型7 古文问题】 【例7】（25-26八年级下·江苏连云港·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有出钱三百八十四，买大竹；出钱一百六十八，买小竹，其数半之；欲其大小率之，问大、小竹各几何？”原文大意为：今花384钱，买大竹，花168钱，买小竹，买小竹的数量是买大竹数量的一半，每个大、小竹的价格相差1钱，求大、小竹各买多少个？ 【答案】买小竹24个，买大竹48个 【分析】设买小竹个，买大竹个，根据题意列分式方程求解． 【详解】解：设买小竹个，买大竹个， 由题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 故小竹买了24个， 则大竹买了：（个）． 答：买小竹24个，买大竹48个． 【变式7-1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 【变式7-2】（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设好田有x亩，则坏田有亩． 根据题意，得． 解这个方程，得．． 答：好田买了亩，坏田买了亩． （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是． 根据题意，得． 解方程，得． 经检验，是所列方程的解．所以有． 答：好田的平均亩产量是． 【变式7-3】（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【分析】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 【题型8 比例与分配问题】 【例8】某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配_______________________人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 【答案】 【分析】设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名，分别表示出制作椅子和课桌所需要的时间，列出分式方程求解． 【详解】解：设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名， 则制作把椅子所需时间， 制作张课桌所用的时间为， 令， 当值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短， 当时，即， 解得不符合实际， 当时，， 当时，， 即当时，完成此项工作时间最短． 故答案是：13． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出分式方程求解． 【变式8-1】一项工程的施工现场,调来72名司机师傅参加挖土和运土工作,已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走,怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走?可设派名司机师傅挖士,其他的人运土,列方程: 上述所列方程,正确的有___个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】关键描述语是：“3人挖出的土1人恰好能全部运走”．等量关系为：挖土的工作量＝运土的工作量，找到一个关系式，看变形有几个即可． 【详解】设挖土的人的工作量为1． ∵3人挖出的土1人恰好能全部运走， ∴运土的人工作量为3， ∴可列方程为：①，②72﹣x＝，④＝3，故①②④正确，故正确的有3个. 故选C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程．解决本题的关键是根据工作量得到相应的等量关系，难点是得到挖土的人的工作量和运土的人的工作量之间的关系． 【变式8-2】随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的． (1)新分配到甲车间的人数有多少人？ (2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？ 【答案】(1)新分配到甲车间的人数有人； (2)乙车间每名工人每天生产零件50个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用． （1）设新分配到甲车间的人数有人，则新分配到乙车间的人数有人，根据分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙车间每名工人每天生产零件个，则甲车间每名工人每天生产零件个，根据甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少用4天，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设新分配到甲车间的人数有人，则新分配到乙车间的人数有人， 依题意得：， 解得：， 答：新分配到甲车间的人数有10人； （2）解：设乙车间每名工人每天生产零件个，则甲车间每名工人每天生产零件个， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙车间每名工人每天生产零件50个． 【变式8-3】由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需的时间比是5：3，两队共同施工15天可以完成． （1）求两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）此项工程由甲、乙两队共同施工15天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？ 【答案】（1）甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要24天；（2）甲队应得的报酬为7500元，乙队应得的报酬为12500元． 【分析】（1）首先表示出两工程队完成需要的时间，进而利用总工作量为1得出等式求出答案； （2）根据（1）中所求，进而利用两队完成的工作量求出答案． 【详解】（1）设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得解，∴（天），（天）． 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要24天． （2）甲队应得到（元）， 乙队应得到（元）． 答：甲队应得的报酬为7500元，乙队应得的报酬为12500元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题关键是根据题意列出正确的分式方程. 【题型9 素材问题】 【例9】（25-26八年级下·广东佛山·期中）项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米，每台单价12万元；B款机器人每日巡逻路程为32千米，每台单价10万元．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元．    (1)任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为x万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 (2)任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ (3)任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 【答案】(1) (2) (3)有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算 【分析】（1）设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元，根据“用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等”即可列出方程； （2）设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）设A款机器人购买台，则B款机器人购买台，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为万元， 由题意可得； （2）解：设该项工程规定日期天，则A机器人单独完成需要天，B机器人单独完成需要天， ∴A机器人的工作效率为，B机器人的工作效率为， 由题意可得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴该项工程规定日期天； （3）解：设A款机器人购买台，则B款机器人购买台， 由题意可得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴， ∵为整数， ∴或， 方案一：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人台，所花费用为（万元）， 方案二：当时，购买A款机器人台，购买B款机器人3台，所花费用为（万元）， ∵， ∴有两种购买方案，方案一：购买A款机器人台，购买B款机器人台；方案二：购买A款机器人台，购买B款机器人3台；方案一更划算． 【变式9-1】（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）某水果店将某种水果包装成两种盒装水果销售，分为鲜切盒和整装盒．请根据以下素材完成相应的任务． 水果销售方案 素材1 鲜切盒每盒的成本比整装盒每盒贵3元 素材2 用94元制作鲜切盒的数量是用32元制作整装盒的2倍 素材3 该水果店平均每天可销售该种鲜切盒水果50盒，其中白天（7:00-19:00）可销售40盒，剩下10盒打折销售，其折扣分5个时段进行，如图 素材4 在19:00至21:30的每个折扣时段内，可销售鲜切盒都是2盒 问题解决： (1)任务1：鲜切盒和整装盒的成本分别是多少元/盒？ (2)任务2：若水果店期望销售鲜切盒水果利润不低于，则其每盒的标价（白天的售价）最低需设置为多少元?（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 【答案】(1)鲜切盒的成本是9.4元/盒，整装盒的成本是6.4元/盒 (2)最低需设置为12元 【分析】（1）设鲜切盒的成本是元/盒，则整装盒的成本是元/盒，根据“用94元制作鲜切盒的数量是用32元制作整装盒的2倍”列出方程即可； （2）设鲜切盒的标价（白天的售价）是元/盒，根据“鲜切盒水果利润不低于”列出不等式即可． 【详解】（1）解：设鲜切盒的成本是元/盒，则整装盒的成本是元/盒． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． ． 答：鲜切盒的成本是9.4元/盒，整装盒的成本是6.4元/盒． （2）解：设鲜切盒的标价（白天的售价）是元/盒． 根据题意，得， 解得，所以的最小值为12． 答：鲜切盒每盒的标价（白天的售价）最低需设置为12元． 【变式9-2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材一 昭通苹果节期间，某电商果农直播间进行顺丰包邮到家活动，特大精品果在每箱十二斤的同等包装规格下，每箱瑞雪苹果的售价比每箱红富士苹果的售价高90元，且花费850元购买的瑞雪苹果箱数与花费400元购买的红富士苹果箱数相同． 素材二 为促进两种精品果的销售及推广，该电商推出“家庭分享优惠装”进行组合售卖，其中包含2箱瑞雪苹果和2箱红富士苹果，售价为400元．已知某顾客欲购买7箱瑞雪苹果和5箱红富士苹果． 问题解决 任务1确定单价 根据素材一，请计算每箱瑞雪苹果和每箱红富士苹果的售价． 任务2拟定购买方案 根据素材二，请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低且又最划算，并计算总价． 【答案】任务1：每箱瑞雪的售价为170元，每箱红富士的售价为80元；任务2：当购买3套优惠装，再单独购买1箱瑞雪时能使总价最低且最划算，最低价为1370元 【分析】本题考查分式方程解应用题、有理数混合运算涉及方案等，读懂题意，准确列式计算是解决问题的关键 任务1：设每箱瑞雪的售价为元，则每箱红富士的售价为元，由题中等量关系列分式方程求解即可得到答案； 任务2：根据题意及任务1中得到的结论，分别计算不同方案的花费，比较大小即可得到答案． 【详解】解：任务1：设每箱瑞雪的售价为元，则每箱红富士的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：每箱瑞雪的售价为170元，每箱红富士的售价为80元； 任务2：单独购买2箱瑞雪和2箱红富士的价格为元，大于优惠装的售价400元， 应尽量多购买优惠装，故若购买2套优惠装，则还需购买3箱瑞雪和1箱红富士，其花费为（元）， 若购买3套优惠装，则还需购买1箱瑞雪，其花费为（元）， ， 应购买3套优惠装，再单独购买1箱瑞雪，总价最低、最划算，且多得一箱红富士苹果， 答：当购买3套优惠装，再单独购买1箱瑞雪时能使总价最低且最划算，最低价为1370元． 【变式9-3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 【答案】(1)甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品 (2)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3) 【分析】（1）设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品，列分式方程求解即可； （2）设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为，“手工体验区”的平均单位面积人流量为，计算可知“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）用含的代数式表示出原面积和扩建后的面积，根据扩建后的面积是原来面积的倍，可得，根据的取值范围可以求出的取值范围． 【详解】（1）（1）解：设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品； （2）解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高， 理由如下： 设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为， 则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ，，， ， ， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）解：①由题意得：原来的面积为， 扩建后的面积为， 扩建后的面积是原来面积的倍， ， ， ， ， ， ， ． 【题型10 方案选择与最值问题】 【例10】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为； （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴． （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用． 【变式10-1】（2026·河南安阳·二模）中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【答案】(1)青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元 (2)当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算 【分析】（1）设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元，由题意得到分式方程，然后进行求解即可； （2）设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中，根据题意分别得出方案一和方案二的价格，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， ∴； 答：青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元． （2）解：设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中， 由题意得： 方案一所需金额元； 方案二所需金额元； ∴当方案一和方案二相等时，则有， 解得， 答：当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算． 【变式10-2】我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队合作3天 (2) C方案，理由：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解，所以规定的工期为9天 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： B方案：（万元）； C方案： （万元）， ∵， ∴C方案更省钱. 【分析】本题主要考查分式方程的应用； （1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程，可知方案C中“星号”部分为：若甲、乙两队合作3天； （2）根据题意先求得规定的天数，然后算出两种方案的费用之后，再根据题意选择节省工程款的方案． 【详解】（1）解：根据题意得出的方程为，则条件为：若甲、乙两队合作3天； 故答案为：若甲、乙两队合作3天; （2）略 【变式10-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式： 甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天． 乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且． (1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？ (2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？ 【答案】(1)甲工程队完成施工任务用了5天 (2)应选B方案 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和分式的大小比较，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）利用时间关系列出方程即可求解． （2）分别求出两种方案的时间，再利用作差法比较大小即可求解． 【详解】（1）解：（1）根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∵（天）， 所以，甲工程队完成施工任务用了5天． （2）解：由题意，得 ， ． 由题意，得，则， ， ， 应选B方案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 分式方程的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 工程问题】 2 【题型2 行程问题】 3 【题型3 利润与销售问题】 4 【题型4 浓度与配比问题】 6 【题型5 数字与数位问题】 6 【题型6 几何图形问题】 7 【题型7 古文问题】 8 【题型8 比例与分配问题】 9 【题型9 素材问题】 10 【题型10 方案选择与最值问题】 13 考点1 分式方程的应用 知识点 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【题型1 工程问题】 【例1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． (1)方程①中表示： ；方程②中表示： ； (2)任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）某施工队承包了修建7000米公路的工程项目，由甲工程队修建3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修建直至修完，已知甲、乙两工程队修建这段公路共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲工程队每天修路多少米？ 【变式1-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）【文化背景】 “中国有礼仪之大，故称夏；有服章之美，谓之华．”华夏衣冠承载着千年的文明密码与审美意趣．在2026年央视春晚上，创意节目《贺花浓》以其如诗如画的意境，考究复原的汉服形制，惊艳了全国观众． 【数学问题】 某非遗汉服工坊有甲、乙两个团队加工同一款马面裙，已知甲团队比乙团队每天多加工1件，且甲团队加工30件的工作天数是乙团队加工12件的工作天数的2倍． (1)分别求甲、乙两个团队每天加工马面裙的件数； (2)现有一份加工60件马面裙的订单，该工坊计划完成该订单的总工作时长不超过14天（总工作时长=甲团队的工作天数+乙团队的工作天数），试问：甲团队至少需要工作多少天？ 【变式1-3】为了扎实推进“四好农村路”建设，打造推进乡村振兴“快车道”，我市某区不断优化以乡镇为中心、村组为网点的农村公路交通网络，积极解决农村公路基础设施不足的问题，强化农村公路管养水平，以交通发展全面功推农村经济高质量发展现需收造一段连接，，三个村镇的农村公路，其中，两村镇间的公路长度比，两村镇间的公路长度长米甲施工队计划每天施工米，恰好可以用天完成全部公路的改造工程． 求，两个村镇间的公路长度为多少米 实际施工时，由甲施工队负责，两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责，两村镇间的公路改造工程甲施工队施工天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚天完成公路改造工程乙施工队每天施工多少米 【题型2 行程问题】 【例2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【变式2-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图是某路口斑马线的示意图，该段斑马线横跨双向行车道，其中米，点处为两侧车道中间的绿化隔断（宽度忽略不计）．为保证安全，行人应在绿灯亮时快速通过．小明根据路口红绿灯计时器发现，自己本次穿越斑马线共用时15秒，其中通过段时，因为担心绿灯时长不足，于是以段速度的2倍快速跑过． (1)小明通过段斑马线时的速度是多少米每秒？ (2)已知标准交通信号灯的变换顺序为“…→绿灯→黄灯→红灯→绿灯→…”，该路口的红灯和绿灯时长均为30秒，黄灯时长为3秒．小亮在与路口尚有一段距离时发现绿灯亮了，为了在节省时间的同时兼顾安全需要（绿灯亮时才能通行），他是应该跑步赶上本轮绿灯，还是应该等下一轮绿灯时再通过？请你帮他妥善安排，并说明理由．（小亮跑步的平均速度为3米每秒） 【变式2-3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【题型3 利润与销售问题】 【例3】（25-26八年级下·广东深圳·期末）深圳大鹏半岛、梧桐山、深圳湾红树林是本地知名文旅地标，“深圳城市纪念徽章”深受游客喜爱．旅游旺季期间，某深圳文创商铺店主备货售卖城市纪念徽章．店主第一次采购一批纪念徽章，总花费元；再次补货时，第二批徽章单枚进价比第一批贵元，采购总费用元，采购数量是第一批的倍． (1)求第一批、第二批纪念徽章每枚的进价分别是多少元？ (2)求第一批、第二批分别采购了多少枚纪念徽章？ (3)店主统一标价售卖全部徽章，仅最后枚打八折优惠；销售期间额外人工、场地成本合计元．若全部卖完后总利润不低于元，求单枚纪念徽章标价至少为多少元？ 【变式3-1】（25-26八年级下·山西晋中·期末）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 【变式3-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）年足球世界杯于月日月日在美国、加拿大、墨西哥三国举行，作为世界体坛最具影响力的赛事之一，它的周边产品（吉祥物）深受球迷喜爱．这个吉祥物：克拉奇（）、梅普尔（）、萨尤（）分别是个国家的象征．现有、两种型号的吉祥物套装，已知型吉祥物套装比型套装贵元，用元购买型套装与用元购买型套装的数量相同． (1)每套型吉祥物套装与型吉祥物套装的售价分别是多少元？ (2)某学校足球队决定用不超过元购买、两种型号的吉祥物套装共套作为礼物送给校队队员，则最多能购买型吉祥物套装多少套？ 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 某品牌坚果有桶装和袋装两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的，且用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件． 【问题解决】 (1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； (2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15元，每件袋装坚果的利润为9元，全部销售完他希望总利润不少于1500元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2倍还多6件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 【题型4 浓度与配比问题】 【例4】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知糖水的浓度．一杯糖水的总质量为，其中含糖． (1)这杯糖水的浓度= ． (2)若要将该杯糖水的浓度变为，只需加糖多少克？（用分式方程解决） 【变式4-1】某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的2倍．取原液加水稀释用于衣物消杀，再取原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位） 【变式4-2】化学实验室一容器内的a克盐水中含盐b克（盐水的浓度＝含盐质量÷盐水质量×100%）． （1）若加入4克盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（用数学的方法书写过程） （2）若a＝50，b＝5，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍？ （3）若a＝50，b＝5，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍． 【变式4-3】阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=×100%． (1)公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为__________； (2)拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍； (3)解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程)． 【题型5 数字与数位问题】 【例5】一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是，原来得两位数是______． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【变式5-2】有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是__． 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 【题型6 几何图形问题】 【例6】（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 (1)填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） (2)求m的值； (3)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【变式6-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【变式6-2】李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米． 【变式6-3】（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成．    (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 【题型7 古文问题】 【例7】（25-26八年级下·江苏连云港·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有出钱三百八十四，买大竹；出钱一百六十八，买小竹，其数半之；欲其大小率之，问大、小竹各几何？”原文大意为：今花384钱，买大竹，花168钱，买小竹，买小竹的数量是买大竹数量的一半，每个大、小竹的价格相差1钱，求大、小竹各买多少个？ 【变式7-1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【变式7-3】（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【题型8 比例与分配问题】 【例8】某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配_______________________人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 【变式8-1】一项工程的施工现场,调来72名司机师傅参加挖土和运土工作,已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走,怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走?可设派名司机师傅挖士,其他的人运土,列方程: 上述所列方程,正确的有___个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的． (1)新分配到甲车间的人数有多少人？ (2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？ 【变式8-3】由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需的时间比是5：3，两队共同施工15天可以完成． （1）求两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）此项工程由甲、乙两队共同施工15天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？ 【题型9 素材问题】 【例9】（25-26八年级下·广东佛山·期中）项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米，每台单价12万元；B款机器人每日巡逻路程为32千米，每台单价10万元．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元．    (1)任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为x万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 (2)任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ (3)任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 【变式9-1】（25-26七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）某水果店将某种水果包装成两种盒装水果销售，分为鲜切盒和整装盒．请根据以下素材完成相应的任务． 水果销售方案 素材1 鲜切盒每盒的成本比整装盒每盒贵3元 素材2 用94元制作鲜切盒的数量是用32元制作整装盒的2倍 素材3 该水果店平均每天可销售该种鲜切盒水果50盒，其中白天（7:00-19:00）可销售40盒，剩下10盒打折销售，其折扣分5个时段进行，如图 素材4 在19:00至21:30的每个折扣时段内，可销售鲜切盒都是2盒 问题解决： (1)任务1：鲜切盒和整装盒的成本分别是多少元/盒？ (2)任务2：若水果店期望销售鲜切盒水果利润不低于，则其每盒的标价（白天的售价）最低需设置为多少元?（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 【变式9-2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材一 昭通苹果节期间，某电商果农直播间进行顺丰包邮到家活动，特大精品果在每箱十二斤的同等包装规格下，每箱瑞雪苹果的售价比每箱红富士苹果的售价高90元，且花费850元购买的瑞雪苹果箱数与花费400元购买的红富士苹果箱数相同． 素材二 为促进两种精品果的销售及推广，该电商推出“家庭分享优惠装”进行组合售卖，其中包含2箱瑞雪苹果和2箱红富士苹果，售价为400元．已知某顾客欲购买7箱瑞雪苹果和5箱红富士苹果． 问题解决 任务1确定单价 根据素材一，请计算每箱瑞雪苹果和每箱红富士苹果的售价． 任务2拟定购买方案 根据素材二，请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低且又最划算，并计算总价． 【变式9-3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 【题型10 方案选择与最值问题】 【例10】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【变式10-1】（2026·河南安阳·二模）中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【变式10-2】我县一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，需要的时间是规定时间的倍； B方案：乙队单独完成这项工程刚好如期完成； C方案：******，剩下的工程由甲队单独做，也正好如期完成． 已知一个同学按照C方案，设规定的时间为天，根据题意列出方程： (1)根据所列方程，C方案中“******”部分描述的已知条件应该是_________． (2)从投标书中得知，甲队每施工一天所需费用为万元，乙队每施工一天所需费用为万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【变式10-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）某市安排甲、乙两个工程队分别完成3600米的道路施工任务，下表是甲、乙两个工程队的施工方式： 甲工程队 第一、二天的施工速度为米/天，从第三天开始，每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按米/天的速度完成道路施工的时间提前了3天． 乙工程队 A方案：计划1800米按每天施工米完成，剩下的1800米按每天施工米完成，预计完成施工任务所需的总时间为天； B方案：预计完成施工任务所需的总时间为天，其中，一半时间每天施工米，另一半时间每天施工米． 说明：A，B两种方案中的均满足实际意义，且． (1)求甲工程队完成施工任务用了多少天？ (2)为尽快完成施工任务，请通过计算说明乙工程队应采取A，B两种方案中的哪种方案？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $