专题2.3 分式的乘法和除法（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦分式的乘法和除法核心知识点，先系统梳理分式乘法（分子积为分子、分母积为分母）和除法（除式分子分母颠倒后相乘）法则，再延伸至乘方（分子分母分别乘方）及混合运算顺序（先乘方再乘除后加减），构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型全面（10类，含实际应用、新定义等），通过“例题+变式”设计，如玉米试验田产量计算培养应用意识，和谐分式新定义问题发展抽象能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

专题2.3 分式的乘法和除法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 分式的乘法】 1 【题型2 分式的除法】 3 【题型3 分式的乘除混合运算】 4 【题型4 分式的乘方】 6 【题型5 分式的混合运算】 8 【题型6 分式的化简求值】 10 【题型7 分式运算的实际应用】 12 【题型8 分式混合运算的新定义问题】 16 【题型9 求分式的最值】 22 【题型10 分式运算的规律探究】 26 考点1 分式的乘除 知识点1 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 【题型1 分式的乘法】 【例1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 【变式1-3】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 【题型2 分式的除法】 【例2】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是__________．（写出一个即可） 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查分式的除法运算及整式的判断条件，关键在于通过分式运算后的结果不含分母，即分母需被完全约去． 将除法运算转化为乘法后化简，根据结果为整式的要求，可知被遮挡的式子需包含因子． 【详解】原式化为乘法：， 因式分解：， 代入得：， 由于运算结果为整式，因此 必须为整式，即整除，故必须包含作为因子， 令，则为整式，符合条件． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 【题型3 分式的乘除混合运算】 【例3】计算=_________. 【答案】 【分析】根据分式的运算即可求出答案． 【详解】. 故答案为. 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型. 【变式3-1】计算______． 【答案】− 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解： ． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点2 分式的乘方 知识点2 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点3 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【题型4 分式的乘方】 【例4】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，需运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算． 【详解】解：， 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 【变式4-2】计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型5 分式的混合运算】 【例5】（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法计算法则求解即可； （2）先把中括号内的式子变形为，进一步约分和通分得到，把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式5-1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）化简：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式5-2】（2026·四川成都·一模）已知，则代数式的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值． 根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值. 【详解】解：， ， ， ， ， 等式两边同时乘，得， ， 原式． 【变式5-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将⊕单独整理到等式一侧，利用分式运算法则计算即可，注意符号的处理和约分． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 即⊕表示的代数式为． 【题型6 分式的化简求值】 【例6】（25-26八年级下·江西抚州·期末）先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后再从1，2，3中选择一个分式有意义的的值代入求值即可． 【详解】解： ； ∵分母不能为0， ， ∴当时，原式． 【变式6-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知，则=________． 【答案】 【详解】解：原式 ； 由得，且， ∴原式 . 【变式6-2】（2026·北京石景山·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 【变式6-3】（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 【答案】(1) (2)①理由：当该分式的值为6时，则， 解得， 当时，，原分式分母为零，分式无意义， 该分式的值不可能为6； ②该分式的值也不可能为8 【分析】（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可； （2）①②结合分式的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①略 ② 即该分式的值也不可能为8． 【题型7 分式运算的实际应用】 【例7】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了． (1)这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？ (2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？ 【答案】(1)A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是 (2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍 【分析】本题考查了列代数式，圆的面积和分式的运算，读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算是关键． （1）利用圆环的面积计算方法求得试验田的面积，用总产量除以面积得出答案，再进一步把分母作差比较即可； （2）利用（1）的结果和式子，直接列式计算即可． 【详解】（1）解：A玉米试验田平均每平方米的产量是： ， B玉米试验田平均每平方米的产量是： ， 答：A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是． （2）解： ． 答：A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？ 【答案】这样的航行过程中，轮船的平均速度是 【分析】本题主要考查分式混合运算，正确列出分式方程是本题解题关键．根据平均速度=总路程÷总时间，得出分式，再进行分式的混合运算，即可求解． 【详解】解：根据题意得 答：这样的航行过程中，轮船的平均速度是． 【变式7-2】有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重其中，售完后，两筐水果都卖了元． (1)哪筐水果的单价卖得低 (2)现卖高的单价的水果筐，共多少元（用含的式子表示） 【答案】(1)乙 (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，根据分式的运算法则计算即可． （1）根据题意，列出单价的代数式，然后比较大小即可． （2）根据总价等于单价乘以数量用代数式表示出来，再简化即可． 【详解】（1）解：甲筐水果的单价为元， 乙筐水果的单价为元， ∵ ∴乙筐水果的单价卖得低． （2）根据（1）可得甲筐水果单价卖的高． ∴（元） 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． 刘奶奶：我每次买元的大米； 张奶奶：我每次买的大米． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元，第二次购买大米的价格为元，且，则两次购买大米总体算下来谁更划算呢？ 【答案】(1) 两次购买大米总体看刘奶奶更划算 (2) 两次购买大米总体看刘奶奶更划算 【分析】（1）已知两次大米的具体单价，根据两人的购买规则分别计算总花费、总质量，求出平均单价后比较大小即可得出结论； （2）用含、的代数式分别表示出两人的平均单价，再通过作差法比较两个代数式的大小，即可得出结论． 【详解】（1） 解：已知刘奶奶每次购买20元大米，张奶奶每次购买大米，第一次单价为6元，第二次单价为5元， 刘奶奶两次购买的总花费为：（元） 刘奶奶两次购买的总质量为： 刘奶奶购买大米的平均单价为：（元） 张奶奶两次购买的总花费为：（元） 张奶奶两次购买的总质量为： 张奶奶购买大米的平均单价为：（元） 两次购买大米总体看刘奶奶更划算； （2）解：已知第一次单价为元，第二次单价为元，且，， 刘奶奶两次购买的总花费为：（元） 刘奶奶两次购买的总质量为： 刘奶奶购买大米的平均单价为：（元） 张奶奶两次购买的总花费为：（元） 张奶奶两次购买的总质量为： 张奶奶购买大米的平均单价为：（元） 计算两者的差： ，， ， 即 两次购买大米总体看刘奶奶更划算． 【题型8 分式混合运算的新定义问题】 【例8】（24-25八年级下·河南·阶段检测）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）根据“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）由原式，再整理可得； （3）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 （1）计算 和 ​，判断是否相等． （2）①设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）①分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ②，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 【变式8-2】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）； (2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值； ②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式． 【答案】(1)是 (2)①；②分式的“等和积分式”为 【分析】本题考查分式的运算，掌握“等和积分式”的定义，是解题的关键； （1）求出两个分式的和以及两个分式的积，进行判断即可； （2）①根据“等和积分式”的定义，列出方程进行求解即可；②同①进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； ∴分式与分式是“等和积分式”； 故答案为：是； （2）①分式的“等和积分式”为，则， ， ； ②分式的“等和积分式”为，理由如下： 设分式的“等和积分式”为，则， ， ， 分式的“等和积分式”为． 即． 【变式8-3】（24-25九年级下·重庆·阶段检测）定义两个新运算，，且，下列说法正确的有（   ） ①若，则或； ②若，则； ③若，，当时，则； ④若，，则的最小值为2025． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义运算，熟练掌握新定义是解题的关键．根据题中的新定义得出，然后求出m、n的值即可判断①；根据题中的新定义得出，然后分，讨论求出k，即可判断②；根据新定义可求出，然后根据二次函数的性质即可判断③；先根据新定义求出，，然后分当，，，，讨论，利用不等式的性质和绝对值的意义求出的取值范围，即可判断④． 【详解】解：， 即，则或，故①正确； ， 即， ， 即， 当时， ， 当时，， ， 综上，的值为或2，故②错误； ，， ， ， ∴抛物线开口向下， ，， 当时，有最大值为9，当时有最小值为5， ，故③错误； 若，， ，， ∴， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时，； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 综上，，当时，有最小值为4050，故④错误． 故选：A． 【题型9 求分式的最值】 【例9】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【答案】A 【分析】先对分式因式分解化简，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，结合分式的增减性判断最值即可． 【详解】解：先对分式化简：， 分式要有意义，分母不能为， ， 且， 为正整数， 的最小取值为， 分子为固定正数，越大，的值越小， 当取最小整数时，原式取得最大值，最大值为，且原式没有最小值． 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式9-2】（24-25九年级下·江西·期末）是一个三位数，是一个一位数，且，都是整数，求的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为． 【分析】本题考查了代数式求值，分式的化简，将变形为，根据题意得到，则，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，都是整数， ∴为整数， ∵是一个三位数，是一个一位数， ∴， ∴， ∴， ∵是一个三位数，是一个一位数， ∴， 当，时，最小，最小值为：， 当，时，最大，最小值为：， ∴的最大值为，最小值为． 【变式9-3】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 【分析】根据最小，可得，，，根据即可确定的最小值；规定化简，再根据整除特性得到为整数，令，，则，即可得到是整数，根据得出，，即可求出，，要使最大，可得，，，，即可得答案． 【详解】解：∵，，，互不相等，且均不为， ∴当，，时，最小， ∵， ∴， ∴； ∵对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵能被的各个数位上的数字之和整除， ∴为整数， ∴为整数， 设，， ∵， ∴，，， ∴为整数， ∵， ∴是整数， ∴是的正因数， ∵， ∴， ∴， ∵要使的值最大，四个数字互不相等且不为， ∴，，，． ∴的最大值为． 【题型10 分式运算的规律探究】 【例10】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 【变式10-1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）观察下列等式：，，，……；根据其蕴含的规律可得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知递推公式计算前几项，找出数列的周期规律，再根据周期计算的值． 【详解】解：， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， ，即除以余， ． 【变式10-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上面的规律归纳出一个一般的结论__________ （用含n的等式表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．通过前4个等式的规律可得此题结果． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第个等式为 ， 故答案为：． 【变式10-3】小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）根据题意得到规律即可得到答案； （3）根据异分母分式减法和分式的乘法分别计算出左右两边的结果即可得到答案； （4）先证明，然后根据（2）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：第1个式子为：； 第2个式子为：； 第3个式子为：； 第4个式子为：； …… ∴第n个式子为：； 故答案为：； （3）证明：∵左边， 右边， ∴； （4）解：∵ ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 分式的乘法和除法（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 分式的乘法】 1 【题型2 分式的除法】 2 【题型3 分式的乘除混合运算】 2 【题型4 分式的乘方】 3 【题型5 分式的混合运算】 3 【题型6 分式的化简求值】 3 【题型7 分式运算的实际应用】 4 【题型8 分式混合运算的新定义问题】 5 【题型9 求分式的最值】 6 【题型10 分式运算的规律探究】 7 考点1 分式的乘除 知识点1 分式的乘除 1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为． 2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为． 【题型1 分式的乘法】 【例1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）计算：___________． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算： 【题型2 分式的除法】 【例2】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是__________．（写出一个即可） 【变式2-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 分式的乘除混合运算】 【例3】计算=_________. 【变式3-1】计算______． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算下列各式： (1) (2) 考点2 分式的乘方 知识点2 分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，即．这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点3 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的． 【题型4 分式的乘方】 【例4】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【变式4-2】计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）_________． 【题型5 分式的混合运算】 【例5】（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： (1) (2) 【变式5-1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）化简：____________． 【变式5-2】（2026·四川成都·一模）已知，则代数式的值为_____． 【变式5-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 【题型6 分式的化简求值】 【例6】（25-26八年级下·江西抚州·期末）先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【变式6-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知，则=________． 【变式6-2】（2026·北京石景山·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（25-26八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡． 解： (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”， ①请你帮她说明理由； ②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________． 【题型7 分式运算的实际应用】 【例7】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了． (1)这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？ (2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？ 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？ 【变式7-2】有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重其中，售完后，两筐水果都卖了元． (1)哪筐水果的单价卖得低 (2)现卖高的单价的水果筐，共多少元（用含的式子表示） 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． 刘奶奶：我每次买元的大米； 张奶奶：我每次买的大米． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元，第二次购买大米的价格为元，且，则两次购买大米总体算下来谁更划算呢？ 【题型8 分式混合运算的新定义问题】 【例8】（24-25八年级下·河南·阶段检测）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列式子：①；②；③；④其中，属于“和谐分式”的是___________．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：___________+__________； (3)请求出当取什么整数时，式子的值也为整数． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【变式8-2】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）； (2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值； ②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式． 【变式8-3】（24-25九年级下·重庆·阶段检测）定义两个新运算，，且，下列说法正确的有（   ） ①若，则或； ②若，则； ③若，，当时，则； ④若，，则的最小值为2025． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 求分式的最值】 【例9】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（     ） A．有最大值是 B．有最大值是 C．有最小值是 D．有最小值，没有最大值 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式9-2】（24-25九年级下·江西·期末）是一个三位数，是一个一位数，且，都是整数，求的最大值与最小值． 【变式9-3】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）一个各个数位互不相等且均不为的四位数，满足．则满足题意的的最小值为_________．对于，将其千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为_________． 【题型10 分式运算的规律探究】 【例10】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【变式10-1】（25-26八年级下·福建漳州·期末）观察下列等式：，，，……；根据其蕴含的规律可得（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上面的规律归纳出一个一般的结论__________ （用含n的等式表示，n为正整数）． 【变式10-3】小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $