第2章 分式（4大考点+16大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

可学科网·上好课 分式 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章分式 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点一.分式的概念及基本性质 知职点二分式的运算 知识清单 知识点三整数指数辉 知识点四分式方程及应用 题型01分试、最萱分试、最简公分母 题型02分式有无意义的条件 题型03利用盼式的率本性质判断份式值的变化 题型04分式的混合运算 题型05分式化简求值 题星06求使分式为正负数时未知数的取值范围 题型07术使分式值为整数时未知数的整数值 题型08用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型精讲 题型9指数幂、负整数指数辉的运算 题型10分式方程的定义 题型11解分式方程 题型12分试方程无解与增根 题型13已知方程的根的情兄术参数的取值范里 题型14分试方程的实际应用 题壁15与分式及分式方程有关的规律性问题 题型16与分式及分式运算有关的新定义型问题 强化训练 1/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 教学目标、教学重难点 1.了解分式的概念，明晰分式与整式的区别，能准确判断给定式子是否为分式，掌握 分式有意义、无意义及值为零的条件。 2.理解并熟练运用分式的基本性质，进行分式的约分、通分，掌握分式加、减、乘、除、 教学目标 乘方的运算法则，能够准确、熟练地进行分式的四则运算。 3.学会解可化为一元一次方程的分式方程，掌握验根方法，并能运用分式方程解决实 际问题，如行程、工程、销售等问题，体会数学模型在解决实际问题中的作用。 1.重点 (1)分式的基本概念，包括分式的定义、有意义的条件、值为零的条件，以及分式的 基本性质，能够依据性质进行约分和通分操作。 (2)分式的运算，涵盖加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够熟练、准确地运用法 则进行分式的四则混合运算。 2.难点 教学重难点 (1)分式运算中，符号的处理以及运算的准确性。尤其是在异分母分式通分和分子相 加减时，容易出现符号错误，对复杂分式进行运算时，保证每一步运算的正确性较为 困难。 (2)解分式方程时，增根的产生与检验。理解增根产生的原因，掌握在求解分式方程 过程中检验增根的方法，避免因忽略增根导致错误的结果，同时能够准确运用分式方 程解决实际问题，从实际情境中抽象出数学模型并正确求解。 知识清单 知识点一.分式的概念及基本性质 1.分式的概念 (1)分式的概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子盘叫做分式。 (2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0. (3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号 的作用. (4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是点的形式，从本 B 质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简. 2.分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件是分母不等于零 (2)分式无意义的条件是分母等于零. 2/16 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号： (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号. 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零 4.分式的基本性质 (1)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变 (2)分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变 5约分 (1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 (2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定， ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式 ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面， ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式， 6.通分 (1)通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做 分式的通分 (2)通分的关键是确定最简公分母 ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数 ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积. 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式. 8.最简公分母 (1)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫做最简公分母。 知识点二分式的运算 1.分式的加减法 (1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. (2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分 母分式的加减就转化为同分母分式的加减！ 2.分式的乘除法 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母， (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. (3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方 (4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即 3/16 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “先乘方，再乘除” 3.分式的混合运算 (1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有 括号的先算括号里面的 (2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式： (3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运 算. 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 要化成最简分式或整式 知识点三整数指数幂 1.同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变指数相减 用字母表示二=a-(af0,m,n是正整数，且m>m） 同底数幂相除的公式：am÷an=am-n(a0,m,n是正整数，且m>n,反过来也成立，即a-n=am÷a(a≠0，m,n 是正整数，且m>n), 2.零指数幂和负整数指数幂 (1)零次幂：任何不等于零的数的零次幂都等于L,即a0=1(a≠0) (2)负整数指数幂：非零数的负整数指数幂可表示为同底数的正整数指数幂的倒数，即an=急(a0,n是正整 数) 3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 把绝对值较小的数表示成a×10的形式(1≤10，n为正整数) 知识点四.分式方程及应用 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数. 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解. 3.解分式方程 (1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论 (2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解 ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解 4/16 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以解分式方程时，一定要检验 4.换元法解分式方程 (1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法. 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对 象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理， (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而 简化问题，当然有时候要通过变形才能发现 5.分式方程的增根 (1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或 是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根， (2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未 知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式 方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是 原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根 (3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果 为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根. 6.由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系. (1)在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追 击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等， (2)列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路. 7.分式方程的应用 (1)列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答. 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等， (2)要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作 时间等等。 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力. 题型精讲 题型01分式、最简分式、最简公分母 【奥例11】2425八年级上湖北武汉期未)在，，，3型，子，中，分式有（) 6 πx+y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5/16 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1-2】(24-25八年级上河北沧州期末)下列分式中，为最简分式的是() 3a 2a A.5a6 B.+2 a2+2 C. a2+3a D.a-ab a2-b2 【典例13】(24-25八年级上广东东莞期末)分式1， 5 3r’12y 的最简公分母是（) A.12x'y B.12xy C.3x D.12y 【变式山2425八件级上调肩长沙期未在经台，识，)0+日中，分式 1 2’ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2】(24-25九年级上广西南宁.阶段练习)下列各分式中，是最简分式的是() A.10 B. x2-y2 C.x+y 2 5x x-y D.8x 2ab+26与 【变式3】(24-25八年级上云南昭通期末)分式，1 ”的最简公分母是 题型02分式有无意义的条件 【典例2】(24-25八年级上北京延庆期末)分式“，有意义，实数a的取值范围是（) a-3 A.a≠3 B.a≠0 C.a<3 D.a≥3 【变式1】(24-25八年级上.重庆綦江·期末)当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是() x+1 4. B.+1 c D.x+1 x2-4 【变式2】(24-25八年级上江苏苏州期末)当x=1时，下列分式无意义的是() A.+1 B.x C.x-1 D.x x+1 x-1 题型03利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例3】(24-25八年级上·福建福州期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是() A. x+1=x B.- -x=-x C. D.= y+l y x-y v-x y2 y 【变式1】(24-25八年级上安徽黄山期末)下列各式从左到右变形一定正确的是() A.m 1 m+n B. nn m-n m2-n2 C.mm+a D.-m-n =-1 nn+a m n 【变式2】(2425八年级上四安期未)如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，邪么分式的 6/16 学科网·上好课 www zxxk com 值() A.不变 B.扩大到原来的3倍 C.缩小到原来的} D.缩小到原来的二 6 题型04分式的混合运算 【典例4】(25-26八年级上·全国.单元测试)计算： 08g6 2ab3)2 c'd2 e'd ②)+4x+4 x+1 x+1) 【变式1】(2025八年级上全国.专题练习)计算： x2+x 2- 02+1-1 x+2 x-1）,4-x ②x2-2xx2-4x+4)x 【变式2】(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： (16m2÷3m-12 m+4m2+4m 2,2 x+y 3x2-2xy 3x-2y ③02-2a+1a2-1 a+2b a+2b 【变式3】(25-26八年级上·全国课后作业)计算： 5b2a2.2a b2÷ 6 3)-62 b2-2ab ÷a+ a x+2 (4) x-1 x2-4x+4x2-2x x-2 题型05分式化简求值 x+3 ,x2+3x 【典例5】(25-26八年级上全国课后作业)先化简：-4x+4*(x-2 7/16 上好每一堂课 然后在不等式x≤2的非负整数 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解中选择一个适当的数代入求值 【变式1】(25-26八年级上·全国·课后作业)先化简，再求值： x2-2x 其中x是2x+4≤0的 x+i x+1 最大整数解 【变式21(2024八年级上湖南怀化竞赛)先化简，再求值：-4+4 4x x 再从-2、-1、1、2中 选一个合适的数作为x的值代入求值. 【变式3】(24-25八年级上全国期末)先化简，再求值： x+36).x-3 x+2+22+4x+4’其中x从-2,2,3 三个数中任取一个合适的值. 题型06求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 023-24八年级下东揭阳阶段练沙已知分式十4的值是非负数，那么x的取值菏围 A.x>-4且x≠0B.x≥-4 C.x≠0 D.x≥-4且x≠0 【变式1】(23-24八年级上湖南长沙阶段练习》若分式2x+1 的值为正，则x的取值范围是( B.x>-2 1 1 1 A.x>0 C.x≠ 2 D.x>-2且≠0 【变式2】(23-24八年级上山东泽：期中)若分式的值为负数，则的取值范固是 题型07求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例7】(2024七年级下·浙江.专题练习)对于非负整数X,使得+2是一个正整数，则x可取的个数有 x+2 () A.3 B.4 C.5 D.6 【变式1】(23-24八年级上全国课堂例题)若分式6 的值是正整数，则m可取的整数有() 1m-2 A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 【变式2】(23-24七年级下浙江杭州-阶段练习)若分式10x=1 的值为整数，则整数x的值为 2x-1 题型08用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例9】(25-26八年级上全国单元测试)“香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中 的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立.已知梅花的花粉直径约为0.000021米，将 8/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数据0.000021用科学记数法可以表示为 【变式1】(25-26九年级上·海南·开学考试)手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝， 每根金属丝的直径大约就是0.000034米，这个数用科学记数法表示为 【变式2】(24-25八年级上·全国期末)某种植物果实的质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学 记数法表示为一 【变式3】(25-26八年级上·重庆·开学考试)人体内有一种细胞的直径为0.000105米，将数据0.000105用 科学记数法可表示为」 题型09零指数幂、负整数指数幂的运算 【典例10】(25-26八年级上·全国·课后作业)计算： -(π-3)°--3+(-1)2025. 【变式11(25-26七年级下全国单元测试)计算-1m-(7+2025八+8。 【变式212025旷东清远二模)计算：8-(-°+目+2斗， 【变式312425八年级下内蒙古呼和浩特期)计第：-2习列+(-3.14°+27+ 题型10分式方程的定义 【典例8】(24-25八年级上全国.单元测试)下列关于x的方程中，不是分式方程的是() B.20=5+1 x+1x-1 g5 C. D.5 24t 【变式1】(24-25九年级上·福建莆田阶段练习)下列式子中，是分式方程的是() A.2+15 1.4x B. 2-3 3x-13x+1 3 C. =1 D.3-x+2=x-4 2x-12x+1 4 3 【变式21234八年级下江苏南京阶段练习》下列关于X的方程3=5，②x,③，=x 3 ，④=，1，中，是分式方程的有()个. a b-1 A.1 B.2 C.3 D.4 题型11解分式方程 9/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例11】(2025八年级上全国专题练习)解下列方程： 8x+7 (1) x+1x(x+1; 3 2)y-1(y+21y-1 【变式1】(25-26八年级上·全国课后作业)解下列方程： (1) 4 -1= x-2 1x2-4x+4 (2),x+1、3 4 4x2-12x+14x-2 【变式2】(25-26八年级上全国·课后作业)解下列方程： 0-2-3=1, x+3x-3 8 x2-4 【变式3】(25-26八年级上·全国单元测试)解分式方程： (①-23 =1, x x-2 (2 4x+91 x-3x2-9x+3 题型12分式方程无解与增根 【典例12】(2025八年级下全国专题练习)若关于x的分式方程-m-3=1无解，则实数m= x-3x 【变式1】(2425八年级上南娄底期中)已知关于x的分式方程人，，3=1有增根，则k x-22-x 【变式2】(23-24八年级上贵州铜仁期末)关于x的分式方程mL有增根，则m为 Ex2-4x-2 题型13己知方程的根的情况求参数的取值范围 【典例13】(24-25八年级上重庆永川期末)若分式方程父-1=m,有正数解，则m的取值范围 x+11x2-1 为 【变式1】(2425七年级上上海期末)如果关于x的方程-)+2二=2x+a,的解为负数，那么a的取 x-2x+1x2-x-2 值范围是」 【变式2】(23-24八年级上新疆乌鲁木齐期末)若关于<的分式方程5一4=，c有正整数解，则整数k x-22-x 为 10/16 第2章 分式 教学目标 1. 了解分式的概念，明晰分式与整式的区别，能准确判断给定式子是否为分式，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件。 2. 理解并熟练运用分式的基本性质，进行分式的约分、通分，掌握分式加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够准确、熟练地进行分式的四则运算。 3. 学会解可化为一元一次方程的分式方程，掌握验根方法 ，并能运用分式方程解决实际问题，如行程、工程、销售等问题，体会数学模型在解决实际问题中的作用。 教学重难点 1.重点 （1）分式的基本概念，包括分式的定义、有意义的条件、值为零的条件，以及分式的基本性质，能够依据性质进行约分和通分操作。 （2）分式的运算，涵盖加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够熟练、准确地运用法则进行分式的四则混合运算。 2.难点 （1）分式运算中，符号的处理以及运算的准确性。尤其是在异分母分式通分和分子相加减时，容易出现符号错误，对复杂分式进行运算时，保证每一步运算的正确性较为困难。 （2）解分式方程时，增根的产生与检验。理解增根产生的原因，掌握在求解分式方程过程中检验增根的方法，避免因忽略增根导致错误的结果 ，同时能够准确运用分式方程解决实际问题，从实际情境中抽象出数学模型并正确求解。 知识点一．分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 知识点二.分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 知识点三.整数指数幂 1.同底数幂的除法 法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减. 用字母表示:(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 同底数幂相除的公式: (a≠0,m,n是正整数,且m>n),反过来也成立,即(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 2.零指数幂和负整数指数幂 （1）零次幂:任何不等于零的数的零次幂都等于1,即 (a≠0). （2）负整数指数幂:非零数的负整数指数幂可表示为同底数的正整数指数幂的倒数,即(a≠0,n是正整数). 3.用科学记数法表示绝对值小于1的数 把绝对值较小的数表示成的形式(1≤|a|<10,n为正整数). 知识点四.分式方程及应用 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 7．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01 分式、最简分式、最简公分母 【典例1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 【典例1-2】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简分式； B．，是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选B． 【典例1-3】（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 【变式3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）分式与 的最简公分母是 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解：∵的分母为， 的分母为， ∴两个分式的最简公分母为， 故答案为：． 题型02 分式有无意义的条件 【典例2】（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 题型03 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例3】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 题型04 分式的混合运算 【典例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，包括平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握分式运算的法则． （1）先进行乘方运算，再进行分式的除法运算，然后约分化简即可； （2）先进行完全平方公式因式分解和分式的加减运算，再进行分式的除法运算，然后约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算： （1）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，约分化简即可； （2）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，约分化简即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分即可得解； （2）将除法转化为乘法，再约分即可得解； （3）将除法转化为乘法，再约分即可得解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）先通分和因式分解，再进行分式的乘除法运算； （2）先进行幂的运算，再进行分式的乘除法运算，最后合并同类项； （3）先通分和因式分解，再进行分式的乘除法运算； （4）先因式分解，再利用乘法的分配律进行运算并约分，最后进行通分，约去公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型05 分式化简求值 【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【分析】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中x是的最大整数解． 【答案】． 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，提公因式，不等式的整数解，掌握知识点是解题的关键． 先化简分式，然后解不等式，取x的最大整数解代入分式计算即可． 【详解】解：原式 ． 解不等式，得． ∵x是的最大整数解， ∴． 当时，原式． 【变式2】（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）先化简，再求值：，再从中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式的值为 【分析】本题考查分式的化简求值；对于分式化简，需要运用分式的运算法则，如除法变乘法(除以一个分式等于乘以它的倒数)，通分等；化简后再根据分式有意义的条件选择合适的：值代入求值． 【详解】解： 要使分式有意义， 分母不能为，即， ∴； 从中选择代入， ∴， 故：当时，原式的值为． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中从，2，3三个数中任取一个合适的值． 【答案】，4 【分析】此题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件．先计算括号内的分式减法，再计算除法，得到化简结果，再选取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， 由题意得，且， ∴当时，原式． 题型06 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 【典例6】（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数，， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】 题型07 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例7】（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 【变式2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 题型08 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）“香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立．已知梅花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法进行表示即可，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·海南·开学考试）手机屏幕下方的“触控感应层”里，有无数根极细的导电金属丝，每根金属丝的直径大约就是米，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）某种植物果实的质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．正确地确定的值即可解题. 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·开学考试）人体内有一种细胞的直径为0.000105米，将数据0.000105用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 题型09 零指数幂、负整数指数幂的运算 【典例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）计算． 【答案】34 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，包括乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2025·广东清远·二模）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了立方根，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，理解相关知识是解答关键． 利用立方根，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质来进行计算求解． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂和零指数幂运算，正确计算是解题的关键． 分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根和相反数，再进行加减计算． 【详解】解：． 题型10 分式方程的定义 【典例8】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 题型11 解分式方程 【典例11】（2025八年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的根， 原分式方程的解为． （2）解：方程两边都乘，得， 解得， 经检验，是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，利用了转化思想，掌握分式方程解题步骤及牢记最后验证是本题的关键． （1）将分式方程去分母化为整式方程，再根据整式方程求解方式得到x值，后代入验算即可． （2）同上将分式方程去分母化为整式方程，再根据整式方程求解方式得到x值，后代入验算即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴原方程的根为． （2）解：， 原方程可变为：， 去分母，得：， 去括号，得， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握 “去分母将分式方程转化为整式方程、求解后检验排除增根” 的步骤是解题的关键。 （1）先确定最简公分母，然后给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后把求得的解代入最简公分母进行检验，判断是否为原分式方程的解。 （2）先确定最简公分母，然后给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后把求得的解代入最简公分母进行检验，判断是否为原分式方程的解。 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． （2）解： 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 因此是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）化为整式方程求解后检验即可； （2）化为整式方程求解后检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得． 经检验，是分式方程的根； （2）方程两边同乘得， ， ， ， 当时，， 为分式方程的增根， 原分式方程无解 题型12 分式方程无解与增根 【典例12】（2025八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾； 或，， ∴． 故答案为：0或3． 【变式1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 【答案】4或0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解分式方程： 去分母得：， 当时， ， 当时， ， 故m的值为4或0． 故答案为∶ 4或0． 题型13 已知方程的根的情况求参数的取值范围 【典例13】（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．将分式方程化为整式方程，解得，再利用原方程的解为正数，得到且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 分式方程有正数解， 且， 且， 且且， 且． 故答案为：且． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 【变式2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】0或3/3或0 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义． 方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有正整数解，k是整数， ∴或或， 解得或1或3， 当时，， 解得，此时，符合题意； 当时，， 解得，此时，不合题意，舍去； 当时， 解得，此时，符合题意； 所以或3． 故答案为：0或3． 题型14 分式方程的实际应用 【典例14】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】(1)上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元/斤 (2)生物老师至少要再购买26斤洋葱 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的根且符合题意． 答：上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元斤； （2）解：设生物老师还需再购买洋葱斤， 则有， 解得， 答：生物老师至少要再购买26斤洋葱． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】(1)答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个 (2)答：每个窗花的售价至少为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， ∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个， 答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个． （2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， 设每个窗花的售价为元， ∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元， ∴， ∴， 答：每个窗花的售价至少为元． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期末）2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，是全国三大名柚之一，特点是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成大果和小果出售． (1)某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，小果售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？ (2)由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大果和小果价格下调后每千克的售价？ 【答案】(1)购买大果千克，小果各千克； (2)小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设购买大果千克，小果各千克，利用总价=单价数量，结合花费3050元购买大果和小果共400千克，列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到结论； （2）设小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元，利用数量=总价单价，结合购买大果的数量是小果的2倍，列出关于的分式方程，据此求解即可得到结论． 【详解】（1）解：设购买大果千克，小果各千克， 由题意得， 解得， 答：购买大果千克，小果各千克； （2）解：设小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 解：小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元． 题型15 与分式及分式方程有关的规律性问题 【典例15】（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算； （1）根据前5个等式规律写出第6个等式； （2）根据前5个等式猜想出第个等式并验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）由题意可猜想得，第个等式为：， 证明： ， 第个等式为：． 【变式1】（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 【答案】(1) (2)的解是； (3)的解是． 【知识点】分式的规律性问题、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，为方程的解， 故答案为：． （2）解：由题意得：⑤的解是； 故答案为：的解是； （3）解：由题意得：第个式子及其解为：的解是． 题型16 与分式及分式运算有关的新定义型问题 【典例16】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 【变式1】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解分式方程、方程的解 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如，则是“美好分式”． (1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为：______+______； (3)已知整数使“美好分式”的值为整数，则的值为______． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、整式与分式相加减 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算， （1）根据“美好分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答； （2）根据“美好分式”的定义，进行变形计算，即可解答； （3）将原式化简为，从而可得当或时，分式的值为整数，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②不是分式； ③； ④； 上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： 故答案为：，． （3）解： 当或时，分式的值为整数， 或或或 分式有意义时， 或或或时，该式的值为整数． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】A. ，该分式不是最简分式，不符合题意； B. ，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，该分式是最简分式，符合题意； D. ，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23八年级上·全国·期中）在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法正确的是 （   ） A．代数式是分式 B．分式中，的值都扩大为原来的2倍，分式的值不变 C．若分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式中x，y都扩大2倍后，分式的值为，即分式的值扩大2倍，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式的值为0时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意； D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键；根据零指数幂，负整数指数幂分别求出a，b，c，再比较大小即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 5．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 二、填空题 6．（2025·陕西西安·二模）在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数．根据科学记数法的表示形式进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，熟练掌握同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的加减乘除法则，先将分式进行化简，然后根据题意可知，代入即可求值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再根据分式方程有正数解得不等式，求解不等式得结论．本题主要考查了分式方程，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 整理，得， 关于x的分式方程有正数解， 且 且 故答案为：且 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得； 经检验是原方程的解； （2）解：去分母，得， 解得； 经检验，是原方程的解． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：，小明的解题步骤如下： 解：原式…① …② …③ ．…④ 问： (1)从第　　　　步开始出错，出错的原因是　　　　； (2)请写出正确的解题步骤． 【答案】(1)①，除法没有分配律 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用分式的混合运算法则判断即可; （2）直接利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出错，出错的原因是除法没有分配律； 故答案为：①；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 13．（黑龙江省七台河市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算后约分得到原式，然后把x的值代入计算即可； 先把除法运算化为乘法运算，再约分后进行通分，接着进行同分母的减法运算得到原式，然后把x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【详解】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 15．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律，用代数式表示变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第5个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的混合运算法则计算即可解答此题． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， 第5个等式： 故答案为：； （2）第n个等式：， 故答案为：． 16．（20-21九年级下·四川德阳·阶段练习）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批      x 16000 第二批     2x   34000 (1)该商场两次共购进这种电子产品多少件？ (2)如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 【答案】(1)商场两次共购进这种电子产品件； (2)该商场每件电子产品的售价至少应为元. 【分析】本题主要考查了分式方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握总价、数量、单价的关系以及利润的计算方法是解题的关键． （1）根据第二批单价比第一批单价多10元这一关系，结合总价、数量、单价的关系列出方程，求解出第一批购进数量，进而求出两次共购进的数量． （2）先求出两批销售分别用的天数，从而得到总销售成本，再根据总利润不低于20%这一条件，结合利润的计算关系列出不等式，求解出售价的最小值． 【详解】（1）解：设第一批购进数量为件，则第一批单价为元，第二批单价为元，由题意得 ， 经检验，是原方程的解， ∴（件）， 答：商场两次共购进这种电子产品件； （2）解：第一批销售天数：（天）， 第二批销售天数：（天）， 总销售成本：（元）， 设每件售价为元，由题意可得 , ∴该商场每件电子产品的售价至少应为元. 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：， 方程变形得：， 即 ∴或， 解得：或． 18．（25-26七年级下·全国·单元测试）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”． (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1)不是的“雅中式”，理由见解析 (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）直接计算的值，根据“雅中式”的定义即可得； （2）根据题意可得，计算分式的减法即可得，代入可得，然后根据的值均为整数求解即可得． 【详解】（1）解：不是的“雅中式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴不是的“雅中式”． （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵为整数，且“雅中式”的值也为整数， ∴的所有可能的值为， ∴的所有可能的值为（舍去）， ∴所有符合条件的的值之和为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $