第22讲 诱导公式（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第22讲 诱导公式 预习目标 知识回顾 1．熟记六组诱导公式完整表达式，理解“奇变偶不变，符号看象限”口诀含义并熟练运用。 2．掌握任意角三角函数化简三步流程，能把负角、大角转化为锐角完成求值运算。 3．牢记特殊角三角函数数值，化简时准确判断符号，规范完成三角式变形计算。 1．掌握单位圆中三角函数坐标定义，熟记象限符号规律，会用诱导公式一化简任意角求值。 2．牢记同角三角函数平方、商数关系及变形，分清公式适用条件，规范书写三角相关式子。 3．灵活结合定义与同角公式化简、求值，依托单位圆建立数形结合的三角函数解题思路。 新知导图 预习精讲 想一想 如果两个角的终边关于x轴对称，这两个角的三角函数有什么关系？关于y轴对称呢？关于原点对称呢？ 知识点01 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 注意 （1）诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 针对角（） ①奇变偶不变：为奇数，；为偶数，函数名称不变； ②符号看象限：视为锐角，判断原角所在象限，确定最终符号。 （2）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （3）；． 知识点02 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 ①负化正：利用负角诱导公式，把负角三角函数转为正角； ②大化小：减去，将角转化到范围内； ③化锐角：继续变形，转化为锐角三角函数再计算。 流程概括口诀：负化正，大化小，化到锐角为终了。 【即学即练】 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 诱导公式一 【例1】（    ） A．1 B． C． D． 【例2】若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【小试牛刀】 【变式1-1】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 【变式1-3】求下列各式的值： (1)； (2)． 题型02 诱导公式二、三、四 【例3】若角的终边过点 ，则 ______. 【例4】设，则（     ） A． B． C． D． 易错点 1.分不清、对应的正负符号，符号颠倒； 2.负角化简时直接改变函数名称，违背“名不变”规则； 3.正切符号记忆混乱，忽略正切一三象限为正。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【变式2-2】已知一电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则电子狗在点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，与的终边关于轴对称，则的取值范围是________. 题型03 诱导公式五、六 【例5】若角的终边经过，则__________. 【例6】已知角的终边与角的终边关于直线对称，则一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式3-1】已知为第三象限角，，则___． 【变式3-2】已知，则________. 【变式3-3】已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 题型04 诱导公式的化简、求值 【例7】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例8】已知. (1)化简并求的值； (2)若，求. 【小试牛刀】 【变式4-1】设，则__________(结果用含的式子表示). 【变式4-2】已知，，求的值． 【变式4-3】已知． (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 题型05 诱导公式恒等式的证明 【例9】（多选）若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例10】证明：． 必记结论 从式子复杂一侧入手，用诱导公式统一角、统一函数名，逐步变形向另一侧靠拢；可同时化简左右两边，证明两边化简结果一致。 【小试牛刀】 【变式5-1】以下选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】求证：． 【变式5-3】（1）求证：； （2）设，求证. 题型06 同角基本关系式和诱导公式的综合应用 【例11】___________． 【例12】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【小试牛刀】 【变式6-1】已知，则 ____. 【变式6-2】已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【变式6-3】已知 (1)若角的终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 3 基础过关 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在平面直角坐标系中，角与角均以的正半轴为始边，它们的终边关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且角是第四象限角，则（   ） A．－4 B． C．8 D． 6．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．的值为______． 10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________． 11．求下列三角函数值： (1) (2) (3) 12．若，求证： . 能力提升 13．（多选）设是的三个内角，则无论的形状如何变化，下列表达式一定是常数的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则的值为_____. 15．已知点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为_____________ 16．已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________． 挑战一刻 17．已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 18．设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 19．若点，关于原点对称，则的一个取值为______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第22讲诱导公式 启新温故 预习目标 知识回顾 1.熟记六组诱导公式完整表达式，理解“奇变偶1.掌握单位圆中三角函数坐标定义，熟记象限 不变，符号看象限”口诀含义并熟练运用。 符号规律，会用诱导公式一化简任意角求值。 2.掌握任意角三角函数化简三步流程，能把负2.牢记同角三角函数平方、商数关系及变形 角、大角转化为锐角完成求值运算。 分清公式适用条件，规范书写三角相关式子。 3.牢记特殊角三角函数数值，化简时准确判断符 3.灵活结合定义与同角公式化简、求值，依托 号，规苑完成三角式变形计算。 单位圆建立数形结合的三角函数解题思路。 新课一点通 新知导图 DDD 公式-：sin(a+2km)=sina,cos(a+2km)=cosa,tan(a+2km)=tana∈Z 四组基础 公式二：sin(r+a)=-sina,cos(r+a)=-cosa,tan(π+a)=tana 诱导公式 公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana 公式四：sin(r-a)=sina,cos(π-a)=-cosa,tan(π-a)=-tana 适用对象：k:7士a,keZ 诱导公式 记忆口诀：奇变偶 不变，符号看象限 奇变偶不变：奇sin付cos,偶函数名不变 ,符号看象限：视α为锐角，判断原角三角函数符号 步骤1：负化正，利用负角公式消去负号 求值化简步骤 步骤2：大化小，减2kr至[0,2π) 步骤3：化锐角，变形为锐角三角函数计算 预习精讲 ①想-想 如果两个角的终边关于x轴对称，这两个角的三角函数有什么关系？关于y轴对称呢？关于原点对称呢？ 1/26 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 y P(-x,y) P(x,y) P(x,y) 0 P(x,-y) P(x,y) 知识点O1三角函数的诱导公式 诱导公式-一：sin(a+2km)=sina,cos(a+2kπ)=cosa,tan(a+2km)=tana,其中keZ 诱导公式二：sin(-)）=-sinx,cos(-a)）=cosa,tan(-a)=-tana,其中k∈Z 诱导公式三：sin[(a+(2k+lm]=-sina,cos[a+(2k+)z]=-cosa,tan[a+(2k+l)z]=tana,其中 k∈Z 诱导公式四： ,其中 k∈Z A注意 (1)诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 1针对角 (k∈Z) 1①奇变偶不变：k为奇数，sin~cos;k为偶数，函数名称不变； ②符号看象限：视 为锐角，判断原角所在象限，确定最终符号。 (2)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” (3) 知识点02利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 2126 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ①负化正：利用负角诱导公式，把负角三角函数转为正角： ②大化小：减去2k,将角转化到[0,2π)范围内： ③化锐角：继续变形，转化为锐角三角函数再计算。 流程概括口诀：负化正，大化小，化到锐角为终了。 【即学即练】 1.sin 2π =() A.3 2 R C. D.2 【答案】A 4 2.己知a为第一象限角，且cosa=5,则sin(x+)=() 3 5 B.- 5 c.5 n 【答案】B 【详解】cosa= 5sina+cosa=l且a为第一象限角， ∴sin(π+a)=-sina= 3 5 题型速练 DDD 题型01诱导公式二 【例1】sin765°=() A.1 B.2 ② 。9 D. 1 【答案】B 3126 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】sn765°=sin(2x360°+459)=sin45°=5 故选：B 【例2】若k∈Z,则“a=B+2kπ”是“sina=sinB”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“a=B+2kπ”可以推出“sina=sin(B+2km)=sinB”, 6,满足sina=simB,不能推出a=B+2kxk∈Z: 所以“a=B+2kπ”是“sina=sinB"的充分不必要条件. 故选：A 【小试牛刀】 【变式1-1】已知a=lg4,b=ln3,c=cos +2 3 则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.b>c>a C.c<a<b D b<c<a 【答案】C 【详解】因为a=lg4>1gV10=} b=In3>Ine=1. c cos| 3+2-cos 1 32 则a,b,c的大小关系为b>a>c, 故选：C 【变式1-2】在平面直角坐标系中，点P(tan2025°，sin2025)位于第 象限 【答案】四 【详解】tan2025°=tan(5×360°+225)=tan225°>0. sin2025°=sin(5×360°+225)=sin225°<0 所以点P(tan2025°，sin2025)位于第四象限. 故答案为：四 4126 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-3】求下列各式的值： 3 (2)sin810°+cos360°-tan1125°. 【答案】05+2 (2)1 【分析】 【详解】(1)sin 4 3 42 2 (2)sin810°+cos360°-tan1125 =sin(2×360°+90）+cos(0°+360°）-tan(3×360°+45） =sin90°+cos0°-tan45°=1+1-1=1 题型02诱导公式二、三、四 【例3】若角a的终边过点P(4,-3),则tan(π-a)= 【答案】4 【详解】因为角。的终边过点P一-列所以un=子则m红-心=-ma= 2-c0s2190° 【例4】设an440°=1：则sin800cos100°(） A.1+2 1 D.2t+ t B.1-2 C.24-1 t 【答案】A 【详解】tan440°=tan80°=t, 2-cos2190°2-cos210°2-sin280°sin280°+2cos280° sin800cosl000°sin80°cos80°sin80°cos80°sin80°cos80° tan280°+2 2 2 =tan80°+ tan80° an80°s1+3 易错点 5126 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 I1.分不清π±Q、-Q对应的正负符号，符号颠倒： 2.负角化简时直接改变函数名称，违背“名不变”规则： 3.正切符号记忆混乱，忽略正切一三象限为正。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知角g的终边经过点P3,m,且sin(π-0)+cos(π+0)=5，则m的值为() 9 3 A.4 B.3 C.4 D.4 【答案】A 【详解】由角0的终边经过点P(3,m), 则sin(x-0)+cos(π+0)=sin0-cos0=,m 3 m-31 √m2+9√m2+9√m2+95,m>3' 整理得24m2-25×6m+24×9=6(4m2-25m+36)=6(m-4)(4m-9)=0,m>3, 解得m=4或m=4(舍去)， 所以的值为4. 4π 【变式2-2】已知一电子狗从点P1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达点Q,则电子狗在点 的坐标为() 【答案】B 【详解】方法一：如图， 4π 电子狗从点P(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达点Q, 6126 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4π 因为3_4虹，所以点是4π终边与单位圆的交点，过点。作。垂直于轴，垂足为点， 13 03 M 则<00M= 又00=1所以loM-,12M1-5 2 1V3 又点Q在第三象限的单位圆上，故22 4π 方法二：电子狗从点P(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达点， 4π 因为3-4机，所以点是4π终边与单位圆的交点， 1 3 03 4π π 所以点p的坐标为cos),sin 3 3 +3-sim-5 3 2 ππ 【变武2-3】已知aG引，B与。的终边关于，轴对称，则0sB的取值范国是 311 【答案】 22 【详解】因为a∈ ππ 63 所以cosa 因为B与a的终边关于y轴对称 所以a+B=π+2km，,k∈Z B=π-a+2km,keZ cosB=-cosa∈ 所以 题型03诱导公式五、六 7126 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【例5】素角。的终边经过Pa4小则em经a小 4 【答案】50.8 【详解】根据三角函数的定义得sina= y 5,又因为eo+a 【例6】已知角的终边与角P的终边关于直线y=x对称，则一定成立的是() A.sina=sinB B.cosa=cosB c.a+B-至 D.cosa=sinp 【答案】D 【详解】由角α的终边与角B的终边关于直线y=x对称， 得a+B=2m+keZ),即a=2+受-BkeZ). 所以咖a=m2a+号=m怎小-B,kcZ放Ac错误： cosa=cos m+号m经小mA,kZ故D正确，B错误 【小试牛刀】 【变式31】已知2为第三象限角，osa=,则m登-小 【答案】 55 44 【详解】因为。为第三象限角，cosa=- 4 所以sina=V-eos'a=- 4 【答案】3 8126 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【瑞#1根5会式得：m管小任o引-oe-引月 【变式3-3】已知。Ae0,且sma+s如B--0,sm3+osa=0:则满足条件的-组。B的 值可以是= B= 【答案】 3π 4 (答案不唯一) 4(答案不唯一) 【详解1由诱导公式知smB-马}-o0,所以ma+snB-引ma-o0=0,即，na-心B①. sinβ+cosa=0,即sinB=-cosa②， 因为a'B∈(0，小故sina>0由①得cosg>0 此0引 i2得coeu-如B<0:因此a[行小， 由诱导公武知o0=sm后+月sma,又了+Be3,与。的取值范围-致，因ta-子+月。 取B=至，则a=+- 2+4=4,代入①②验证均成立，符合条件， 3ππ 则满足条件的一组a,P的值可以是4,4.（答案不唯一） 题型04诱导公式的化简、求值 cos| +x.sin(3n-x) 【例7】已知 2 1 ，则 () tan(x-元) Γ8x∈(0，π) sinx-cosx= A. 5 B. 2 2 C.3 D.3V2 2 2 【答案】B (2 +x.sin(3-x) 【详解】 sin:sinsinxcos tanx-π) tanx 8 9/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 因为xe(0,π，所以sinr>0, 又因为sinxcosx<0,所以cOSx<0,所以sinr-cosx>0. 15 (sin:-cosr)=sin+cos'x-2sinxcos=1 5 故sinr-Cosr= sn(a)ow(a-a小o[任a 【例8】已知f(a)= cos @化简/a)并求()的位： e诺a+到手求任o 【容案1四ra=oa:(）-月 a) 【分析】 sn(-oj小os(a-a小or(-a） -sina.(-cosa)）'sina 【详解】(1)f(a)= 经+a小n(a-jn- cos sina.sina.(-cosa) -sina·cos'a·sina sina·sina.（-cosa) =cosa,a≠，keZ: ②南山知fo)=a有a+}号，可有oa+引-子 u导j小m肾小a+e引- 10/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【小试牛刀】 V√1-2cos80°cos10 【变式4-1】 an10=m'则sin(-80)）-V1-cos10 (结果用含的式子表示) m m-1 【答案】 m+1 V1-2cos80°cosl0° V1-2sinl0°cos10 【详解】 sin(-80）-V1-cos210 -sin80°-Vsin210 (cos10°-sin10} cosl0°-sinl0°_1-tanl0°-1-m-m-1 -cosl0°-sinl0° -cosl0°-sinl0°-1-tanl0°-1-mm+1 【安式41已知如a-2)号oe少ea求mm的a 4 【答案】3或3 【详解】sin 封任小仔 当为偶数时， 1 .-cosa=3 即cosa=-3 5 ae(0,π)，sina 5,.tana=sind4 cosa 3 当为奇数时， 3 4 sina 4 .∴.tanc= c0sa3· in(s-a)v(2-a)sin+un(-o-x) 【变式4-3】已知f(a)= sn(a-小oa+到 经ke (1)化简f(a): 2)若a是第二象限角，且sina=5,求f(a+)的值： 11/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)若a 2026,求f(a)的值. 3 【答案】(I)cosa 号 1 3)2 【分析】 【详解】)由题f(a)=na-coo四.=osa, -sina(-sina） sin2a (2)~a是第二象限角，且sina=5 5 cosa=-v1-sin'a=_2v6 1 5 则f(a+元)=cos(a+π)=-cosa= 2v6 5 (3)a=2026 π=675π+ 3 3 ∴.f(a)=cosa=cos S3=2 题型O5诱导公式恒等式的证明 【例】（多选）若角A,B,C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是() A.sin(4+B)=sinC B.cos(4+B)=cosC C.cos4+ C =sin 2 2 D.cos(24+2B)=cos2C 【答案】ACD 【详解】：A+B+C=元，∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,选项A正确： cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,选项B错误； 2 =sin C ,选项C正确： cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos2C,选项D正确. 故选：ACD 12/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 tan(2m-x)sin(-2元-x)cos(6r-)cos(π-=sinx 【例10】证明： .3 【答案】证明见解析 -tanx(-sinx)cosx(-cosx 【详解】左边= =tanxcosx=sinr=右边， -cosxsinx tan(2π-x)sin(-2π-x)cos(6π-x)cos(π-x) =sinx 所以 m 3π sinx+ 必记结论 从式子复杂一侧入手，用诱导公式统一角、统一函数名，逐步变形向另一侧靠拢；可同时化简左右两边， 证明两边化简结果致：一 【小试牛刀】 cosx 1-sinx 1+sin2x 1+2tan'x A.1+sinx cosx B sinxcosx tanx C.sin(53-x)=cos(37+x) D.sin(60°-x)=cos(480°+x) 【答案】ABC cOSx cosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx(1-sinx)1-sinx 【详解】对于A,1+sim (1+sinx)(1-sinx)1-sin2x cos2x cosr,故A正确： 对于B, 1+sin2x (sin'x+cosx)+sin'x cos2x+2sin'x_1+2tan'x ,故B正确： sinxcosx sinxcosx sinxcosx tanx 对于C,sin(53-x)=sin90-(37+x】=cos(37+x),故C正确： 对于D,cos(480+x)=c0s120+x)=c0s180-(60-x】=-cos(60-x),故D错误 故选：ABC 【变式5-2】求证： =-tan a cos(r-@)sin(3z-a)sin(-z-a)sina 2 【答案】证明见解析 13/26 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 -sina.(-cosa)(-sina)(-sina) 【详解】左边=(-cosa）sina,sina·cosa =tanc=右边， 等式成立 tan(2x-a)sin(-2z-a)cos(6z-a)=-tana 【变式5-3】(1)求证： 2)cos(a+3 3π sin(a+ sin(5+a)+3cos(a-13) 7 7 m+3 (2)设 8π，求证 tan(a+ )=m in(-a)-cos(a+ sin( m+1 7 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 tan(-a)sin(-a)cos(-a) 【详解】(）左边sin2r-(写-a小eo2x-(号-a (-tana)(-sina)cosa sin2a sina siml-(分-a1eos-7a】-sinr3-a)cosr5-a） -cosasina=-sinc=-tana右边，所以原等式成立 cosa intz3cof( -sin(8z 7 33 a)-3coa)tam(a (2)方法1：左边= ml4r-e+〗-cos2r+a+】 8π )-cos(a)tan(a 8π、 =m+3 -sin(a+ +1 7 m+1 =右边，所以原等式成立 方法2：由ma+8)=m,得ma+9=m， siml2r+(5+a】+3cos[a+7）-2a] sn号+e+3owa+孕lama+孕+3 _m+3 所以，等式左边 sin2r+元-a+】-cos2x+元+(a+) sin(+con()tan(+ 右边，等式成立 题型06同角基本关系式和诱导公式的综合应用 【例11】c0s21°+cos22°+..+c0s290°= 9 【答案】2 【详解】由于cos'a+cos2(90°-a）=cos2a+sin2a=l, 故c0s219+c0s22°+.+c0s290°=44+c0s2450+c0s290°=44++0=82 1 2 2 14/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3 【例12】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点Pm,2 连接圆心o和p得到射线Op,将射 π 线op绕点0按逆时针方向旋转g后与单位圆相交于点g其中82 (1)求实数m的值 sin(π-a)+5cos(2π-a) 的值 记点。的概丝标为了0若/0+君-京求0：o0的准 【答案】(1)m=2 (2)3V3-7 1-V15 ③)4 【分析】 3 【详解】(1)由于点在单位圆上，则m+ 2 1,又，是锐角，可得m=: 3 1 (2)由(1)得sina= 2cosa=2 tana=3 sin(π-a)+5cos(2r-a) sina+5cosa 所以2sim3- -小+a -2cosa-sina tana+5 3+5 -2-tana-2-√5 =35-7: (3)由(1)可知，且a为锐角，可得a=∠xOP= 3 根指三角话数定又可利：o0)-or0:）引： 4 15/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所以sin0+cs0=1-i5_1-V15 4 【小试牛刀】 1+aml0103+2N2.则eos20+snc-9eos元-9)t2sn元+0)= 【变式6-1】己知an(720°+0)-1 5-V2 【答案】3 1+am(0+1s0）-3+22,所以1+amg-3+22,解得 【详解】因为an(720°+0)-1 tan0-1 tan0-√2 由cos2(-0)+sin(π-0)cos(π-0)+2sin2(π+0) =cos20-sin0cos0+2sin20 =cos20-sin0cos0+2sin20 sin20+cos20 cos20-sin0cos0+2sin20 cos20 sin0+cos20 cos20 1-2+2×(25-2 (2+1 3 【变式6-2】已知2sina-si如g=5,且a+B=7,则amp=(） 1 A.-2 B.-2 C. D.2 【答案】B 【详解】解法-：由a+A-子得a-号B,所以2nm行PsmB=2cos-sn6=5, /sins、s 5 联立 ,得 cos2B+sin2B=1 cosB=25,所以 5 an-- 16/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解法=：由a+B=号、得a-号-月，所以2m P-simA=2cs6-sm0=5. 所以5= (2cosB-sinB)4cosB-4cosB.sinB+sinB4-4tanB+tan'B cos2B+sin2B cos2B+sin2B 1+tan2B 则4m9+4m9+1-(GmA+少旷-0：所以aA=-号 解法由a+8-受得0-受A, 所u2an行-snf=2oa0-snA=5co(+p)-5,共中m0pe0》 1 所以B+p=2hkm,(keZ),则tanB=tan(2km-p)=-tanp=- 2 cos(π-a)tan(π+a)cos 3+u 【变式6-3】已知f(a)= sina+ +2 tan(3π-a) (1)若角a的终边过点P(5,-12),求f(a)的值： 求ana 的值. 【灯a)=号 Q-3 【分析】 【详解】(1)f(a)= o(a)uan()oocoa)(maina) sina+2)un(x-a) (cosa)(-tana) -12 12 因为角。的终边过点P6,-12)则如 V52+(-122 13, 所以f(a)=sina=- 13 (2)由sina+cosa=5,所以(sina+cosa=l+2 sin, 17/26 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所以sina cosa= 12 25, π3π inaco<0且ae 又 2’2 所以sina>0,cosa<0 sin a-cosa=v1-2sin a cosa 5 1 sina +cosa=- 由 7,解得 4 sina-cosa= 5 sin a=- 5.cosa=- 所以tana= sina 4 c0sC3· 3 基础固本提升 基础过关DDD 1.cos135°的值为() A盟 B.1 c. 5 D.- 2 【答案】D 【i详解】cos1350=-c0s45°=-V2 2 2.已知cosa= 5 B3 3 c.5 【答案】A 【详解】：0<a< 2 3)2 ∴.sina=V1-cos2a= 18/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.已知a,B∈R,则“cosa=cosB”是“B=a+2k,k∈Z”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当B=a+2hm,k∈Z时，cosB=cos(a+2k)=cosa; 反之，当cosa=cosB时，B=-a+2km或B=a+2km,k∈Z, 因此“cosa=cosB”是“B=a+2km,k∈Z”的必要不充分条件 4,在平面直角坐标系中，角与角P均以x的正半轴为始边，它们的终边关于直线y=x对称，若 sina=3 ,则cos(π+B)=() A 4 B.5 c.} D.5 【答案】C 【详解】由题意a+月=2x+孕.ke乙，月=2a+a, 所以os(k+川=-cosA=-cos2k+号a-sina= 5 sin[a+(2n+1)]+sin(a)(neZ)=() 5.已知cos(x+a）)=-号且角。是第四象限角、则一n-心-cosa+2nm A.-4 B. c.8 2 D.⑤ 2 【答案】A 【详辨1依腿点，a(+a）=-oa=分·则eou sin「a+(2n+l)π+sin(π+a）_sin(a+2nr+π)-sina_sin(π+a）-sina 当nz时， sin(π-a)cos(a+2nπ) sinacosa sinacosa -2sina2 -=-4 sinacosa cosa 故选：A 19/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5 5 c p.3 1 【答案】B 【详解】因为受<a<受：所以子香 -<+a<3 4 任小250，40 所以o任+a-n任+a-5, 而m任小w臣（任小m任aj 任小 7.(多选)已知△ABC中，下列结论正确的是() A.cos(4+B)=cosC B.sin(4+B)=sinC C.tam4+B=cot号 C C 2 D.cos4+Bs 2 【答案】BCD 【详解】解：cos(4+B)=cos(π-C)=-cosC,故A错误： sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故B正确； an4+B=amC=tam-S） C 2 2 am(22Fcot乞，故c正确： 2 2 8.(多选)己知函数f(x)=Cos2x,则下列等式成立的是() A.f(2π-x)=-f(x) B.f(4π+x)=f(x) C.f(-x)=f(x) D.径+) 20/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】BC 【详解】对于A,f(2π-x)=cos(4r-2x)=cos(-2x)=cos2x=f(x),A错误； 对于B,f(4+)=cos(8m+2x)=cos2x=f(),B正确： 对于C,f(-x)=cos(-2x)=cos2x=f(),C正确： 对年D.仔-em行+2-2=o.D银 sin660° tan210°的值为. 【答案】一2 5 sin660°sin(720°-60°)-sin60° 2-3 【详解】由题意得an210an180°+30)an30°V5=2 3 10、已加道数)足定义在R上的商画数，当x0时，了付)=s+2,则1售） 【答案】-2 【详解】因为f(x)是奇函数， )-) =cos14+2=c0s2+2= 3 3 +2=3 2 2 11.求下列三角函数值： (1)cos(-1050） ②an19x 3 ()sin 【答案】05 2 21/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)V3 号 【详解】(1)原式=c0s(30-3×360）=c0s30=5 2)原式=tm6+}=m-6 )原式m8+如子 42 12.若sin(π-a)≠0，求证： ma-}mr经a-asa sin(π-a） 【信为0引m任 mom任-a小(ma sin a sina =--Cosa cosa.(-sina)=-cos2a, sina 所以原等式成立 【详解】略 能力提升>>卜 13.(多选)设A,B,C是△ABC的三个内角，则无论△ABC的形状如何变化，下列表达式一定是常数的是 () A.sinC+sin(4+B) B.cos(4+B)+cosC A+B cos- C. 2 tan 4+B.C -.tan- D.cos 2 2 【答案】BC 【详解】在△ABC,由A+B+C=x,得sinC+sin(A+B)=sinC+sin(r-C)=sinC+sinC=2sinC: 22/26 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 cos(A+B)+cosC=cos(-C)+cosC=-cosC+cosC=0. C m48mm πC、 2-2)-tan C c sin(C) 22 C cos 2 cos(7C tan 2 C.tan 2 C·tan 22 tan 2 Cos 4+B πC、 C cos( sin 2 22 2 C 一三 C C C=tan. 2 cos 2 2 cos Co 2 故选：BC 14.已知c0s(2-W)= 6 3，则cos( -a-sma-1的值为 6 3+2 【答案】 所以sin2a-2=1-cos(a-马=1-{-2 6 61 33 可得w及-a-5ma1)=cox+合-a】-sinu-名-2别 6 6 =-og-a）-sm(e-3=-5-}-5+2 6 33 3 15.已知点得)为能角)的%边与单位国的交点，OP运时针旋转了得O8,O遮时针旋转号得0g, …,OP逆时针旋转3得OP,则点P的横坐标为 3 【答案】-5-0.6 【i详解】由题意，R(cos8,sin0),且os0= 5,sin0=4 5 则roae+皆mo月 因为w0:罗）-m0+3刘-ca0-号 23/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3 所以点P。的横坐标为一5 3 故答案为： l6.己知命题p:若a,B∈(0,2]，且cosa=-cosB,则sina=sinB.能说明P为假命题的一组a与P的 值为a= B= 7 【答案】 6(答案不唯一) 6（答案不唯一) 【详解】由诱导公式cos(π-x)=-cosx,Cos(π+)=-cosx可知， 因为cosa=-CosP,则a=π-B+2kπ，k∈Z,或a=π+B+2kπ，k∈Z, sina=sin(π-B+2kr)=sinB,或sina=sin(π+B+2kπ)=-sinB, 即sina=sinB,或sina=-sinp, 故想说明命题p为假命题，只需举出满足sina=-sinP的角即可， 即C=π+B+2kπ，keZ, 又因为，B∈(0,2π，则k=0或k=-1时， 故a-B=π，或B-a=π，且满足，B∈(0,2π]， 、:0x=石，B三：Cos e元_V3n7r√5 π1 7π1 6 2,cos 62，si 62，sin 6 故答案为：a= 6(答案不唯一)，'B=7 6(答案不唯一). 挑战一刻 DDD 17.已知sina=sin +B, 2 有下列两个结论：①存在。在第一象限，B在第三象限：②存在。在第二象 限，P在第四象限；则() A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对 【答案】D 【详解】由诱导公式sin =cosB先化简原式得sina=cosB 24/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 对于①，a在第一象限时sina>0,P在第三象限时cosB<0,不存在sina=cosP,所以①错： 对于@，。在第二象限时m2>0:B在第四象限时c月>0：例如a=子，B-时 时， sina cos B= 2，所以②对 故选：D 18.设f()是定义在R上的函数，若f()-sinx是偶函数，f(x)+cosr是奇函数，则/ 4 的值为 () A.-V2 B.√2 C.0 D.2V2 【答案】C 【详解】'f()-sinr是偶函数，·f(-x)-sin(-x)=f(x)-sinx,∴f(-x)+sinr=f(x)-sinx, f(-x)=f(x)-2sinx①， :f(x)+cosr是奇函数，f(-x)+cos(-x)=-(f(x)+cosx), f(-x+cosx=-f(x)-cosr②， 将①代入②得到，f(x)-2sinx+cosx=-f(x)-cosx, 解得f(x)=sinx-cosx, 故选：C 19.若点A(cos0,sin0): +引0+关于原点对称，则的一个取值为 π 【答案】3 (答案不唯一) 【详解】由已知点A(cos0,sin8)） sin o+ --cos0=sin 6 (3-0 则 25/26 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所以0+元=3π-0+2km,kEZ 62 即B= 2π +k,kEZ' 3 取k=0,得0=2红 3 （0=径+加，kZ·任句一个符合此条件的角) 2π 故答案为： 3 26/26