专题02 立方根八大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

专题02立方根八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 立方根的概念 题型02 开立方运算 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 题型04 立方根的性质 题型05 开立方运算中的小数点移动规律 题型06 利用开立方解方程 题型07 立方根在实际生活中的应用 题型08 平方根和立方根的综合应用 ▌题型01 立方根的概念 1. 定义：若，则叫做的立方根，记作，三次根号的根指数 3 不能省略。 2. 取值范围：任意实数都有且只有一个立方根，正数、0、负数均存在立方根。 3. 判断方法：将数字三次方，结果等于，该数就是的立方根。 4. 特殊立方根：，，。 5. 易混区分：负数没有平方根，但负数一定有立方根。 【典例1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【典例1-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【变式1-1】（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【变式1-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【变式1-3】（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．正数、零和负数都有立方根 C．是的平方根 D．的立方根是 ▌题型02 开立方运算 1. 开立方：求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算。 2. 核心恒等式：、。 3. 符号化简公式：，负号可直接提到根号外。 4. 拆分法则：，把被开方数拆成完全立方数相乘再计算。 4. 通用计算步骤：分解被开方数→拆分根号→分别开立方→整理符号得出结果。 【典例2-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-1】求下列各数的立方根： (1)27； (2)； (3)； (4)0． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（4）． ▌题型03 立方根的性质 1. 符号性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。 2. 相反数推论：若，则。 3. 唯一性：任何实数仅有 1 个立方根，不会出现一正一负两个根。 4. 核心区别于平方根：立方根无双重非负性，被开方数可以为负数。 【典例3-1】若与互为相反数，则的值为（   ） A．10 B．24 C．12 D．8 【典例3-2】按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【变式1-1】（25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【变式1-3】先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． ▌题型04 已知一个数的立方根，求这个数 1. 核心互逆关系：立方与开立方互为逆运算，若，则。 2. 解题公式：已知是的立方根，则这个数，直接对立方根三次乘方即可求出原数。 3. 计算步骤： ① 明确给出的数值是该数的立方根； ② 将这个立方根进行三次方运算； ③ 算出结果，即为所求原数。 4. 符号规则：立方根为正，原数为正；立方根为负，原数为负；立方根为 0，原数为 0。 5. 验算方法：求出原数后，对原数开立方，看结果是否等于题目给出的立方根，验证答案正误。 【典例4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【变式1-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【变式1-2】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． ▌题型05 开立方运算中的小数点移动规律 1. 核心规律：被开方数小数点同向移动 3 位，立方根小数点同向移动 1 位。 2. 记忆口诀：被开方移三位，立方根移一位，移动方向完全相同。 3. 正向用法：已知被开方数小数点变化，快速写出对应立方根； 4. 逆向用法：已知立方根小数点移动 1 位，被开方数小数点移动 3 位； 5. 易错点：不可和平方根 “移两位开一位” 的规律混用。 【典例5】探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【变式1-1】小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【变式1-2】阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【变式1-3】阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． ▌题型06 利用开立方解方程 1. 整理目标：通过移项、合并，把方程化为标准形式。 2. 解题三步： ① 单独分离含未知数的立方项； ② 等式两边同时开立方，去掉立方； ③ 化简为一元一次方程，求出未知数。 3. 关键要点：开立方不用分正负讨论，方程只有唯一解。 4. 基础模板：若，则；解完后代入原式验算。 【典例6-1】求下列各式中的x的值． （1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8． 【典例6-2】解方程： (1)； (2)． 【变式1-1】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆云阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． ▌题型07 立方根在实际生活中的应用 1. 常见题型：已知正方体、球体体积，反求棱长、半径。 2. 核心公式： 正方体：（为棱长，为体积） 球体： 3. 解题思路：根据题意列体积等式，变形得到立方等于常数，再开立方求长度。 4. 答题规范：全程统一长度单位，计算完成后书写文字答句；长度舍去负值。 【典例7-1】有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【典例7-2】小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【变式1-1】如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，请你判断该纸片是否够用？若够用，求剩余的纸片的面积；若不够用，求缺少的纸片的面积． 【变式1-2】某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【变式1-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． ▌题型08 平方根和立方根的综合应用 1. 基础隐含条件： 平方根：被开方数； 立方根：可取全体实数，无限制。 2. 固定结论：算术平方根与立方根相等的数字只有 0 和 1。 3. 题干条件翻译：一个正数的两个平方根互为相反数，可列方程求参数。 综合题解题流程： ① 先用平方根非负性锁定字母取值范围； ② 结合立方根性质联立等式求解参数； ③ 将解代回原式检验，舍去不符合平方根定义的解。 【典例8-1】已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【典例8-2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【变式1-1】已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【变式1-2】已知是的算术平方根，是的立方根，试求： (1)和的值； (2)的值． 【变式1-3】已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立方根八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 立方根的概念 题型02 开立方运算 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 题型04 立方根的性质 题型05 开立方运算中的小数点移动规律 题型06 利用开立方解方程 题型07 立方根在实际生活中的应用 题型08 平方根和立方根的综合应用 ▌题型01 立方根的概念 【典例1-1】【答案】D 【典例1-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】D ▌题型02 开立方运算 【典例2-1】【答案】B 【典例2-2】 【答案】(10.3； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）（2）小题直接利用立方根的性质计算得出答案； （3）（4）直接将根号下部分进行加减运算，再利用立方根的性质计算得出答案． 【详解】解：（1）0.3； （2）； （3）； （4）． 【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键． 【变式1-1】 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 【详解】（1）解：因为， 所以27的立方根是； （2）解：因为， 所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以0的立方根是． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是掌握求一个数的立方根和算术平方根的法则． （1）根据求一个数的算术平方根的法则进行求解即可； （2）先求出的算术平方根，再取其相反数即可； （3）根据求一个数的立方根的法则进行求解即可； （4）根据求一个数的立方根的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-3】 【答案】（1）； （2）； （3）﹣2． 【分析】（1）直接利用立方根的性质化简得出答案； （2）直接利用立方根的性质化简得出答案； （3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）（4） ＝﹣1﹣6÷6 ＝﹣1﹣1 ＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键． ▌题型03 立方根的性质 【典例3-1】【答案】C 【典例3-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 【变式1-3】 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． ▌题型04 已知一个数的立方根，求这个数 【典例4-1】【答案】C 【典例4-2】【答案】C． 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】C ▌题型05 开立方运算中的小数点移动规律 【典例5】 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 【变式1-3】 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． ▌题型06 利用开立方解方程 【典例6-1】 【答案】（1）x＝6； （2）x＝﹣1； （3）x＝2． 【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程． 【详解】解：（1）x3﹣216＝0 x3＝216 x x＝6； （2）（x+5）3＝64 x+5 x+5＝4 x＝﹣1； （3）（x+1）3＝8 x+1 x+1＝2 x＝2． 【点睛】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法． 【典例6-2】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：； ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式1-1】 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【变式1-2】 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 即 或； （2）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． ▌题型07 立方根在实际生活中的应用 【典例7-1】 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 【典例7-2】 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【变式1-1】    【答案】(1)正方形纸板的边长为； (2)够用，剩余的正方形纸板的面积为． 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 即：正方形纸板的边长为； （2）解：依题意得：， 则剪切纸板的面积， 剩余纸板的面积， 即剩余的正方形纸板的面积为． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式． 【变式1-2】 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为 ， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． ▌题型08 平方根和立方根的综合应用 【典例8-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是5， ∴， 解得：； （2）解： ， 则的平方根是． 【典例8-2】 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 【变式1-1】 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【变式1-2】 【答案】(1)， (2)的值的是 【分析】（1）根据算术平方根及立方根的定义，求出、的值； （2）由、的值求出、的值，代入可得出的值． 【详解】（1）解： 是的算术平方根， ， 解得：， 是的立方根， ，即， 解得：； （2）解：由（1）知：，， ，， ， 的值的是． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，属于基础题，求出、的值是解答本题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立方根八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 立方根的概念 题型02 开立方运算 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 题型04 立方根的性质 题型05 开立方运算中的小数点移动规律 题型06 利用开立方解方程 题型07 立方根在实际生活中的应用 题型08 平方根和立方根的综合应用 ▌题型01 立方根的概念 1. 定义：若，则叫做的立方根，记作，三次根号的根指数 3 不能省略。 2. 取值范围：任意实数都有且只有一个立方根，正数、0、负数均存在立方根。 3. 判断方法：将数字三次方，结果等于，该数就是的立方根。 4. 特殊立方根：，，。 5. 易混区分：负数没有平方根，但负数一定有立方根。 【典例1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答． 【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确； 故选：D． 【典例1-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根．根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，此选项错误，不符合题意； B、的立方根是，此选项错误，不符合题意； C、是的立方根，此选项正确，符合题意； D、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 【变式1-2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的性质判断各选项是否正确即可得出． 【详解】∵的平方根是， ∴ A正确，故该选项不符合题意； ∵ 任何实数都有立方根，是实数，有立方根， ∴ B不正确，故该选项符合题意； ∵ 的算术平方根是， ∴ C正确，故该选项不符合题意； ∵的立方根是， ∴ D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．正数、零和负数都有立方根 C．是的平方根 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根．解题的关键是掌握：如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根；如果一个数的立方等于，即，那么叫做的立方根；有平方根的数一定是非负数，正数的平方根有两个且互为相反数，而任意数都有唯一的立方根．据此解答即可． 【详解】解：A．的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意； B．正数、零和负数都有立方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C．是的平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； D．的立方根是，原说法不正确，故此选项符合题意． 故选：D． ▌题型02 开立方运算 1. 开立方：求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算。 2. 核心恒等式：、。 3. 符号化简公式：，负号可直接提到根号外。 4. 拆分法则：，把被开方数拆成完全立方数相乘再计算。 4. 通用计算步骤：分解被开方数→拆分根号→分别开立方→整理符号得出结果。 【典例2-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了立方根和立方运算，掌握立方根的概念是解题的关键．根据立方根的概念求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 【典例2-2】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】(10.3； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）（2）小题直接利用立方根的性质计算得出答案； （3）（4）直接将根号下部分进行加减运算，再利用立方根的性质计算得出答案． 【详解】解：（1）0.3； （2）； （3）； （4）． 【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键． 【变式1-1】求下列各数的立方根： (1)27； (2)； (3)； (4)0． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 【详解】（1）解：因为， 所以27的立方根是； （2）解：因为， 所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以0的立方根是． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是掌握求一个数的立方根和算术平方根的法则． （1）根据求一个数的算术平方根的法则进行求解即可； （2）先求出的算术平方根，再取其相反数即可； （3）根据求一个数的立方根的法则进行求解即可； （4）根据求一个数的立方根的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-3】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（4）． 【答案】（1）； （2）； （3）﹣2． 【分析】（1）直接利用立方根的性质化简得出答案； （2）直接利用立方根的性质化简得出答案； （3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）（4） ＝﹣1﹣6÷6 ＝﹣1﹣1 ＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键． ▌题型03 立方根的性质 1. 符号性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。 2. 相反数推论：若，则。 3. 唯一性：任何实数仅有 1 个立方根，不会出现一正一负两个根。 4. 核心区别于平方根：立方根无双重非负性，被开方数可以为负数。 【典例3-1】若与互为相反数，则的值为（   ） A．10 B．24 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据立方根的性质，互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，可得两个被开方数互为相反数，整理得到，再对所求多项式降次变形即可计算出结果； 【详解】解：∵ 与互为相反数， ， ， ， ； 【典例3-2】按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【变式1-1】（25-26八年级上·甘肃白银·阶段检测）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 【变式1-3】先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． ▌题型04 已知一个数的立方根，求这个数 1. 核心互逆关系：立方与开立方互为逆运算，若，则。 2. 解题公式：已知是的立方根，则这个数，直接对立方根三次乘方即可求出原数。 3. 计算步骤： ① 明确给出的数值是该数的立方根； ② 将这个立方根进行三次方运算； ③ 算出结果，即为所求原数。 4. 符号规则：立方根为正，原数为正；立方根为负，原数为负；立方根为 0，原数为 0。 5. 验算方法：求出原数后，对原数开立方，看结果是否等于题目给出的立方根，验证答案正误。 【典例4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【典例4-2】若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【答案】C． 【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵a2＝16，2， ∴a＝±4，b＝﹣8． ∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4； 当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键． 【变式1-1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 【变式1-2】若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 【变式1-3】已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． ▌题型05 开立方运算中的小数点移动规律 1. 核心规律：被开方数小数点同向移动 3 位，立方根小数点同向移动 1 位。 2. 记忆口诀：被开方移三位，立方根移一位，移动方向完全相同。 3. 正向用法：已知被开方数小数点变化，快速写出对应立方根； 4. 逆向用法：已知立方根小数点移动 1 位，被开方数小数点移动 3 位； 5. 易错点：不可和平方根 “移两位开一位” 的规律混用。 【典例5】探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 【变式1-1】小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 【变式1-2】阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 【变式1-3】阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． ▌题型06 利用开立方解方程 1. 整理目标：通过移项、合并，把方程化为标准形式。 2. 解题三步： ① 单独分离含未知数的立方项； ② 等式两边同时开立方，去掉立方； ③ 化简为一元一次方程，求出未知数。 3. 关键要点：开立方不用分正负讨论，方程只有唯一解。 4. 基础模板：若，则；解完后代入原式验算。 【典例6-1】求下列各式中的x的值． （1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（x+1）3＝8． 【答案】（1）x＝6； （2）x＝﹣1； （3）x＝2． 【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程． 【详解】解：（1）x3﹣216＝0 x3＝216 x x＝6； （2）（x+5）3＝64 x+5 x+5＝4 x＝﹣1； （3）（x+1）3＝8 x+1 x+1＝2 x＝2． 【点睛】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法． 【典例6-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：； ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式1-1】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆云阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 即 或； （2）解： ． 【变式1-3】（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． ▌题型07 立方根在实际生活中的应用 1. 常见题型：已知正方体、球体体积，反求棱长、半径。 2. 核心公式： 正方体：（为棱长，为体积） 球体： 3. 解题思路：根据题意列体积等式，变形得到立方等于常数，再开立方求长度。 4. 答题规范：全程统一长度单位，计算完成后书写文字答句；长度舍去负值。 【典例7-1】有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 【典例7-2】小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【变式1-1】如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，请你判断该纸片是否够用？若够用，求剩余的纸片的面积；若不够用，求缺少的纸片的面积． 【答案】(1)正方形纸板的边长为； (2)够用，剩余的正方形纸板的面积为． 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 即：正方形纸板的边长为； （2）解：依题意得：， 则剪切纸板的面积， 剩余纸板的面积， 即剩余的正方形纸板的面积为． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式． 【变式1-2】某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 【变式1-3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为 ， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． ▌题型08 平方根和立方根的综合应用 1. 基础隐含条件： 平方根：被开方数； 立方根：可取全体实数，无限制。 2. 固定结论：算术平方根与立方根相等的数字只有 0 和 1。 3. 题干条件翻译：一个正数的两个平方根互为相反数，可列方程求参数。 综合题解题流程： ① 先用平方根非负性锁定字母取值范围； ② 结合立方根性质联立等式求解参数； ③ 将解代回原式检验，舍去不符合平方根定义的解。 【典例8-1】已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是5， ∴， 解得：； （2）解： ， 则的平方根是． 【典例8-2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 【变式1-1】已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【变式1-2】已知是的算术平方根，是的立方根，试求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2)的值的是 【分析】（1）根据算术平方根及立方根的定义，求出、的值； （2）由、的值求出、的值，代入可得出的值． 【详解】（1）解： 是的算术平方根， ， 解得：， 是的立方根， ，即， 解得：； （2）解：由（1）知：，， ，， ， 的值的是． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的定义，属于基础题，求出、的值是解答本题的关键． 【变式1-3】已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $