培优专题01 与整式概念有关的问题（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题01 与整式概念有关的问题 (题型突破举一反三) 题型01单项式的识别 E 典例精析 【典例1】D E举一反目 【变式1】D 【变式2】 【答案】 ①③④⑤ 【变式3】C 【变式4) 【答案】(1)是单项式，系数是-1，次数是4 1 2)是单项式，系数是2，次数是6. (3)是单项式，系数是-2，次数是4. (4)是单项式，系数是-3×10，次数是5. 5)是单项式，系数是元，次数是1. (6)不是单项式. (7)不是单项式. 题型02利用单项式的相送概念求值 三典例精析 【典例2】 【答案】2 举一反三 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】 U 【答案】 【变式2】 【答案】-1 【变式3】 【答案】2或-2 【变式4】 【答案】1 题型03多项式的相关概念 三 典例精析 【典例3】 【答案】①③/③① E3 举一反三 【变式1】c 【变式2】 【答案】 2 -1 【变式3】 【答案】 【详解】解：由题意，填图如下： -2025,m,abc, y x+4x+l,ab+x,a-b 2 4 单项式 多项式 【变式4】 【答案】(1)4，-1，-3： (2)2x3y+5x2-3y2-1 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型04利用多项式的相关概念求解 三 典例精析 【典例4】 【答案】-5 举一反三 【变式1】 【答案】2 【变式2】 【答案】1 【变式3】 【答案】1 【变式4】 【答案】19 题型05整式的识别 典例精析 【典例5】c 举一反三 【变式1】B 【变式2】 【答案】4 【变式3】 【详解】解：表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 -m -1 a+1 1 1 5x2 2 a2+2ab+b2 0 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ab2 3 a'-2ab 2 0 4 1 0 -2x2+3x-6 2 3 -6 2 2 【变式4】 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【变式5】 【详解】解： 单项式 3a,5,- 整式 a-b 多项式 2，a2-2ab+1 代数式 非整 3b+1 式 a’a a-b 3b+1 故答案为：单项式： 3a'5”-gy:多项式：2，a2-2ab+1:非整式：a,a 题型06将多项式按某个字母升幂/降幂排列 E 典例精析 【典例6】 【答案】(1)b2-3ab3-3a2b+a (2)a3-3a2b-3ab3+b 举一反三 【变式1】 【答案】按a的升幂排列为：-4b-ab+7a2b2+a3+5ab: 按b的降幂排列为：-4b3-ab3+7a2b2+5ab+a3 【变式2】 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)n=3,y2-13x2y-3x3-6x: (2)-21 【变式3】 【答案】(1升幂 2 4 (3)3x4+ 2 21 9 63 题型07写出满足特征的单项式/多项式 典例精析 【典例7】 【答案】 mn或 (答案不唯一) 举一反三 【变式1】 【答案】-2ab3(答案不唯一) 【变式2】 【答案】a3+b(答案不唯一) 【变式3】 【答案】y2-2x(答案不唯一) 【变式4】 【答案】-2024ab+5a+9(答案不唯一) 题型08单项式的规律探究问题 典例精析 【典例8】D 举一反三 【变式1】C 【变式2】C 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3】 【答案】((-l)°，2n-1 (2)n (3)(-1)“(2n-1)x” (4)4015x208,-4017x20 【变式4】 【答案】(1)这组单项式的系数依次为-1,3，-5,7，…，-37,39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此 项的系数符号为正号；系数绝对值为：2n-1 (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)(-1)(2n-1)x 题型09多项式的规律探究问题 典例精析 【典例9】A 三举一反目 【变式1】B 【变式2】 【答案】 9xs -100 【变式3】 【答案】22023a-b2023 6/6 培优专题01 与整式概念有关的问题 （题型突破·举一反三） 题型01 单项式的识别 题型02 利用单项式的相关概念求值 题型03 多项式的相关概念 题型04 利用多项式的相关概念求解 题型05 整式的识别 题型06 将多项式按某个字母升幂/降幂排列 题型07 写出满足特征的单项式/多项式 题型08 单项式的规律探究问题 题型09 多项式的规律探究问题 ▌题型01 单项式的识别 判断一个式子是否是单项式，关键是看式子中数字与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算(包括乘方运算)和数字作分母的除法运算，如果含其他运算就不是单项式，还要注意是不是常数. 【典例1】（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 【变式1】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 【变式2】（21-22七年级上·吉林长春·期中）下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. 【变式3】（21-22七年级上·四川泸州·期末）在代数式，，，，a，0，，中，单项式的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据单项式的定义，逐个判断给定代数式，统计符合定义的单项式个数即可得到答案，用到的定义为，数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 【详解】解：∵是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式； ∵是单独的常数，是单项式； ∵是单项式； ∵是数与字母的积，是单项式； ∵是单独的字母，是单项式； ∵是单独的数，是单项式； ∵，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式； ∵，是单独的数，是单项式； ∴符合定义的单项式共6个． 【变式4】（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1)是单项式，系数是，次数是4． (2)是单项式，系数是，次数是6． (3)是单项式，系数是，次数是4． (4)是单项式，系数是，次数是5． (5)是单项式，系数是，次数是1． (6)不是单项式． (7)不是单项式． 【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键． （1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母； （6）是多项式，不是单项式； （7）不是单项式． 【详解】（1）是单项式，系数是，次数是4． （2）是单项式，系数是，次数是6． （3）是单项式，系数是，次数是4． （4）是单项式，系数是，次数是5． （5）是单项式，系数是，次数是1． （6）不是单项式． （7）不是单项式． ▌题型02 利用单项式的相关概念求值 单项式、多项式中的字母可能是真正的字母，也可能是待确定的参数，分辨时要注意题目中的关 键词“关于”，口诀:“关于谁，谁就是真正的字母.”，如是关于x，y的三次式，这时系数是-2a，若是关于x的单项式则它是二次单项式，系数是-2ay；若是关于y的单项式，则它是一次单项式，系数是. 【典例2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）已知是四次单项式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，掌握单项式中所有字母的指数之和为次数是解题的关键． 根据单项式次数的定义，所有字母的指数之和为次数，即可求解． 【详解】解：是四次单项式， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）单项式的系数为，次数为，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，关键是准确理解并运用定义求出系数和次数． 【详解】解：∵单项式的系数，次数； ∴； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义、合并同类项、代数式求值，掌握以上知识是解答本题的关键； 两个单项式的和仍是单项式，则它们必须是同类项，即相同字母的指数相等，进而求出、，然后即可求解； 【详解】解：∵ 单项式 与 的和是单项式， ∴ 它们是同类项， ∴的指数相等，即 ；的指数相等，即， ∴， 故答案为：； 【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知是关于x，y的四次单项式，则m的值是_______ ． 【答案】或 【分析】本题考查的是单项式的概念，根据单项式的次数定义，单项式中所有字母的指数之和称为次数．本题中单项式为，是关于和的四次单项式，因此的指数1与的指数之和等于4，即．同时，单项式的系数不能为零． 【详解】解：由次数定义得：简化得：因此， 解得或． 又因为系数，即， ∴和均满足条件． 故答案为：或． 【变式4】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）若是关于x、y的六次单项式，则a＝__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式．根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的六次单项式， ∴， 解得：， 当时，系数，符合题意． 故答案为：1． ▌题型03 多项式的相关概念 【典例3】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③． 故答案为：①③． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列说法中正确的是（  ） A．单项式的系数是 B．是3次单项式 C．多项式是二次三项式 D．多项式的常数项是5 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数以及多项式的次数、项数、常数项的定义，关键是准确掌握这些基础概念：单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数之和；多项式的次数为最高次项的次数，项数是所含单项式的个数，常数项是多项式中不含字母的项． 【详解】解：单项式的系数为，不是，故A错误； 是常数单项式，常数项的次数为0，并非3次，故B错误； 多项式的最高次项为和，次数为2，且该多项式包含3个单项式，所以是二次三项式，故C正确； 多项式中不含字母的项是，因此常数项是，不是5，故D错误； 故选：C． 【变式2】（21-22七年级上·吉林长春·期中）多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【分析】根据多项式的相关概念，确定多项式各项的次数，找出最高次项，进而得到最高次项的系数和常数项. 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． ，，，，，，，. 【答案】答案见解析 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填图如下： 【变式4】（25-26七年级上·吉林·期末）已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念（次数、常数项、项的系数）以及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的基本概念是解题的关键． （1）根据多项式次数（最高次项的次数）、常数项（不含字母的项）、三次项系数（三次项前的数字因数）的定义，分析多项式的各项即可； （2）按的降幂排列，即把多项式各项按的次数从高到低排列． 【详解】（1）解：∵多项式各项： 的次数：； 的次数：； 的次数：； 的次数：． ∴该多项式的次数是．常数项是，三次项是，其系数是， 故答案为：，，； （2）解：将多项式按的降幂排列为． ▌题型04 利用多项式的相关概念求解 【典例4】（23-24七年级上·上海·阶段检测）是一个五次多项式，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据题中多项式为五次多项式，得到最高次项的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式的两项分别为与，的次数为，的次数为， 该多项式是五次多项式， 最高次项的次数为，可得，解得． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式恒等的性质，解题的关键是根据对应项的系数相等建立方程求解． 先对多项式进行合并同类项；再根据恒等条件，让对应项的系数分别相等，求出、、的值；最后代入计算的值． 【详解】解： ∵ 该多项式与恒等 ∴ ，解得 ∴ ，解得 ∴ ，即， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列问题，多项式系数、指数中字母求值，理解题意得到m，n的关系式是解题的关键． 由多项式为五次四项式且按x降幂排列，最高次项次数为5，可知；再根据各项系数非零，可知；然后根据是按x的降幂排列递减，可知；结合m，n为正整数，求得m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 【变式4】（25-26七年级上·四川成都·期中）若关于，的多项式中不含二次项，则的值为________． 【答案】19 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．根据多项式不含二次项的条件，令所有二次项的系数为零，求出m和n的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：原多项式合并同类项后为： ， ∵关于，的多项式中不含二次项， ∴二次项系数为零，即和， 解得：，， ∴ ． 故答案为：19． ▌题型05 整式的识别 一个整式不是单项式就是多项式，判断一个式子是不是整式的关键是看分母中是否含有字母. 【典例5】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）在，，，，0中，不是整式的代数式的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的概念．单项式和多项式统称为整式；字母和数的乘积是单项式，单独的一个数字或字母也是单项式；多项式是若干个单项式的和，本题根据整式的概念判断即可． 【详解】解：，，，0都是整式； 只有代数式中分母含有字母，不是整式，共1个， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，，，，中，整式的个数是________个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，对每个式子进行判断即可． 【详解】解：2025是常数，为单项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母含有字母，不是整式； 是多项式，属于整式． 故整式个数为4． 故答案为：4． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【答案】见详解 【分析】本题考查整式的分类，需要识别每个整式是单项式还是多项式，区分单项式和多项式．单项式是由数字与字母的积组成的代数式，单独一个数字或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和．对于单项式，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和． 对于多项式，次数是最高次项的次数，项数是组成多项式的单项式的个数，常数项是不含字母的项，对此一一区分并填写即可． 【详解】解：表格填写如下： 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 1 1 2 1 5 2 2 3 0 3 2 2 0 0 2 3 【变式4】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 【变式5】（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． ▌题型06 将多项式按某个字母升幂/降幂排列 1）把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，然后按照加法的交换律交换各项的位置. 2）针对不同的字母，排列后的顺序往往不同. 3）重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置. 【典例6】（24-25七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）将多项式先按的升幂排列，再按的降幂排列． 【答案】按的升幂排列为：； 按的降幂排列为： 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． （1）按照的指数从小到大排列即可； （2）按照的指数从大到小排列即可； 【详解】解：按的升幂排列为：； 按的降幂排列为：． 【变式2】（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）利用多项式的定义即可求出n的值，然后根据升幂排列的定义求解； （2）计算各项系数之和即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； 按x的升幂排列为； （2）解：∵多项式， ∴多项式各项系数之和． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． ▌题型07 写出满足特征的单项式/多项式 【典例7】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 【变式2】（25-26七年级上·陕西延安·期末）写出一个关于、的多项式，其次数是5，项数是2：______．（写出一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项，掌握相关概念是解题的关键．根据多项式次数和项数的定义，构造一个含有字母和的多项式，项数为，且最高次数为即可． 【详解】解：由于多项式含有字母、，次数是，即最高项次数为，项数是， 该多项式可以为． 故答案为：(答案不唯一)． 【变式3】（25-26七年级上·河南·期末）请写出一个含有字母x，y的三次二项式，要求含有一次项且一次项系数为： _______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了多项式的系数和次数，熟练掌握多项式的次数和系数，是解题的关键；根据题意写出一个符合要求的三次二项式即可． 【详解】解：多项式是三次项，是一次项，系数为，且该多项式含有字母x和y， 满足条件， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式4】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）写出一个只含有字母a和b，最高次项系数为，且一次项系数为5，常数项为9的二次三项式：___________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查多项式的系数、次数和项数，掌握好多项式的概念是关键． 根据多项式的系数、次数和项数的概念，写出一个符合要求的二次三项式即可． 【详解】解：根据题意，符合要求的二次三项式为． 故答案为：（答案不唯一）． ▌题型08 单项式的规律探究问题 把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键. 【典例8】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 【变式2】（2026·云南楚雄·二模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将单项式拆分为分子、分母、字母a的指数三部分，分别找出各部分和序号n的对应规律，即可得到第n个单项式. 【详解】解：设单项式的序号为（为正整数），拆分各部分找规律： ∵ ①字母的指数：第1个单项式指数为1，第2个为2，第3个为3...，可得第个单项式中的指数为 ②分数的分子：第1个分子为，第2个分子为，第3个分子为...，可得第个单项式的分子为 ③分数的分母：第1个分母为，第2个分母为，第3个分母为...，可得第个单项式的分母为 ∴ 第个单项式是 【变式3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【变式4】（23-24七年级上·江西上饶·阶段检测）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，…，，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为： (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3) 【分析】此题主要考查了单项式的变化规律问题． （1）根据单项式系数的定义可写出单项式的系数；观察所给单项式，可直接得出系数符号的规律以及系数绝对值的规律； （2）观察所给单项式，可知次数的规律是从1开始的连续自然数； （3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律，总结即可． 通过观察，得出次数与系数的变化规律是解题关键． 【详解】（1）观察所给单项式可知：这组单项式的系数依次为，3，，7，…，，39，…；奇次项的系数符号为负号，偶此项的系数符号为正号；系数绝对值为：； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数； （3）根据系数符号的规律、系数绝对值的规律和次数的规律可知，第个单项式是：． ▌题型09 多项式的规律探究问题 把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键. 【典例9】（25-26九年级下·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式拆分为a的系数、a的次数、b的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n个多项式． 【详解】解：推导a的系数的规律： ∵时系数为，时系数为，时系数为，时系数为 ∴第n个多项式a的系数为， 推导a的次数的规律： ∵时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为 ∴第n个多项式中a的次数为， 推导b的系数： ∵时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为， ∴n为奇数时b的系数为，n为偶数时b的系数为， 即第n个多项式中b的系数为， 综上可知，第个多项式是． 【变式1】（23-24九年级下·云南昭通·阶段检测）按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：按一定规律排列的多项式：， ， ， ， …， 则第n个多项式是， 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ________； （2）当时，多项式前100项的和为 ________． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课堂例题）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是______． 【答案】 【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2023个多项式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 与整式概念有关的问题 （题型突破·举一反三） 题型01 单项式的识别 题型02 利用单项式的相关概念求值 题型03 多项式的相关概念 题型04 利用多项式的相关概念求解 题型05 整式的识别 题型06 将多项式按某个字母升幂/降幂排列 题型07 写出满足特征的单项式/多项式 题型08 单项式的规律探究问题 题型09 多项式的规律探究问题 ▌题型01 单项式的识别 判断一个式子是否是单项式，关键是看式子中数字与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算(包括乘方运算)和数字作分母的除法运算，如果含其他运算就不是单项式，还要注意是不是常数. 【典例1】（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级上·吉林长春·期中）下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【变式3】（21-22七年级上·四川泸州·期末）在代数式，，，，a，0，，中，单项式的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4】（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． ▌题型02 利用单项式的相关概念求值 单项式、多项式中的字母可能是真正的字母，也可能是待确定的参数，分辨时要注意题目中的关 键词“关于”，口诀:“关于谁，谁就是真正的字母.”，如是关于x，y的三次式，这时系数是-2a，若是关于x的单项式则它是二次单项式，系数是-2ay；若是关于y的单项式，则它是一次单项式，系数是. 【典例2】（25-26七年级上·湖南常德·期末）已知是四次单项式，则的值是______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）单项式的系数为，次数为，则的值是________． 【变式2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为_____． 【变式3】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知是关于x，y的四次单项式，则m的值是_______ ． 【变式4】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）若是关于x、y的六次单项式，则a＝__________． ▌题型03 多项式的相关概念 【典例3】（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列说法中正确的是（  ） A．单项式的系数是 B．是3次单项式 C．多项式是二次三项式 D．多项式的常数项是5 【变式2】（21-22七年级上·吉林长春·期中）多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． ，，，，，，，. 【变式4】（25-26七年级上·吉林·期末）已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． ▌题型04 利用多项式的相关概念求解 【典例4】（23-24七年级上·上海·阶段检测）是一个五次多项式，则的值为_____________． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知多项式与多项式恒等（其中，，为常数），则的值为________． 【变式3】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【变式4】（25-26七年级上·四川成都·期中）若关于，的多项式中不含二次项，则的值为________． ▌题型05 整式的识别 一个整式不是单项式就是多项式，判断一个式子是不是整式的关键是看分母中是否含有字母. 【典例5】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）在，，，，0中，不是整式的代数式的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，，，，中，整式的个数是________个． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）请把下列整式分类填入下表，并完成表格． ，，，，，，，． 单项式 系数 次数 多项式 次数 项数 常数项 【变式4】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【变式5】（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 ▌题型06 将多项式按某个字母升幂/降幂排列 1）把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，然后按照加法的交换律交换各项的位置. 2）针对不同的字母，排列后的顺序往往不同. 3）重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置. 【典例6】（24-25七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）将多项式先按的升幂排列，再按的降幂排列． 【变式2】（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式． (1)写出n的值；并将多项式按x的升幂排列； (2)求该多项式各项系数之和． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． ▌题型07 写出满足特征的单项式/多项式 【典例7】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期末）写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【变式2】（25-26七年级上·陕西延安·期末）写出一个关于、的多项式，其次数是5，项数是2：______．（写出一个即可） 【变式3】（25-26七年级上·河南·期末）请写出一个含有字母x，y的三次二项式，要求含有一次项且一次项系数为： _______． 【变式4】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）写出一个只含有字母a和b，最高次项系数为，且一次项系数为5，常数项为9的二次三项式：___________________． ▌题型08 单项式的规律探究问题 把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键. 【典例8】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·云南楚雄·二模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【变式4】（23-24七年级上·江西上饶·阶段检测）观察下列单项式：写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少？系数符号的规律是什么？系数绝对值规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？ ▌题型09 多项式的规律探究问题 把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键. 【典例9】（25-26九年级下·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级下·云南昭通·阶段检测）按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ________； （2）当时，多项式前100项的和为 ________． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课堂例题）观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $