第19讲三角函数的概念讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第19讲、三角函数的概念 目录 知识点1 任意角的三角函数的定义 1 知识点2 三角函数的定义域和函数值的符号 2 知识点3 终边相同的角的三角函数值 3 题型一 由终边上的点确定三角函数值 4 题型二 由三角函数值求参数 5 题型三 判断三角函数值的符号 5 题型四 由符号确定角所在的象限 7 题型五 诱导公式一的应用 7 01 学习新知 知识点1 任意角的三角函数的定义 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 2、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 知识点2 三角函数的定义域和函数值的符号 1、三角函数的定义域 三角函数 定义域 【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域． 2、三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图． 由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值 （1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号； （2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号； （3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负． 【三角函数值的符号记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正． 知识点3 终边相同的角的三角函数值 1、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号． 2、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 02 经典题型 题型一 由终边上的点确定三角函数值 1. 已知sin α=cos α=-则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设交点坐标为P(x，y)， 则y=sin α=x=cos α=-故点P. 2. 已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α等于(　　) A.- B. C.- D.- 答案　B 解析　因为点P是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α=. 3. 已知角α的终边经过点(-5，12)，则cos α等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　设点P(-5，12)，则OP==13，故cos α==-. 4. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，则角α的余弦值为　　　　.  答案　± 解析　∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上， ∴角α的终边在第一象限或第三象限， 当角α的终边在第一象限时，可取角α的终边上的点(1，3)，∴cos α=； 当角α的终边在第三象限时，可取角α的终边上的点(-1，-3)，∴cos α==-综上，角α的余弦值为±. 5. 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解　令x=5m，y=12m， 则r==13|m|， ①当m>0时，r=13m，则sin α=cos α=tan α=； ②当m<0时，r=-13m，则sin α==-=-cos α==-=-tan α=. 题型二 由三角函数值求参数 6. 已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α=则m的值为(　　) A.2 B.-2 C.-2或2 D.-2或2 答案　D 解析　由三角函数定义可得sin α=解得m=±2 所以m的值为-2或2. 7. 已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】根据题意，角的终边经过点，且，所以， 又，解得，故选：D. 题型三 判断三角函数值的符号 8. (多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π 答案　ABD 解析　-100°是第三象限角，故sin(-100°)<0；-220°是第二象限角，故cos(-220°)<0； 10∈是第三象限角，故tan 10>0； cos π=-1<0. 9. 当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由为第四象限角，则， 所以.故选：B 10. （多选）若是第四象限角，则点在第（    ）象限. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】CD 【解析】因是第四象限角，即，则， 当k是奇数时，是第二象限角，，点在第三象限， 当k是偶数时，是第四象限角，，点在第四象限， 所以点在第三或四象限.故选：CD 11. (多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则(　　) A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 答案　AC 解析　因为点P是角α终边上一点， 则r=|m|， 于是得tan α==-2，A正确； cos α=当m>0时，cos α=当m<0时，cos α=-B不正确； 又sin α=则sin αcos α==-<0，C正确，D不正确. 题型四 由符号确定角所在的象限 12. 已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限.故选：C 13. 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　∵点P(sin α，cos α)在第三象限，∴∴α为第三象限角. 题型五 诱导公式一的应用 14. 计算下列各式的值： (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°； (2)sin+costan 4π. 解　(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30° =. (2)原式=sin+costan(4π+0)=sin+cos×0=. 15. 计算下列各式的值： (1)tan 405°-sin 450°+cos 750°； (2)sin+tan. 解　(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°) =tan 45°-sin 90°+cos 30° =1-1+. (2)原式=sin+tan =sin+tan+1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲、三角函数的概念 目录 知识点1 任意角的三角函数的定义 1 知识点2 三角函数的定义域和函数值的符号 2 知识点3 终边相同的角的三角函数值 3 题型一 由终边上的点确定三角函数值 4 题型二 由三角函数值求参数 5 题型三 判断三角函数值的符号 5 题型四 由符号确定角所在的象限 6 题型五 诱导公式一的应用 6 01 学习新知 知识点1 任意角的三角函数的定义 1、利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点． 三角函数 定义 记作 符号表示 正弦函数 点的纵坐标 余弦函数 点的横坐标 正切函数 点的纵坐标 与横坐标的比值 我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 2、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 知识点2 三角函数的定义域和函数值的符号 1、三角函数的定义域 三角函数 定义域 【说明】单位圆上的取值范围是，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域． 2、三角函数值在各象限的符号 根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图． 由于原点到角的终边上任意一点的距离是正值，根据三角函数的定义，值 （1）正弦函数值的符号取决于纵坐标的符号； （2）余弦函数值的符号取决于横坐标的符号； （3）正切函数值的符号取决于由的符号共同决定，即同号为正，异号为负． 【三角函数值的符号记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正． 知识点3 终边相同的角的三角函数值 1、诱导公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2公式一统一概括为f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号． 2、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 02 经典题型 题型一 由终边上的点确定三角函数值 1. 已知sin α=cos α=-则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 2. 已知点P是角α的终边与单位圆的交点，则cos α等于(　　) A.- B. C.- D.- 3. 已知角α的终边经过点(-5，12)，则cos α等于(　　) A. B. C.- D.- 4. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，则角α的余弦值为　　　　.  5. 已知角α的终边上一点P的坐标是(5m，12m)，其中m≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 题型二 由三角函数值求参数 6. 已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α=则m的值为(　　) A.2 B.-2 C.-2或2 D.-2或2 7. 已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 题型三 判断三角函数值的符号 8. (多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π 9. 当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 10. （多选）若是第四象限角，则点在第（    ）象限. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11. (多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则(　　) A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 题型四 由符号确定角所在的象限 12. 已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13. 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型五 诱导公式一的应用 14. 计算下列各式的值： (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°； (2)sin+costan 4π. 15. 计算下列各式的值： (1)tan 405°-sin 450°+cos 750°； (2)sin+tan. 2 学科网（北京）股份有限公司 $